Modul Materi Operasi Pecahan


Pecahan Bentuk Aljabar

Operasi Pecahan Bentuk Aljabar
a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar dilakukan dengan menyamakan penyebutnya kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya.

1) Penjumlahan bentuk pecahan aljabar :



$\begin{aligned}
\frac{a}{b}+\frac{c}{b}&=\frac{a+c}{b}\\
\operatorname{atau} \frac{x}{a}+\frac{y}{b}&=\frac{b x}{a b}+\frac{a y}{a b}\\
&=\frac{b x+a y}{a b}
\end{aligned}$

Contoh 1:
$\frac{a}{5}+\frac{3 a}{5}=\frac{a+3 a}{5}=\frac{4 a}{5}$
Contoh 2:
$\frac{4 x}{p}+\frac{x}{2 p}=\frac{2(4 x)}{2 p}+\frac{x}{2 p}=\frac{8 v}{2 p}+\frac{x}{2 p}=\frac{8 x+x}{2 p}=\frac{9 x}{2 p}$
Dari $p$ menjadi $2 p$ berarti dikali dengan 2

Pecahan Bentuk Aljabar mempunyai hubungan yang cukup dekat dengan materi operasi hitung bentuk Aljabar. Melalui materi operasi hitung pecahan bentuk Aljabar, dapat dipelajari tentang cara melakukan perhitungan pada pecahan bentuk aljabar.
Seperti dalam pecahan bentuk biasa , dalam pecahan bentuk aljabar juga ada 4 operasi hitung yaitu :
  • Penjumlahan pecahan bentuk aljabar
  • Pengurangan pecahan bentuk aljabar
  • Perkalian pecahan bentuk aljabar
  • Pembagian pecahan bentuk aljabar 
1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Sebuah pecahan bentuk aljabar disebut paling sederhana jika pembilang dan penyebutnya tidak memiliki faktor persekutuan kecuali 1.

Serta penyebutnya tidak sama dengan nol.

Untuk menyederhanakan pecahan dalam bentuk aljabar bisa kita lakukan dengan metode membagi pembilang dan juga penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal

Penjumlahan dan pengurangan
Sudah diketahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan juga pengurangan pada pecahan didapatkan dengan cara menyamakan penyebutnya.

Lalu berikutnya menjumlahkan ataupun mengurangkan pembilangnya.
Untuk di ingat, jika untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya.

Dengan cara yang sama, hal tersebut juga berlaku dalam operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar.

Perhatikan contoh soal berikut ini:

1. Tentukan hasilnya dalam bentuk yang paling sederhana.
a. $\frac{2}{x}+\frac{5}{x}$
b. $\frac{5}{2a}+\frac{3}{4a}$
c. $\frac{8}{x}-\frac{5}{x}$
d. $\frac{4}{3x}-\frac{5}{7 x}$

Penyelesaian:
a.$\frac{2}{x}+\frac{5}{x}=\frac{2+5}{x}=\frac{7}{x}$
b. $\frac{5}{2a}+\frac{3}{4 a}=\frac{10}{4 a}+\frac{3}{4 a}=\frac{13}{4 a}$
c.$\frac{8}{x}-\frac{5}{x}=\frac{8-5}{x}=\frac{3}{x}$
d.$\frac{4}{3 x}-\frac{5}{7 x}=\frac{28}{21 x}-\frac{15}{21 x}=\frac{13}{21x}$

2. Sederhanakanlah penjumlahan dan pengurangan berikut ini.

a. $\frac{3 x+(10-2 x)}{5 y}$
b. $\frac{3 x-5}{3}-\frac{2 x-7}{8}$

Penyelesaian:
(a). $\frac{3 x+(10-2 x)}{5 y}=\frac{3 x+10-2 x}{5 y}=\frac{x+10}{5 y}$

b. $\frac{3 x-5}{3}-\frac{2 x-7}{8}$
$
\begin{aligned}
\frac{3 x-5}{3}-\frac{2 x-7}{5}&=\frac{5(3 x-5)}{15}-\frac{3(2 x-7)}{15}\\
& =\frac{15 x-25-(6 x-21)}{15} \\
& =\frac{15 x-25-6 x-21}{15}=\frac{9 x-4}{15}
\end{aligned}
$

Perkalian dan pembagian
Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan yang ada pada perkalian bilangan pecahan.

Contoh :
Nyatakan hasilnya dalam bentuk paling sederhana.
a. $\frac{2 a}{5} \times \frac{b}{3}$
b. $\frac{3}{2 a} \times \frac{2 b}{5}$
c. $\frac{2 p-3}{3 q} \times \frac{p q}{4}$
Penyelesaian:
a. $\frac{2 a}{5} \times \frac{b}{3}=\frac{2 a \times b}{5 \times 3}=\frac{2 a b}{15}$
b. $\frac{3}{2 a} \times \frac{2 b}{5}=\frac{6 b}{10 a}=\frac{3 b}{5 a}$
c. $\frac{2 p-3}{3 q} \times \frac{p q}{4}=\frac{(2 p-3) p q}{3 q \times 4}=\frac{2 p^2-3 p}{12}$

Pembagian Bentuk Pecahan Aljabar
Pada prinsipnya sama dengan pembagian pecahan
Perhatikan Contoh

Tentukanlah hasil bagi pecahan aljabar berikut.
a. $\frac{2}{3 a}: \frac{3}{4 b}$
b. $\frac{p^2}{q}: \frac{3 p}{4 q^2}$
c. $\frac{9+6 x}{5 x}: \frac{3 x}{2}$

Penyelesaian:
a. $\frac{2}{3 a}: \frac{3}{4 b}=\frac{2}{3 a} \times \frac{4 b}{3}=\frac{8 b}{9 a}$
b. $\frac{p^2}{q}: \frac{3 p}{4 q^2}=\frac{p^2}{q} \times \frac{4 q^2}{3 p}=\frac{4 p^2 q^2}{3 p q}$
pembilang dan penyebut sama-sama dibagi $p q$ maka $\frac{4 p^2 q^2}{3 p q}-\frac{4 p q}{3}$.
c. $\frac{9+6 x}{5 x}: \frac{3 x}{2}=\frac{9+6 x}{5 x} \times \frac{2}{5 x}=\frac{(9+6 x) 2}{25 x^2}=\frac{18+12 x}{25 x^2}$

Perpangkatan pecahan bentuk aljabar

Operasi perpangkatan adalah perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan dalam bentuk aljabar.

Contoh :

Tentukan hasil pemangkatan pecahan aljabar berikut.
a. $(\frac{5}{x})^2$
b. $(\frac{2 a}{x y})^3$
c. $(\frac{3 a}{4 a^2 b})^3$

Penyelesaian:
a. $\left(\frac{5}{x}\right)^2=\frac{5^2}{x^2}=\frac{25}{x^2}$
b. $\left(\frac{2 a}{x y}\right)^3=\frac{(2 a)^3}{(x y)^3}=\frac{2^3 a^3}{x^3y^3}=\frac{8 a^3}{x^3 y^3}$
c. $\left(\frac{3 a}{4 a^2b}\right)^3=\frac{(3 a)^3}{\left(4 a^2 b\right)^3}=\frac{27 a^3}{64 a^6b^3}$

Demikian, secara singkat pembahasan tentang operasi perkalian dan pembagian dalam bentuk aljabar.