Sifat-sifat logaritma, sebelumnya catat sedikit tentang istilah kebalikan dari bilangan berpangkat. Kita pilih dari bentuk bilangan berpangkat yang sederhana yaitu ${\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8}$
-
Dari bentuk bilangan berpangkat ${\color{Blue} 2}^{\color{Red}
3}={\color{Green} 8}$
- untuk mendapatkan bilangan ${\color{Blue} 2}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Red} 3}$ dan ${\color{Green} 8}$ maka operasi yang kita gunakan adalah akar, penulisan operasinya adalah $\sqrt[{3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$
- untuk mendapatkan bilangan ${\color{Red} 3}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Blue} 2}$ dan ${\color{Green} 8}$ maka operasi yang kita gunakan adalah logaritma, penulisan operasinya adalah ${}^{{\color{Blue} 2}}\!\log {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$
Jadi kebalikan dari bilangan berpangkat bukan hanya logaritma tetapi juga
akar.
Kesimpulan yang bisa kita ambil adalah:
- jika ${\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8}$ maka ${}^{{\color{Blue} 2}}\!\log {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$ dan
- jika ${}^{{\color{Blue} 2}}\!\log {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$ maka ${\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $.
Dalam bahasa logika matematika dapat dituliskan:
${\color{Blue} 2}^{3}={\color{Green} 8}$ jika dan hanya jika
${}^{{\color{Blue} 2}}\!\log {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$
Bentuk umum logaritma dapat kita tuliskan sebagai berikut;
${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ jika dan hanya
jika ${\color{Blue} a}^{\color{Red} c}={\color{Green} b}$.
Bentuk penulisan logaritma ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ banyak kita temukan pada buku-buku berbahasa Indonesia, sedangkan untuk buku internasional yang dominan berbahasa Inggris penulisan logaritma adalah $\!\log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}={\color{Red} c}$.
Bentuk ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ atau $\!\log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}={\color{Red} c}$ dibaca: logaritma dari ${\color{Green} b}$ dengan bilangan pokok ${\color{Blue} a}$ adalah ${\color{Red} c}$. Tetapi untuk memudahkan pengucapan sering hanya disebut "a log b = c".
Istilah-istilah pada logaritma ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c}$
- ${\color{Blue} a}$ disebut Basis (Bilangan Pokok). Batasan nilai ${\color{Blue} a}$ adalah ${\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a} \neq 1$. Untuk logaritma basis $10$ bisa tidak dituliskan.
- $ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai ${\color{Green} b}$ adalah ${\color{Green} b} \gt 0$
- ${\color{Red} c}$ disebut Hasil logaritma
Setelah kita mengetahui bentuk umum atau bentuk dasar dari logaritma di atas,
sekarang kita coba mengetahui beberapa sifat logaritma;
$\begin{aligned}
&(1).\color{Magenta}{}^{a}\!\log
a=1\\
&(2).\color{Magenta}{}^{a}\!\log 1=0\\
&(3).\color{Magenta}{}^{a}\!\log
x+{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \left (x \cdot y \right )\\
&(4).\color{Magenta}{}^{a}\!\log
x-{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \dfrac{x}{y}\\
&(5).\color{Magenta}{}^{a}\!\log
x^{n}=n \cdot\ {}^{a}\!\log x\\
&(6).\color{Magenta}{}^{a^{n}}\!\log
x^{m}=\dfrac{m}{n} \cdot {}^{a}\!\log x\\
&(7).\color{Magenta}{}^{a}\!\log
x= \dfrac{{}^{p}\!\log x}{{}^{p}\!\log a}\\
&(8).\color{Magenta}{}^{a}\!\log
x= \dfrac{1}{{}^{x}\!\log a}\\
&(9).\color{Magenta}{}^{a}\!\log x \
\cdot \ {}^{x}\!\log b = {}^{a}\!\log b\\
&(10).\color{Magenta}a^{{}^{a}\!\log
x}= x\\
&(11).\color{Magenta}a^{{}^{b}\!\log c}=c^{{}^{b}\!\log a}
\end{aligned}$
Dengan
mengenal beberapa sifat logaritma di atas, bisa mendekatkan kita kepada
logaritma. Ketika kita dekat dengan logaritma maka kita akan mudah mengetahui
kapan sebuah logaritma dapat atau tidak digunakan untuk menyelesaikan sebuah
masalah.
Sama halnya dengan mengenal teman-teman kita, semakin kita mengenal sifat-sifat teman kita maka kita akan lebih mudah membantu mereka dalam mencari solusi ketika teman kita dalam sebuah masalah.
Cara Pembuktian Sifat-sifat Logaritma dan Contoh Soal Logaritma
1. Sifat Logaritma $\boxed{{}^{a}\!\log a=1}$
-
Contoh 1
${}^{2}\!\log 2=1$ -
Contoh 2
${}^{5}\!\log 5=1$ -
Contoh 3
${}^{}\!\log 10=1$
2. Sifat Logaritma $\boxed{{}^{a}\!\log 1=0}$
-
Contoh 1
${}^{2}\!\log 1=0$ -
Contoh 2
${}^{5}\!\log 1=0$ -
Contoh 3
${}^{}\!\log 1=0$
3. Sifat Logaritma $\boxed{{}^{a}\!\log x+{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \left (x\cdot y \right )}$
-
Contoh 1
$\begin{align} & {}^{2}\!\log 3 + {}^{2}\!\log 5 \\ & = {}^{2}\!\log \left ( 3 \cdot 5 \right ) \\ & = {}^{2}\!\log 15 \end{align}$ -
Contoh 2
$\begin{align} & {}^{7}\!\log 3 + {}^{7}\!\log 10 \\ & = {}^{7}\!\log \left ( 3 \cdot 10 \right ) \\ & = {}^{7}\!\log 30 \end{align}$ -
Contoh 3
$\begin{align} & {}^{5}\!\log 2 + {}^{5}\!\log 3 + {}^{5}\!\log 4 \\ & = {}^{5}\!\log \left ( 2 \cdot 3 \right ) + {}^{5}\!\log 4 \\ & = {}^{5}\!\log \left ( 2 \cdot 3 \cdot 4 \right ) \\ & = {}^{5}\!\log 24 \end{align}$
4. Sifat Logaritma $\boxed{{}^{a}\!\log x-{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \frac{x}{y}}$
-
Contoh 1
$\begin{align} & {}^{2}\!\log 3 - {}^{2}\!\log 5 \\ & = {}^{2}\!\log \frac{3}{5} \end{align}$ -
Contoh 2
$\begin{align} & {}^{5}\!\log 10 - {}^{5}\!\log 2 \\ & = {}^{5}\!\log \frac{10}{2} \\ & = {}^{5}\!\log 5 \\ & = 1 \end{align}$ -
Contoh 3
$\begin{align} & {}^{3}\!\log 16 - {}^{3}\!\log 4 - {}^{3}\!\log 2 \\ & = {}^{3}\!\log \frac{16}{4} - {}^{3}\!\log 2 \\ & = {}^{3}\!\log 4 - {}^{3}\!\log 2 \\ & = {}^{3}\!\log \frac{4}{2} \\ & = {}^{3}\!\log 2 \end{align}$
5. Sifat Logaritma $\boxed{{}^{a}\!\log x^{n}=n \cdot\ {}^{a}\!\log x}$
-
Contoh 1
$\begin{align} & {}^{2}\!\log 64 \\ & = {}^{2}\!\log 2^{6} \\ & = 6 \cdot\ {}^{2}\!\log 2 \\ & = 6 \cdot\ 1 \\ & = 6 \end{align}$ -
Contoh 2
$\begin{align} & {}^{}\!\log 1000 \\ & ={}^{10}\!\log 1000 \\ & = {}^{10}\!\log 10^{3} \\ & = 3 \cdot\ {}^{10}\!\log 10 \\ & = 3 \cdot\ 1 \\ & = 3 \end{align}$ -
Contoh 3
$\begin{align} & {}^{5}\!\log \frac{1}{5} \\ & = {}^{5}\!\log 5^{-1} \\ & = -1 \cdot\ {}^{5}\!\log 5 \\ & = -1 \cdot\ 1 \\ & = -1 \end{align}$
6. Sifat Logaritma $\boxed{{}^{a^{n}}\!\log x^{m}=\dfrac{m}{n} \cdot\ {}^{a}\!\log x}$
-
Contoh 1
$\begin{align} & {}^{4}\!\log 125 \\ & = {}^{2^{2}}\!\log 5^{3} \\ & = \frac{3}{2} \cdot\ {}^{2}\!\log 5 \end{align}$ -
Contoh 2
$\begin{align} & {}^{27}\!\log 8 \\ & = {}^{3^{3}}\!\log 2^{3} \\ & = \frac{3}{3} \cdot\ {}^{3}\!\log 2 \\ & = {}^{3}\!\log 2 \end{align}$ -
Contoh 3
$\begin{align} & {}^{25}\!\log 0,001 \\ & = {}^{{5}^{2}}\!\log 10^{-3} \\ & = \frac{-3}{2} \cdot\ {}^{5}\!\log 10 \end{align}$
7. Sifat Logaritma $\boxed{{}^{a}\!\log x= \frac{{}^{p}\!\log x}{{}^{p}\!\log a}}$
-
Contoh 1
$\begin{align} & {}^{2}\!\log 3 \\ & = \dfrac{{}^{5}\!\log 2}{{}^{5}\!\log 3} \end{align}$ -
Contoh 2
Jika ${}^{2}\!\log 5=m$, maka tentukan nilai dari ${}^{5}\!\log 2$ dalam $m$.
$\begin{align} {}^{5}\!\log 2 & = \dfrac{{}^{2}\!\log 2}{{}^{2}\!\log 5} \\ & = \dfrac{1}{{}^{2}\!\log 5} \\ & = \dfrac{1}{m} \end{align}$ -
Contoh 3
Jika ${}^{2}\!\log 3=n$, maka tentukan nilai dari ${}^{27}\!\log 16$ dalam $n$.
$\begin{align} {}^{2}\!\log 3 & =n\\ \dfrac{{}^{}\!\log 3}{{}^{}\!\log 2} & =n\ \text{atau}\ \dfrac{{}^{}\!\log 2}{{}^{}\!\log 3} = \dfrac{1}{n} \\ \hline {}^{27}\!\log 16 & =\dfrac{{}^{}\!\log 16}{{}^{}\!\log 27} \\ & =\dfrac{{}^{}\!\log 2^{4}}{{}^{}\!\log 3^{3}} \\ & =\dfrac{4 \cdot {}^{}\!\log 2}{3 \cdot {}^{}\!\log 3} \\ & =\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{{}^{}\!\log 2}{{}^{}\!\log 3} \\ & =\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{n} \\ & =\dfrac{4}{3n} \end{align}$
8. Sifat Logaritma $\boxed{{}^{a}\!\log x= \frac{1}{{}^{x}\!\log a} }$
- Contoh 1
$\begin{align} & {}^{2}\!\log 3 \\ & = \dfrac{1}{{}^{3}\!\log 2} \end{align}$ -
Contoh 2
Jika ${}^{3}\!\log 5=p$, maka tentukan nilai dari ${}^{5}\!\log 3$ dalam $p$.
$\begin{align} {}^{5}\!\log 3 & = \dfrac{1}{{}^{3}\!\log 5} \\ & = \dfrac{1}{p} \end{align}$ -
Contoh 3
Jika ${}^{2}\!\log 3=m$, maka tentukan nilai dari ${}^{27}\!\log 16$ dalam $m$.
$\begin{align} {}^{2}\!\log 3 & =m \\ \dfrac{1}{{}^{2}\!\log 3} & = \dfrac{1}{m} \\ {}^{3}\!\log 2 & = \dfrac{1}{m} \\ \hline {}^{27}\!\log 16 & = {}^{{3}^{3}}\!\log 2^{4} \\ & =\frac{4}{3} \cdot {}^{3}\!\log 2 \\ & =\frac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{m} \\ & =\dfrac{4}{3m} \end{align}$
9. Sifat Logaritma $\boxed{{}^{a}\!\log x \cdot {}^{x}\!\log b = {}^{a}\!\log b}$
-
Contoh 1
$\begin{align} & {}^{2}\!\log 3 \cdot {}^{3}\!\log 5 \\ & = {}^{2}\!\log 5 \end{align}$ -
Contoh 2
$\begin{align} & {}^{3}\!\log 2 \cdot {}^{5}\!\log 27 \cdot {}^{2}\!\log 5 \\ & = {}^{3}\!\log 2 \cdot {}^{2}\!\log 5 \cdot {}^{5}\!\log 27 \\ & = {}^{3}\!\log 5 \cdot {}^{5}\!\log 27 \\ & = {}^{3}\!\log 27 \\ & = {}^{3}\!\log 3^{3} \\ & = 3 \end{align}$ -
Contoh 3
$\begin{align} & {}^{3}\!\log 2 \cdot {}^{8}\!\log 81 \\ & = {}^{3}\!\log 2 \cdot {}^{{2}^{3}}\!\log {3}^{4} \\ & = {}^{3}\!\log 2 \cdot \dfrac{4}{3} \cdot {}^{2}\!\log 3 \\ & = \dfrac{4}{3} \cdot {}^{3}\!\log 2 \cdot {}^{2}\!\log 3 \\ & = \dfrac{4}{3} \cdot {}^{3}\!\log 3 \\ & = \dfrac{4}{3} \cdot 1 \\ & = \dfrac{4}{3} \end{align}$
10. Sifat Logaritma $\boxed{a^{{}^{a}\!\log x}= x}$
-
Contoh 1
$\begin{align} 3^{{}^{3}\!\log 2} &= 2 \end{align}$ -
Contoh 2
$\begin{align} 32^{{}^{2}\!\log 5} & = \left( 2^{4} \right)^{{}^{2}\!\log 5} \\ & = \left( 2 \right)^{4 \cdot {}^{2}\!\log 5} \\ & = \left( 2 \right)^{{}^{2}\!\log 5^{4}} \\ & = 5^{4} \end{align}$ -
Contoh 3
$\begin{align} 3^{{}^{27}\!\log 2} & = 3^{{}^{{3}^{3}}\!\log 2} \\ & = 3^{\frac{1}{3} \cdot {}^{3}\!\log 2} \\ & = 3^{{}^{3}\!\log 2^{\frac{1}{3}}} \\ & = 2^{\frac{1}{3}} \end{align}$
11. Sifat Logaritma $\boxed{a^{{}^{b}\!\log c}=c^{{}^{b}\!\log a}}$
-
Contoh 1
$\begin{align} 2^{{}^{3}\!\log 5} &= 5^{{}^{3}\!\log 2} \end{align}$ -
Contoh 2
$\begin{align} 10^{{}^{7}\!\log 3} &= 3^{{}^{7}\!\log 10} \end{align}$ -
Contoh 3
$\begin{align} 10^{{}^{}\!\log 15} &= 15^{{}^{}\!\log 10} \\ & = 15^{1} \\ & = 15 \end{align}$
Sebagai bahan latihan dalam menggunakan sifat-sifat logaritma ini silahkan disimak contoh soal logaritma.
0 Komentar