$A B C D$ adalah suatu persegi panjang. Dari titik $C$ ditarik garis lurus yang memotong sisi $A B$ di titik $X$. Garis $C X$ memotong perpanjangan sisi $A D$ di titik $Y$. Jika panjang $B X$ adalah $b \mathrm{~cm}$, panjang DY adalah $d \mathrm{~cm}$, dan luas persegi panjang ABCD adalah $L \mathrm{~cm}^2$, maka pernyataan yang benar adalah....
A. $b \times d=L$
B. $b \times d=2 L$
C. $L<b \times d<2 L$
D. $b \times d<L$
Jawab: A
Perhatikan bahwa $\triangle B C X \sim \triangle D Y C$
$$
\begin{aligned}
\frac{B C}{D Y}=\frac{B X}{D C} & \Leftrightarrow \frac{B C}{d}=\frac{b}{D C} \\
& \Leftrightarrow b \times d=B C \times D C \\
& \Leftrightarrow b \times d=L
\end{aligned}
$$
$\boxed{2.}$ Diketahui suatu barisan aritmetika $a_1, a_2, a_3$,... dengan semua sukunya bilangan bulat, $a_1$ habis dibagi $3, a_2$ habis dibagi 5 , dan $a_3$ habis dibagi 7. Jika $a_1+a_2+a_3=405$ dan $a_1>105$, maka nilai $k$ terkecil sedemikian $a_k>1000$ adalah....
A. 74
B. 75
C. 76
D. 77
Jawab: B
Karena $a_1, a_2, a_3, \ldots$ merupakan barisan aritmetika dan $a_1+a_2+a_3=405$, maka $a_2=$ $\frac{405}{3}=135$, dan $a_1+a_3=270$. Karena $a_1>105$ dan $a_2=135$, maka $105<a_1<135$
Agar supaya $k$ terkecil maka $a_2-a_1$ harus maksimal atau nilai $a_1$ paling kecil yang mungkin sehingga $3 \mid a_1$ dan $7 \mid 270-a_1$. Dari $a_1 \in\{108,111,114, \ldots, 132\}$, diperoleh nilai $a_1=123$ dengan selisih $a_2-a_1=b=135-123=12$.
$$
U_k=123+12(k-1)>1000 \Leftrightarrow 12 k>889 \Leftrightarrow k>\left[\frac{889}{12}\right] \Leftrightarrow k=75
$$
A. $b \times d=L$
B. $b \times d=2 L$
C. $L<b \times d<2 L$
D. $b \times d<L$
Jawab: A
$$
\begin{aligned}
\frac{B C}{D Y}=\frac{B X}{D C} & \Leftrightarrow \frac{B C}{d}=\frac{b}{D C} \\
& \Leftrightarrow b \times d=B C \times D C \\
& \Leftrightarrow b \times d=L
\end{aligned}
$$
$\boxed{2.}$ Diketahui suatu barisan aritmetika $a_1, a_2, a_3$,... dengan semua sukunya bilangan bulat, $a_1$ habis dibagi $3, a_2$ habis dibagi 5 , dan $a_3$ habis dibagi 7. Jika $a_1+a_2+a_3=405$ dan $a_1>105$, maka nilai $k$ terkecil sedemikian $a_k>1000$ adalah....
A. 74
B. 75
C. 76
D. 77
Jawab: B
Karena $a_1, a_2, a_3, \ldots$ merupakan barisan aritmetika dan $a_1+a_2+a_3=405$, maka $a_2=$ $\frac{405}{3}=135$, dan $a_1+a_3=270$. Karena $a_1>105$ dan $a_2=135$, maka $105<a_1<135$
Agar supaya $k$ terkecil maka $a_2-a_1$ harus maksimal atau nilai $a_1$ paling kecil yang mungkin sehingga $3 \mid a_1$ dan $7 \mid 270-a_1$. Dari $a_1 \in\{108,111,114, \ldots, 132\}$, diperoleh nilai $a_1=123$ dengan selisih $a_2-a_1=b=135-123=12$.
$$
U_k=123+12(k-1)>1000 \Leftrightarrow 12 k>889 \Leftrightarrow k>\left[\frac{889}{12}\right] \Leftrightarrow k=75
$$
$\boxed{3.}$ Pada sebuah ujian yang dilaksanakan secara lisan oleh seorang guru digunakan aturan sebagai berikut.
Misalkan $p, w$ dan $s$ berturut-turut menyatakan banyaknya guru pria, guru wanita dan siswa yang terlibat menanam pohon.
$$
\begin{aligned}
& 13 p+10 w+6 s=159 \ldots \ldots . .1) \\
& \frac{1}{3}(p+w)=s \Leftrightarrow p+w=3 s \ldots 2)
\end{aligned}
$$
Subtitusi 2) ke 1) diperoleh: $15 p+12 w=159 \Leftrightarrow 5 p+4 w=53$
Pasangan $(p, w)$ yang memenuhi pada persamaan ini adalah $(1,12)$ dan $(5,7)$
Karena $3 \mid(p+w)$ maka pasangan $(p, w)$ yang memenuhi adalah $(5,7)$
Jadi, banyak guru wanita yang menanam pohon adalah 7 orang
$\triangle B E A$ siku-siku di $\mathrm{E}$, sehingga
$$
D E^2=A D \times D B \Leftrightarrow a(2 x-a)=16 \text {...........1)}
$$
Diketahui bahwa $A Q=A D=a$ dan $C Q=C R=D P=r$
Dengan menggunakan rumus lingkaran dalam segitiga $A B C$;
$$
\begin{aligned}
r=\frac{L}{s} \Leftrightarrow L & =r s \Leftrightarrow[A B C]=r \times \frac{1}{2}(A B+B C+C A) \\
{[A B C]=} & \left.\frac{1}{2} r(2 x+(2 x-a+r)+(r+a))=r(2 x+r) . .........2\right)
\end{aligned}
$$
Dengan cara lain;
$$\begin{aligned}
{[A B C] } & =\frac{1}{2} \times B C \times A C=\frac{1}{2}(2 x-a+r)(a+r) \\
& =\frac{1}{2}(a(2 x-a+r)+r(2 x-a+r)) \\
& =\frac{1}{2}(a(2 x-a)+a r+r(2 x+r)-a r) ...........(3)
\end{aligned}$$
Dengan memasukkan 1) dan 2) pada 3) diperoleh:
$[𝐴𝐵𝐶]=12(16+[𝐴𝐵𝐶])⇔12[𝐴𝐵𝐶]=8. \text{ Jadi, } [𝑂𝐵𝐶]=12[𝐴𝐵𝐶]=8$
$\boxed{6. }$ Tiga puluh koin dengan jari-jari 3,5 cm ditumpuk menjadi 4 tingkat sehingga menyerupai limas tegak segi empat beraturan dengan sisi angka menghadap ke atas. Tingkat pertama (paling bawah) terdiri dari 16 koin, tingkat kedua terdiri dari 9 koin, tingkat ketiga terdiri dari 4 koin dan tingkat keempat terdiri dari 1 koin. Pada setiap tingkat, koin akan disusun menyerupai persegi dengan setiap koin yang berdekatan saling bersinggungan. Jika dilihat dari atas, total luas sisi angka yang tertutup oleh koin lainnya adalah… cm².
A.381,5
B.444,5
C.539
D.1155
Jawab: B
- Sebanyak 30 pertanyaan berbeda dimasukkan secara berpasangan pada 15 kartu.
- Seorang siswa mengambil satu kartu secara acak. Jika dia menjawab dengan benar kedua pertanyaan pada kartu yang ditarik, dia dinyatakan lulus.
- Jika dia menjawab dengan benar hanya satu pertanyaan pada kartu yang ditarik,dia mengambil kartu lain dan guru menentukan yang mana dari dua pertanyaanpada kartu kedua yang harus dijawab. Jika siswa menjawab dengan benarpertanyaan yang ditentukan, siswa tersebut dinyatakan lulus. Pada keadaan lainnya siswa dinyatakan gagal.
Jika seorang siswa mengetahui jawaban dari 25 pertanyaan dan tidak tahu jawaban yang benar untuk 5 pertanyaan lainnya, peluang siswa tersebut lulus ujian adalah ....
A. $\frac{195}{203}$
B. $\frac{185}{203}$
C. $\frac{175}{203}$
D. $\frac{165}{203}$
Jawab: D
Peluang siswa menjawab benar 2 soal pada kartu adalah $\frac{25}{30} \times \frac{24}{29}=\frac{120}{203}$
Peluang siswa menjawab benar 1 soal pada kartu pertama dan menjawab benar pada kartu berikutnya adalah $\frac{25}{30} \times \frac{5}{29} \times \frac{24}{28}=\frac{25}{203}$ Jadi, peluang siswa tersebut lulus ujian adalah $\frac{120}{203}+\frac{25}{203}=\frac{165}{203}$
$\boxed{4.}$ SMP Nusantara mengadakan kegiatan menanam pohon yang diikuti oleh sejumlah guru pria dan guru wanita. Sepertiga dari keseluruhan guru tersebut mengajak serta siswa dengan aturan satu guru hanya mengajak satu siswa. Terdapat 159 pohon yang ditanam. Jika satu orang guru pria menanam 13 pohon, satu orang guru wanita menanam 10 pohon, dan 1 orang siswa menanam 6 pohon, maka banyaknya guru wanita yang menanam pohon adalah....
A. 5
B. 7
C. 9
D. 12
Jawab: B
Misalkan $p, w$ dan $s$ berturut-turut menyatakan banyaknya guru pria, guru wanita dan siswa yang terlibat menanam pohon.
$$
\begin{aligned}
& 13 p+10 w+6 s=159 \ldots \ldots . .1) \\
& \frac{1}{3}(p+w)=s \Leftrightarrow p+w=3 s \ldots 2)
\end{aligned}
$$
Subtitusi 2) ke 1) diperoleh: $15 p+12 w=159 \Leftrightarrow 5 p+4 w=53$
Pasangan $(p, w)$ yang memenuhi pada persamaan ini adalah $(1,12)$ dan $(5,7)$
Karena $3 \mid(p+w)$ maka pasangan $(p, w)$ yang memenuhi adalah $(5,7)$
Jadi, banyak guru wanita yang menanam pohon adalah 7 orang
$\boxed{5.}$ Perhatikan setengah lingkaran pusat O dan diameter AB berikut!
Titik C terletak pada busur AB dan P adalah pusat lingkaran dalam ABC. Titik P dilalui DE yang tegak lurus AO, Jika 𝐷𝐸 = 4 cm, maka luas daerah Δ𝑂𝐵𝐶 adalah… 𝑐𝑚².
A.2
B.4
C.8
D.16
Jawab: C
Perhatikan gambar :
$$
D E^2=A D \times D B \Leftrightarrow a(2 x-a)=16 \text {...........1)}
$$
Diketahui bahwa $A Q=A D=a$ dan $C Q=C R=D P=r$
Dengan menggunakan rumus lingkaran dalam segitiga $A B C$;
$$
\begin{aligned}
r=\frac{L}{s} \Leftrightarrow L & =r s \Leftrightarrow[A B C]=r \times \frac{1}{2}(A B+B C+C A) \\
{[A B C]=} & \left.\frac{1}{2} r(2 x+(2 x-a+r)+(r+a))=r(2 x+r) . .........2\right)
\end{aligned}
$$
Dengan cara lain;
$$\begin{aligned}
{[A B C] } & =\frac{1}{2} \times B C \times A C=\frac{1}{2}(2 x-a+r)(a+r) \\
& =\frac{1}{2}(a(2 x-a+r)+r(2 x-a+r)) \\
& =\frac{1}{2}(a(2 x-a)+a r+r(2 x+r)-a r) ...........(3)
\end{aligned}$$
Dengan memasukkan 1) dan 2) pada 3) diperoleh:
$[𝐴𝐵𝐶]=12(16+[𝐴𝐵𝐶])⇔12[𝐴𝐵𝐶]=8. \text{ Jadi, } [𝑂𝐵𝐶]=12[𝐴𝐵𝐶]=8$
A.381,5
B.444,5
C.539
D.1155
Jawab: B
Model susunan koin di lihat dari atas :
$Luas_{daun}=2\left ( \frac{1}{4}\left ( \frac{22}{7}\left ( \frac{7}{2} \right )^{2}-\frac{1}{2}\left ( \frac{7}{2} \right )^{2} \right ) \right )=7$
Luas 1 lingkaran, 𝐿=$\frac{22}{7}(\frac{7}{2})^2=38,5$
Pada bagian dasar terdapat 4 lingkaran dan 20 daun yang tertutup koin di atasnya.
Pada bagian kedua terdapat 1 lingkaran dan 12 daun yang tertutup koin di atasnya
Pada bagian ketiga terdapat 4 daun yang tertutup koin diatasnya
Total koin yang tertutup koin diatasnya adalah 5 lingkaran dan 36 daun dengan luas: $5×38,5+36×7=444,5$
$\boxed{7.}$ Diketahui persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan panjang sisi 12 cm. Titik 𝑃 terletak pada sisi 𝐶𝐷 dengan 𝐶𝑃:𝐷𝑃=1:2. Persegi ini akan dibentuk menjadi selimut tabung dengan cara mempertemukan sisi 𝐴𝐷 dengan sisi 𝐵𝐶. Jika jarak titik 𝐴 ke titik 𝑃 di selimut tabung yang terbentuk adalah $\dfrac{√𝑎+𝑏𝜋^2}{𝜋^2} $ cm, maka 𝑎+𝑏=⋯.
A.252
B.260
C.180
D.165
Jawab: A
$\boxed{8.}$ Dalam suatu kotak tertutup, terdapat dua buah dadu dengan enam sisi. Dadu pertama memiliki satu sisi bermata 1, satu sisi bermata 2, dua sisi bermata 3, dan dua sisi bermata 5. Sedangkan Dadu kedua memiliki satu sisi bermata 1, satu sisi bermata 2, satu sisi bermata 3, dan tiga sisi bermata 5.
Suatu permainan dilakukan dengan mengambil secara acak satu dadu dari dalam kotak, kemudian melemparkan dadu tersebut, mengamati hasilnya, dan memasukkannya kembali ke dalam kotak. Permainan dapat diulang beberapa kali. Andi main dua kali dan mendapatkan hasil pengamatan mata 1 pada permainan pertama dan mata 5 pada permainan kedua. Peluang bahwa hanya dadu kedua yang terambil pada kedua permainan yang dilakukan Andi adalah...
A. 0,4
B. 0,3
C. 0,2
D. 0,1
Jawab: B
$$
\begin{aligned}
P\left(1_2, 5_2\right) & =\frac{K\left(1_2\right) \times K\left(5_2\right)}{K\left(1_1\right) \times K\left(5_1\right)+K\left(1_1\right) \times K\left(5_2\right)+K\left(1_2\right) \times K\left(5_1\right)+K\left(1_2\right) \times K\left(5_2\right)} \\
& =\frac{1 \times 3}{1 \times 2+1 \times 3+1 \times 2+1 \times 3} \\
& =\frac{3}{2+3+2+3} \\
& =\frac{3}{10} \\
& =0,3
\end{aligned}
$$
$\boxed{9.}$ Diketahui $f(x)=x^{2022}-x^{2021}$ dan
$$
g(x)=x^{2020}-2 x^{2010}+3 x^{2018}-4 x^{2017}+\cdots-2020 x+2021
$$
Jika $n$ adalah nilai minimum dari $f(x)+g(x)$ untuk $x$ bilangan real, maka nilai $n+1$ adalah....
A. 1011
B. 1012
C. 2021
D. 2022
Jawab: B
$$
\begin{aligned}
& f(x)=x^{2022}-x^{2021}=x^{2022}\left(\frac{x-1}{x}\right) \geq 0 \Leftrightarrow x<0 \text { atau } x \geq 1 \\
& g(x)=x^{2020}-2 x^{2019}+3 x^{2018}-4 x^{2017}+\cdots-2020 x+2021 \\
& =x^{2016}\left(x^2-2 x+1\right)+2 x^{2016}\left(x^2-2 x+1\right)+\cdots+1010\left(x^2-2 x+1\right)+1011 \\
& =(x-1)^2\left(x^{2015}+2 x^{2016}+3 x^{2014}+\cdots+1010\right)+1011 \\
& \text { Karena }(x-1)^2\left(x^{2016}+2 x^{2016}+3 x^{2014}+\cdots+1010\right) \geq 0 \text {, maka } g(x) \geq 1011 \\
&
\end{aligned}
$$
Dengan demikian, untuk $x<0$ atau $x \geq 1, f(x)+g(x) \geq 1011$ dan mencapai minimum 1011 untuk: $x=1$.
Selanjutnya, untuk $0 \leq x<1$, mudah dipahami bahwa:
$$
\left(x^{2022}-x^{2021}\right)+(x-1)^2\left(x^{2016}+2 x^{2016}+3 x^{2014}+\cdots+1010\right)>0
$$
Sehingga, $f(x)+g(x)>1011$
Dengan demikian nilai $n$, minimum hasil dari $f(x)+g(x)$ adalah 1011 sehingga nilai dari $n+1=1012$
$\boxed{10.}$ Banyaknya kemungkinan bilangan bulat positif $n$ yang kurang dari 95 dan mengakibatkan $(\sqrt[3]{6})^{260-n}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n$ bilangan bulat adalah....
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
Jawab: A
$(\sqrt[3]{6})^{200-n}$ merupakan bilangan bulat jika $200-n$ merupakan bilangan kelipatan 3, dan $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ "merupakan bilangan rasional jika n merupakan bilangan genap.
Perhatikan bahwa:
$$
(\sqrt[3]{6})^{200-n}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) n=6^{\frac{200-n}{3}} \times 3^{\left(-\frac{n}{2}\right)}=2^{\frac{200-n}{3}} \times 3^{\frac{200-n}{3}-\frac{n}{2}}
$$
Merupakan bilangan bulat apabila:
$$
\begin{aligned}
\frac{200-n}{3}-\frac{n}{2} \geq 0 & \Leftrightarrow 400-2 n-3 n \geq 0 \\
& \Rightarrow 400-5 n \geq 0 \Leftrightarrow 5 n \leq 400 \Leftrightarrow n \leq 80
\end{aligned}
$$
Bilangan $n$ genap sehingga $200-n$ merupakan kelipatan 3 adalah $6 k-4$ untuk suatu $k$ bilangan asli, sehingga:
$$
6 k-4 \leq 80 \Leftrightarrow 6 k \leq 84 \Leftrightarrow k \leq 14
$$
Jadi banyak bilangan positif $n$ yang mungkin adalah 14, (yakni 2, 8, 14, $.80)$
SOAL NO. 11
Perhatikan bahwa:
$$
(\sqrt[3]{6})^{200-n}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) n=6^{\frac{200-n}{3}} \times 3^{\left(-\frac{n}{2}\right)}=2^{\frac{200-n}{3}} \times 3^{\frac{200-n}{3}-\frac{n}{2}}
$$
Merupakan bilangan bulat apabila:
$$
\begin{aligned}
\frac{200-n}{3}-\frac{n}{2} \geq 0 & \Leftrightarrow 400-2 n-3 n \geq 0 \\
& \Rightarrow 400-5 n \geq 0 \Leftrightarrow 5 n \leq 400 \Leftrightarrow n \leq 80
\end{aligned}
$$
Bilangan $n$ genap sehingga $200-n$ merupakan kelipatan 3 adalah $6 k-4$ untuk suatu $k$ bilangan asli, sehingga:
$$
6 k-4 \leq 80 \Leftrightarrow 6 k \leq 84 \Leftrightarrow k \leq 14
$$
Jadi banyak bilangan positif $n$ yang mungkin adalah 14, (yakni 2, 8, 14, $.80)$
SOAL NO. 11
Doni membeli 3 pasang burung kutilang di pasar dan membawanya dalam 1 wadah besar. Sampai di rumah, burung-burung tersebut akan ditempatkan secara acak ke dalam 3 sangkar berbeda yang masing-masing berisi 2 burung. Peluang setiap burung akan ditempatkan di kandang bersama pasangannya yang sesuai adalah...
A. $\frac{1}{15}$
B. $\frac{1}{10}$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{1}{6}$
Jawab: A
Banyak cara setiap burung akan ditempatkan di kandang bersama pasangannya yang sesuai adalah $3!=6$
Banyak cara menempatkan 6 burung ke dalam 3 kandang secara berpasangan adalah $C_2^6 C_2^4 C_2^2=\dfrac{6!}{2!2!2!}=90$
Jadi, peluang setiap burung akan ditempatkan di kandang bersama pasangannya yang sesuai adalah $\dfrac{6}{90}=\dfrac{1}{15}$
SOAL NO. 12
Banyaknya bilangan bulat positif yang habis membagi $10^{199}$ dan merupakan kelipatan $10^{111}$ adalah.
A. 7921
B. 12544
C. 32079
D. 40000
Jawab: A
Diketahui bahwa $10^{199}=10^{111} \times 10^{88}$
Hal ini berarti bahwa bilangan bulat positif yang habis membagi $10^{199}$ dan merupakan kelipatan $10^{111}$ adalah keseluruhan faktor dari $10^{88}$ dengan bentuk kanonik $2^{88} \times 5^{88}$, yakni sebanyak $(88+1)(88+1)=89^2=7192$.
SOAL NO. 13
Jika $a, b, c, d$ bilangan-bilangan asli sehingga $a^5=b^4, c^3=d^2 \text {, dan } c-a=19$maka nilai dari $d-b$ adalah....
A. 757
B. 243
C. 1000
D. 81
Jawab: A
Diketahui $a^5=b^4$. Jika dimisalkan $a=x^4$ maka tentulah $b=x^5$. Demikian halnya dengan $c^3=d^2$. Jika dimisalkan $c=y^2$ maka tentulah $d=y^3$.
Diketahui juga $c-a=19$, maka $y^2-x^4=\left(y+x^2\right)\left(y-x^2\right)=19$.
Karena $x$, $y$ bilangan-bilangan asli dan 19 merupakan bilangan prima, maka:
$y+x^2=19$ dan $y-x^2=1$. Dengan metode eliminasi diperoleh $y=10$ dan $x=3$
Jadi, nilai dari $d-b=y^3-x^5=10^3-3^5=1000-243=757$
Diketahui barisan himpunan bilangan dengan pola berikut
$\{1\},\{2,3\},\{4,5,6\} ....$
Himpunan pertama memiliki 1 anggota, yaitu bilangan bulat positif pertama.
Himpunan berikutnya memiliki 1 anggota lebih banyak dibanding himpunan sebelumnya, dengan anggota adalah bilangan bulat positif pada urutan berikutnya. Jika $M_n$ adalah rata-rata dari seluruh anggota himpunan ke-n,maka $2 M_{2022}-2 M_{2021}=\ldots$
A. 2021
B. 2022
C. 4043
D. 4044
Jawab: C
Diketahui $M_n$ adalah rata-rata dari seluruh anggota himpunan ke- $n$
Pada barisan $\{1\},\{2,3\},\{4,5,6\},\{7,8,9,10\},\{11,12,13,14,15\}=$ diperoleh barisan bertingkat $2 M_n$. $2,5,10,17,26 \ldots$ dengan pola $2 M_n=n^2+1$
Jadi, $2 M_{2022}-2 M_{2021}=\left(2022^2+1\right)-\left(2021^2+1\right)=2022+2021=4043$
SOAL NO. 15
Nilai ulangan harian Matematika siswa Kelas VII di SMP Harapan disajikan dalam grafik berikut
Nilai ulangan harian Matematika siswa Kelas VII di SMP Harapan disajikan dalam grafik berikut
A. $M_p=M_L$
B. $M_p<M_L$
C. $R_p=R_L$
D. $R_p>R_L$
Jawab: A
Dari grafik diperoleh bahwa banyak siswa laki-laki $=9+2+4+5=20$ orang dan banyak siswa perempuan adalah $=18+10+8+4=40$ orang.
$$
\begin{aligned}
& R_L=\frac{70(9)+80(2)+90(4)+100(5)}{20}=\frac{1650}{20}=82,5 \\
& R_p=\frac{70(18)+80(10)+90(8)+100(4)}{40}=\frac{3180}{40}=79,5
\end{aligned}
$$
$M_𝐿$ terletak antara data ke 10 dan 11, diperoleh $𝑀_𝐿=80$
$M_𝑃$ terletak antara data ke 20 dan 21, diperoleh $𝑀_𝑃=80$
Dengan demikian, pernyataan yang benar adalah $𝑀_𝑃=𝑀_𝐿$
16. Bilangan "primus" dihasilkan dari bilangan 4 digit $\overline{a b c d}$ dengan $b=0$ yang melalui 3 langkah berikut:
(i) Kurangi $\overline{a b c d}$ dengan jumlah semua digitnya(ii) Bagilah hasil dari langkah (i) dengan 9
(iii) Kurangilah bilangan hasil dari langkah (ii) dengan 99 kali digit pertama bilangan hasil dari langkah (ii)
Di antara bilangan berikut, yang bukan merupakan bilangan "primus" adalah....
A. 38
B. 59
C. 104
D. 117
Jawab: B dan D
(i) $\overline{a b c d}-(a+b+c+d)=1000 a+10 c+d-a-c-d=999 a+9 c$
(ii) $\frac{999 a+9 c}{9}=111 a+c$ mempunyai n digit pertama $\left\{\begin{array}{l}a, \quad \text { jika } a \neq 9 \text { or } c=0 \\ 1, \text { jika } a=9 \text { dan } c \neq 0\end{array}\right.$
(iii) $\left\{\begin{array}{l}\text { jika } a \neq 9 \text { or } c=0, \text { maka hasilnya } 111 a+c-99 a=12 a+c \\ \text { jika } a=9 \text { dan } c \neq 0, \text { maka hasilnya adalah } 111 a+c-99\end{array}\right.$
Selanjutnya kita akan menyelidiki satu persatu dari opsi yang tersedia. $38=12(3)+2$, merupakan bilangan primus untuk $a=3$ dan $c=2$
59 bukan bilangan primus karena tidak. ada angka $a$, dan $c$, sehingga $12 a+c=59$
$104=12(8)+8$, merupakan bilangan primus untuk $a=8$ dan $c=8$
117 bukan bilangan primus karena tidak ada $a$, dan $c$, sehingga $111 a+c-99=117$
17. Perhatikan persamaan berikut
$\sqrt{x+2-4 \sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6 \sqrt{x-2}}=1$
Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah....
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
Jawab: D
$$
\begin{aligned}
& \sqrt{x+2-4 \sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6 \sqrt{x-2}}=1 \\
& \sqrt{(\sqrt{x-2}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-2}-3)^2}=1 \Leftrightarrow|\sqrt{x-2}-2|+|\sqrt{x-2}-3|=1
\end{aligned}
$$
- Jika $x-2 \geq 9$, maka $2 \sqrt{x-2}-5=1 \Leftrightarrow x-2=3^2 \Leftrightarrow x=11$
- Jika $4<x-2<9$, maka $\sqrt{x-2}-2+3-\sqrt{x-2}=1 \Leftrightarrow 1=1 \Leftrightarrow x=7,8,9,10$
- Jika $x-2 \leq 4$, maka $5-2 \sqrt{x-2}=1 \Leftrightarrow x-2=2^2 \Leftrightarrow x=6$
Jadi, banyak bilangan bulat $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah 6
\begin{aligned}
& \sqrt{x+2-4 \sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6 \sqrt{x-2}}=1 \\
& \sqrt{(\sqrt{x-2}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-2}-3)^2}=1 \Leftrightarrow|\sqrt{x-2}-2|+|\sqrt{x-2}-3|=1
\end{aligned}
$$
- Jika $x-2 \geq 9$, maka $2 \sqrt{x-2}-5=1 \Leftrightarrow x-2=3^2 \Leftrightarrow x=11$
- Jika $4<x-2<9$, maka $\sqrt{x-2}-2+3-\sqrt{x-2}=1 \Leftrightarrow 1=1 \Leftrightarrow x=7,8,9,10$
- Jika $x-2 \leq 4$, maka $5-2 \sqrt{x-2}=1 \Leftrightarrow x-2=2^2 \Leftrightarrow x=6$
Jadi, banyak bilangan bulat $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah 6
18. Rio ingin bermain Sudoki pada kotak berukuran 4 x 4. Peraturan permainan Sudoki adalah setiap sel harus diisi dengan salah satu dari angka 1, 2, 3, atau 4 dengan syarat tidak boleh ada angka yang sama dalam pada setiap baris maupun kolom. Berikut diberikan salah satu contoh tampilan akhir permainan Sudoki yang mungkin.
Banyak tampilan sudoki yang mungkin adalah….
A. 50
B. 576
C. 432
D. 676
Jawab: B
Banyak cara memilih angka pada baris pertama adalah 4!=24
Banyak cara memilih angka pada baris kedua kolom 1 dan 2, masing-masing 3 cara
Banyak cara memilih angka pada baris kedua kolom 3 dan 4 masing-masing 1 cara
Jadi banyak cara memilih angka pada baris 2 adalah 3×3=9 cara
Dari 9 cara tersebut terdapat 3 pasangan reflektif, misalnya baris pertama (1,2,3,4), maka kemungkinan baris kedua (2,1,4,3), (3,4,1,2), atau (4,3,2,1)
- Jika pada baris 1 dan 2 muncul pasangan reflektif, maka banyak cara memilih angka pada baris ketiga sebanyak 4 cara, sehingga diperoleh 24×3×4=288 tampilan
- Jika pada baris 1 dan 2 muncul bukan pasangan reflektif, maka banyak cara memilih angka pada baris ketiga sebanyak 2 cara, sehingga diperoleh 24×6×2=288 tampilan
Jadi, banyak tampilan sudoki yang mungkin adalah $288+288=576$
Jika ∠𝐵𝑂𝑅 = 48° dan ∠𝑂𝑃𝐴 = 80°, maka besar ∠𝑃𝑄𝑅 =⋯°.
A.92
B.104
C.118
D.125
Jawab: C
Perhatikan gambar.
Mudah dipahami bahwa Δ𝑂𝐵𝐷 dan Δ𝑂𝐴𝐶 adalah segitiga sama kaki. ∠𝑂𝐴𝐶+∠𝑂𝐶𝐴=∠𝐵𝑂𝐶
⇔2𝑦=48
⇔𝑦=24° Δ𝑂𝐴𝑃, 2𝑥+𝑦+80=180
⇔2𝑥=76⇔𝑥=38°
∠𝑃𝑄𝑅 adalah sudut luar Δ𝑃𝑄𝐷, sehingga: ∠𝑃𝑄𝑅=𝑥+80=38+80=118°
Soal No. 20. Perhatikan urutan lima bangun datar berikut
Urutan kelima bangun datar disebut ideal jika ketiga syarat berikut terpenuhi
(i) Ada tepat 1 bangun diantara segilima dan segienam
(ii) Ada lebih dari 1 bangun diantara segitiga dan segi delapan
(iii) Segiempat tidak disebelah segienam maupun segi delapan
Banyaknya urutan yang tidak ideal dari kelima bangun datar tersebut adalah...
A.1
B.2
C.118
D.119
Jawab: C
Misalkan (3,4,5,6,8) menunjukkan urutan bangun datar berdasarkan jumlah sisinya pada gambar di atas. Adapun urutan ideal yang memenuhi ketiga syarat di atas hanyalah (3,4,5,8,6) dan urutan refleksinya (6,8,5,4,3).
Banyak urutan yang mungkin untuk menyusun bangun-bangun datar tersebut adalah 5!=120
Jadi, banyak urutan yang tidak ideal dari kelima bangun datar tersebut adalah 120−2=118
Soal No. 21. Jika $𝑎_1$ dan $𝑎_2$ adalah 2 bilangan bulat positif terkecil berbeda yang memenuhi $𝑎^9 + 2$ habis dibagi 10 maka nilai dari $𝑎_1+𝑎_2$ adalah....
A.18
B.22
C.24
D.26
Jawab: D
$10|\overline{𝑎^9+2}$ apabila angka satuan dari $𝑎^9$ adalah angka 8 dan tentulah digit terakhir dari 𝑎 harus angka genap. Dari angka 0,2,4,6,8, bilangan yang menghasilkan digit terakhir angka 8 setelah dipangkatkan 9 hanyalah angka 8, berarti dua bilangan terkecil yang memenuhi adalah 8 dan 18. Jadi, $𝑎_1+𝑎_2=8+18=26$
Soal No. 22. Berikut ini adalah sel 3 x 3 yang akan diisi dengan bilangan bulat positif sedemikiansehingga jumlah 3 bilangan dalam setiap baris, kolom, maupun diagonal sama.
Jika 𝑛 adalah nilai terkecil yang mungkin untuk mengisi sel pojok kiri atas, maka jumlah semua bilangan yangberada di keempat sel pojok adalah..
A.104
B.105
C.107
D.110
Jawab: A
Perhatikan tabel.
Jumlah bilangan pada baris I adalah 46+𝑛. Karena semua baris, kolom dan diagonal berjumlah sama, maka bilangan pada baris III kolom III adalah 𝑛−12. Akibatnya bilangan pada baris II kolom II adalah 58−𝑛.
Selanjutnya diperoleh baris II kolom I, baris III kolom 2 dan baris III kolom I berturut-turut 2𝑛−29,2𝑛−17 dan 75−2𝑛. Jadi jumlah semua bilangan yang berada di keempat sel pojok adalah 𝑛+41+75−2𝑛+𝑛−12=104
Soal No. 23. Diketahui suatu persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan titik 𝑃 dan 𝑄 masing-masing berada pada sisi 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷 sedemikian sehingga 𝐴𝑃𝐶𝑄 merupakan belah ketupat. Titik 𝑅 merupakan titik pusat persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷. Titik 𝑆 terletak di sisi 𝐶𝐷 dan 𝑃𝑆 tegak lurus dengan sisi 𝐶𝐷. Jika panjang 𝐴𝐵 = 𝑎 dan panjang 𝐵𝐶 = 𝑏 selisih panjang 𝑅𝑆 dan 𝑄𝑆 adalah ....
A. $\frac{a}{b}\sqrt{a^2+b^2}-\frac{2a^2}{b}$
B. $\frac{b^2}{a}\sqrt{a^2+b^2}-\frac{b^2}{a}$
C. $\frac{b}{a}\sqrt{a^2+b^2}-\frac{2b^2}{a}$
D. $\frac{2a}{b}\sqrt{a^2+b^2}-\frac{a}{b^2}$
Jawab: B
Perhatikan gambar.
Misalkan $D Q=x$, maka $C Q=C P=a-x$
Pada $\triangle C B P, B C^2=P C^2-P B^2$
$$
\begin{gathered}
b^2=(a-x)^2-x^2=a(a-2 x) \Leftrightarrow a-2 x=\frac{b^2}{a} \\
Q S=a-2 x=\frac{b^2}{a}
\end{gathered}
$$
$$
\begin{aligned} \text { Pada }
\triangle R T S ; R S^2=R T^2+T S^2 & =\left(\frac{1}{2} b\right)^2+\left(\frac{1}{2} Q S\right)^2=\left(\frac{1}{2} b\right)^2+\left(\frac{b^2}{2 a}\right)^2 \\
& =\left(\frac{b}{2 a}\right)^2\left(a^2+b^2\right) \\
R S & =\frac{b}{2 a} \sqrt{a^2+b^2}
\end{aligned}
$$
Jadi, selisih panjang $R S$ dan $Q S$ adalah $R S-Q S=\frac{b}{2 a} \sqrt{a^2+b^2}-\frac{b^2}{a}$
Soal No. 24. Perhatikan persamaan berikut.
$$
x^{2023}-x^{2021}-x^{2019}-\cdots-x^3=2 x
$$
Jumlah dari kuadrat akar-akar real persamaan tersebut adalah....
A. 0
B. 4
C. 6
D. 9
Misalkan $D Q=x$, maka $C Q=C P=a-x$
Pada $\triangle C B P, B C^2=P C^2-P B^2$
$$
\begin{gathered}
b^2=(a-x)^2-x^2=a(a-2 x) \Leftrightarrow a-2 x=\frac{b^2}{a} \\
Q S=a-2 x=\frac{b^2}{a}
\end{gathered}
$$
$$
\begin{aligned} \text { Pada }
\triangle R T S ; R S^2=R T^2+T S^2 & =\left(\frac{1}{2} b\right)^2+\left(\frac{1}{2} Q S\right)^2=\left(\frac{1}{2} b\right)^2+\left(\frac{b^2}{2 a}\right)^2 \\
& =\left(\frac{b}{2 a}\right)^2\left(a^2+b^2\right) \\
R S & =\frac{b}{2 a} \sqrt{a^2+b^2}
\end{aligned}
$$
Jadi, selisih panjang $R S$ dan $Q S$ adalah $R S-Q S=\frac{b}{2 a} \sqrt{a^2+b^2}-\frac{b^2}{a}$
Soal No. 24. Perhatikan persamaan berikut.
$$
x^{2023}-x^{2021}-x^{2019}-\cdots-x^3=2 x
$$
Jumlah dari kuadrat akar-akar real persamaan tersebut adalah....
A. 0
B. 4
C. 6
D. 9
Jawab : B
$$
\begin{aligned}
x^{2023}-x^{2021}-x^{2019}-\cdots-x^3 & =2 x \\
x^{2023}-x & =x^{2021}+x^{2019}+x^{2017}+\cdots+x^3+x
\end{aligned}
$$
(deret geometri dengan rasio $x^2, n=1011$ )
$$
\begin{aligned}
& =\frac{x\left(\left(x^2\right)^{1011}-1\right)}{x^2-1} ; x^2 \neq 1 \\
\left(x^2-1\right) x\left(x^{2022}-1\right) & =x\left(x^{2022}-1\right) \\
\left(x^2-2\right) x\left(x^{2022}-1\right) & =0 \\
(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}) x\left(x^{2022}-1\right) & =0
\end{aligned}
$$
Dari persamaan tersebut diperoleh akar-akar $\{-\sqrt{2},-1,0,1, \sqrt{2}\}$. Karena $x^2 \neq 1$, maka akar-akar yang memenuhi adalah $-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}$. Jadi, jumlah dari kuadrat akar-akar real persamaan tersebut adalah $2+0+2=4$
\left\{\frac{(n-2)^2+2}{m}, \frac{(n-2)^3+2}{m}, \frac{(n-2)^4+2}{m}, \ldots\right\}
$$
Semua anggota $\mathrm{A}$ adalah bilangan bulat positif . Jika $n$ adalah kelipatan dari $m$, maka jumlah semua nilai $m$ yang mungkin untuk $n=2022$ adalah
$$
\begin{aligned}
x^{2023}-x^{2021}-x^{2019}-\cdots-x^3 & =2 x \\
x^{2023}-x & =x^{2021}+x^{2019}+x^{2017}+\cdots+x^3+x
\end{aligned}
$$
(deret geometri dengan rasio $x^2, n=1011$ )
$$
\begin{aligned}
& =\frac{x\left(\left(x^2\right)^{1011}-1\right)}{x^2-1} ; x^2 \neq 1 \\
\left(x^2-1\right) x\left(x^{2022}-1\right) & =x\left(x^{2022}-1\right) \\
\left(x^2-2\right) x\left(x^{2022}-1\right) & =0 \\
(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}) x\left(x^{2022}-1\right) & =0
\end{aligned}
$$
Dari persamaan tersebut diperoleh akar-akar $\{-\sqrt{2},-1,0,1, \sqrt{2}\}$. Karena $x^2 \neq 1$, maka akar-akar yang memenuhi adalah $-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}$. Jadi, jumlah dari kuadrat akar-akar real persamaan tersebut adalah $2+0+2=4$
Soal No. 25. Diketahui himpunan A sebagai berikut
$$\left\{\frac{(n-2)^2+2}{m}, \frac{(n-2)^3+2}{m}, \frac{(n-2)^4+2}{m}, \ldots\right\}
$$
Semua anggota $\mathrm{A}$ adalah bilangan bulat positif . Jika $n$ adalah kelipatan dari $m$, maka jumlah semua nilai $m$ yang mungkin untuk $n=2022$ adalah
A. 3
B. 6
C. 12
D. 28
Jawab: C
Untuk $n=2022$, maka anggota $\mathrm{A}$ berbentuk $\frac{2020^k+2}{m} \operatorname{untuk} k=2,3,4 \ldots$
Jika $n$ adalah kelipatan dari $m$ maka $m$ adalah faktor dari 2022, yaitu $1,2,3,6,337,674,1011,2022$.
Agar $\frac{2020 \underline{k}}{m}+2$ merupakan bilangan bulat positif, maka $m \mid 2020^k+2$
Jelas bahwa, $1 \mid 2020^k+2$ dan $2 \mid 2020^k+2$.
$2020^k=(673 \times 3+1)^k$. Hal ini berarti bahwa $2020^k \equiv 1(\bmod 3)$ atau $2020^k+2 \equiv$ $0(\bmod 3)$.
Dengan demikian $3 \mid 2020^k+2$, akibatnya $6 \mid 2020^k+2$. Sementara itu, $337,674,1011,2022$ tidak habis membagi $2020^k+2$ untuk $k=2$.
Jadi, jumlah semua nilai $m$ yang mungkin untuk $n=2022$ adalah $1+2+3+6=12$
Pembahasan ini tidak dijamin sepenuhnya benar. Kesalahan kalkulasi atau perbedaan dalam menfsirkan soal sangat dimungkinkan terjadi.
0 Komentar