PEMBAHASAN OSN BIDANG MATEMATIKA SMP TINGKAT KAB/KOTA TAHUN 2023
PILIHAN GANDA
SOAL NOMOR 1
Di samping kolam ikan berbentuk segitiga, dibangun jalan berbentuk L dengan panjang 3 meter dan lebar x meter, seperti yang terlihat pada gambar berikut:
Jika luas segitiga tersebut sama dengan luas daerah yang berbentuk L, maka nilai x adalah…meter.
A.3−√6
B.2√3−3
C.3+√6
D.2√3+3
Jawab: A
Cara 1.
$\begin{aligned}
\text{Luas segitiga = Luas daerah berbentuk L}\\
\frac{1}{2}(3−𝑥)^2 =𝑥^2+2𝑥(3−𝑥)\\
⇔ (3−𝑥)^2=2𝑥^2+4𝑥(3−𝑥)\\
⇔ 9−6𝑥+𝑥^2=2𝑥^2+12𝑥−4𝑥^2⇔3𝑥^2−18𝑥+9=0\\
⇔ 𝑥^2−6𝑥+3=0\\
⇔ (𝑥−3)^2=6\\
⇔𝑥−3=±\sqrt{6}\\
⇔ 𝑥=3±\sqrt{6}\\
\text{Karena 𝑥<3, maka, } 𝑥=3−\sqrt{6}
\end{aligned}$
Cara 2.
$\begin{aligned}
\text{Luas Segitiga = sepertiga luas persegi } =\frac{1}{3}×3^2=3 \\
\frac{1}{2}(3−𝑥)^2=3⇔(3−𝑥)^2=6 \\
⇔ 3−𝑥=±\sqrt{6} ⇔ 𝑥=3±\sqrt{6}\\
\text{Karena , } 𝑥<3, ~~maka~~ 𝑥=3−\sqrt{6}
\end{aligned}$
SOAL NOMOR 2
$\begin{aligned}
\text{Luas Segitiga = sepertiga luas persegi } =\frac{1}{3}×3^2=3 \\
\frac{1}{2}(3−𝑥)^2=3⇔(3−𝑥)^2=6 \\
⇔ 3−𝑥=±\sqrt{6} ⇔ 𝑥=3±\sqrt{6}\\
\text{Karena , } 𝑥<3, ~~maka~~ 𝑥=3−\sqrt{6}
\end{aligned}$
SOAL NOMOR 2
A bergerak mendekati B yang berjarak 55 km dengan kecepatan 5 km/jam. Satu jam kemudian, B bergerak menuju A dengan kecepatan 𝑥 km/jam, dengan 𝑥 adalah waktu (dalam jam) ketika B berangkat sampai bertemu A. Grafik yang menyatakan hubungan antar waktu (t) yang dibutuhkan A bertemu B dengan jarak (S) A dan B adalah....
Jawab: B
Kejadian untuk percobaan ini ada 2 kemungkinan. Pelambungan pertama muncul ganjil atau pelambungan pertama muncul genap.
Peluang munculnya mata dadu ganjil pada pelambungan pertama dan kedua adalah
$$
\frac{1}{2} \times \frac{2}{6}=\frac{1}{6}
$$
Peluang munculnya mata dadu genap pada pelambungan pertama dan ganjil pada lambungan kedua adalah
$$
\frac{1}{2} \times \frac{4}{6}=\frac{1}{3}
$$
Jadi, peluang munculnya mata dadu ganijl adalah $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$
Banyak cara memilih $k$ bilangan berbeda dari $\left.a_1, a_2, \ldots, a_k \in\{1,2,3, \ldots, n)\right\}$ dengan syarat $a_k-a_{k-1}>1$ adalah $\left(\begin{array}{c}n-(k-1) \\ k\end{array}\right)$
Banyak cara memilih 1 jadwal kedatangan dari $1-10$ adalah $\left(\begin{array}{c}10 \\ 1\end{array}\right)=10$
Banyak cara memilih 2 jadwal kedatangan dari $1-10$ adalah $\left(\begin{array}{l}9 \\ 2\end{array}\right)=36$
Banyak cara memilih 3 jadwal kedatangan dari $1-10$ adalah $\left(\begin{array}{l}8 \\ 3\end{array}\right)=56$
Banyak cara memilih 4 jadwal kedatangan dari 1 - 10 adalah $\left(\begin{array}{l}7 \\ 4\end{array}\right)=35$
Banyak cara memilih 5 jadwal kedatangan dari $1-10$ adalah $\left(\begin{array}{l}6 \\ 5\end{array}\right)=6$
Karena tidak boleh memilih jadwal berurutan, maka tidak mungkin memilih lebih dari 5 jadwal dari tanggal 1 sampai 10. Jadi, banyaknya kemungkinan jadwal kedatangan yang dapat dibuat oleh Aima adalah $10+36+56+35+6=143$
Jika perbandingan tinggi dua bangun ruang yang sebangun adalah 𝑎:𝑏, maka perbandingan volumnya adalah $𝑎^3:𝑏^3$.
Misalkan tinggi air pada kerucut dengan volume 1 liter 1000 mL adalah 𝑎 dan tinggi air pada kerucut setelah ditambahkan 331 mL adalah 𝑏, maka: $𝑎^3:𝑏^3=1000:1331⇔𝑎:𝑏=10:11$
Perubahan populasi ikan A meringkat dari $x$ merijadi $128 \% x$
Perubahan populasi ikan B menumun dari y menjadi $72 \% y$
Rasio perubahannya; $\frac{128 \% x}{72 \% y}=\frac{y}{x}=\frac{x^2}{y^2}=\frac{72}{128}=\frac{9}{16} \Leftrightarrow \frac{x}{y}=\frac{3}{4}$
Misalkian populasi A dan B mula-mula adalah $3 k$ dan $4 k$ untuk suatu bilangan asli $k$, maka perubahan populasi keseluruhan ikan adalah
$$
|(128 \%(3 k)+72 \%(4 k))-100 \%(7 k)|=|(384+288-700) \% k|=28 \% k .
$$
Persentase perubahan populasi keseluruhan ikan sekarang dibandingkan total populasi ikan semula adalah
$$
\frac{\text { perubahan populasi ikan }}{\text { Total populasi ikan semula }}=\frac{28 \% k}{700 \% k} \times 100 \%=4 \%
$$
SOAL NOMOR 12
$\begin{aligned}
\text{𝑃(ada siswa lahir di bulan yang sama)=1−𝑃(Semua siswa lahir di bulan berbeda)}\\ =1−(1×\frac{11}{12}×\frac{10}{12}×\frac{9}{12}) \\
=1−0,5729 =0,4271
\end{aligned}$
Misalkan 𝑥 dan 𝑦 menyatakan waktu kapal 1 dan 2 untuk berlabuh dari pukul 00.00 – 24.00 dan garis 𝑦=𝑥 menunjukkan waktu kedua kapal bertemu.
Garis 𝑦=𝑥−1 adalah batas waktu kapal 1 menunggu ketika kapal 2 berlabuh dan 𝑦=𝑥+4 merupakan batas waktu kapal 2 menunggu ketika kapal 1 berlabuh.Peluang kapal 1 menunggu saat kapal 2 berlabuh adalah :
$[\frac{OPQB}{OAB}]=1−\frac{[𝑃𝐴𝑄]}{[𝑂𝐴𝐵]} =1−\frac{22^2}{24^2}=\frac{23}{144}$
Peluang kapal 2 menunggu saat kapal 1 berlabuh adalah:
$[\frac{OSRB}{OCB}]=1−\frac{[SCR]}{[OCB]}=1−\frac{20^2}{24^2}=\frac{44}{144}$
Jadi, peluang bahwa satu kapal harus menunggu sampai tempat bersandar dapat digunakan adalah
$𝑃=\frac{23}{144}+\frac{44}{144}=\frac{67}{144}$
SOAL NOMOR 17
Perhatikan kedua persamaan berikut.
$$
A=\frac{\left(p^2+q^2+r^2\right)^2}{p^2 q^2+q^2 r^2+r^2 p^2} \text { dan } B=\frac{q^2-p r}{p^2+q^2+r^2}
$$
Jika $p+q+r=0$, maka nilai $A^2-4 B$ adalah....
A. 6
B. 8
C. 12
D. 14
Jawab: D
Diketahui $p+q+r=0$
$$
\begin{aligned}
(p+q+r)^2 & =p^2+q^2+r^2+2(p q+q r+r p)=0 \\
p^2+q^2+r^2 & =-2(p q+q r+r p) \\
\left(p^2+q^2+r^2\right)^2 & =4(p q+q r+r p)^2 \\
& =4\left(p^2 q^2+q^2 r^2+r^2 p^2+2 p q r(p+q+r)\right. \\
& =4\left(p^2 q^2+q^2 r^2+r^2 p^2\right)+0
\end{aligned}
$$
Sehingga:
$$
A=\frac{\left(p^2+q^2+r^2\right)^2}{p^2 q^2+q^2 r^2+r^2 p^2}=\frac{4\left(p^2 q^2+q^2 r^2+r^2 p^2\right)}{p^2 q^2+q^2 r^2+r^2 p^2}=4 .
$$
Selanjutnya diketahui, $p^2+q^2+r^2=-2(p q+q r+r p)$
$$
\begin{aligned}
p^2+q^2+r^2 & =-2(q(p+r)+r p) \\
& =-2(q(-q)+r p) \\
& =2\left(q^2-p r\right)
\end{aligned}
$$
Sehingga:
$$
B=\frac{q^2-p r}{p^2+q^2+r^2}=\frac{q^2-p r}{2\left(q^2-p r\right)}=\frac{1}{2}
$$
Dari 1) dan 2) diperoleh: $A^2-4 B=4^2-4\left(\frac{1}{2}\right)=14$
SOAL NOMOR 18
Diketahui barisan bilangan bulat $x_1, x_2, \ldots, x_{2023}$ yang memenuhi tiga syarat berikut
$$
\begin{aligned}
& x_1+x_3+\cdots+x_{2023}=25-\left(x_2+x_4+\cdots+x_{2022}\right) \\
& x_1{ }^2+x_3{ }^2+\cdots+x_{2023}{ }^2=125-\left(x_2{ }^2+x_4{ }^2+\cdots+x_{2022}{ }^2\right) \\
&-2 \leq x_i \leq 1 \text { untuk } i=1,2,3, \ldots, 2023
\end{aligned}
$$
Nilai terkecil yang mungkin untuk $x_1{ }^3+x_3{ }^3+\cdots+x_{2023}{ }^3$ adalah....
A. -100
B. -71
C. -51
D. -16
Jawab: B
Persamaan di atas dapat diubah sebagai berikut:
$$
\begin{aligned}
x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{2023} & =25 \\
x_1{ }^2+x_2{ }^2+x_3{ }^2+\cdots+x_{2023}{ }^2 & =125
\end{aligned}
$$
Diketahui bahwa $x_i \in\{-2,-1,0,1\}$. Misalkan $p, q, r, s$ berturut-turut menyatakan banyaknya $-2,-1,0,1$ yang digunakan pada masing-masing persamaan, maka:
$$
\begin{array}{r}
-2 p-q+s=25 \ldots \ldots .1) \\
4 p+q+s=125 \ldots \ldots 2)
\end{array}
$$
Nilai untuk $x_1{ }^3+x_3{ }^3+\cdots+x_{2023}{ }^3=-8 p-q+s=25-6 p$ akan terkecil apabila $p$ dengan nilai terbesar. Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas diperoleh:
$$
6 p+2 q=100 \Leftrightarrow 3 p+q=50
$$
Nilai terbesar $p=16$ untuk $q=2$. Jadi, nilai terkecil yang mungkin untuk $x_1{ }^3+x_3{ }^3+$ $\cdots+x_{2023}{ }^3$ adalah $25-6(16)=25-96=-71$
SOAL NOMOR 19.Suatu bilangan prima disebut “prima kanan” jika dapat diperoleh bilangan prima dengan menghilangkan setidaknya satu angka di sebelah kiri. Sebagai contoh. 223 adalah “prima kanan” sebab setelah menghilangkan angka 2 paling kiri, bilangan yang tersisa adalah 23yang merupakan bilangan prima. Contoh lainnya 127. Dengan menghilangkan 2 angka paling kiri maka angka yang tersisa adalah 7 yang merupakan bilangan prima.Banyaknya bilangan prima antara 10 dan 200 yang merupakan “prima kanan” adalah....
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30
Jawab: A
Perhatikan bahwa semua bilangan prima dua digit yang angka satuannya 3 atau 7 adalah “prima kanan”. Adapun bilangan yang memenuhi sifat ini, yaitu 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 97. Selanjutnya, semua bilangan prima 3 digit yang angka satuan atau 2 digit terakhir bilangan prima adalah “prima kanan”. Bilangan yang memenuhi adalah 103, 107, 113, 127, 131, 137, 157, 163, 167, 173, 179, 193, dan 197. Jadi, banyaknya bilangan prima antara 10 dan 200 yang merupakan “prima kanan” adalah 11 + 13 = 24 bilangan.
SOAL NOMOR 20.
Jika
$$
M=\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2023}}{\frac{1}{1 \times 2023}+\frac{1}{3 \times 2021}+\frac{1}{5 \times 2019}+\cdots+\frac{1}{2023 \times 1}}
$$
maka hasil penjumlahan semua faktor prima dari $\mathrm{M}$ adalah....
A. 10
B. 17
C. 30
D. 36
Jawab: D
$$
\begin{aligned}
& M=\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2023}}{\frac{1}{1 \times 2023}+\frac{1}{3 \times 2021}+\frac{1}{5 \times 2019}+\cdots+\frac{1}{2023 \times 1}} \\
& M=\frac{\left(1+\frac{1}{2023}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2021}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{2019}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{1011}+\frac{1}{1013}\right)}{\left(\frac{1}{1 \times 2023}+\frac{1}{2023 \times 1}\right)+\left(\frac{1}{3 \times 2021}+\frac{1}{2021 \times 3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{1011 \times 1013}+\frac{1}{1013 \times 1011}\right.} \\
& M=\frac{2024\left(\frac{1}{1 \times 2023}+\frac{1}{3 \times 2021}+\frac{1}{5 \times 2019}+\cdots+\frac{1}{1011 \times 1013}\right)}{2\left(\frac{1}{1 \times 2023}+\frac{1}{3 \times 2021}+\frac{1}{5 \times 2019}+\cdots+\frac{1}{1011 \times 1013}\right)}=1012 \\
& M=1012=2^2 \times 11 \times 23 \\
&
\end{aligned}
$$
Jadi, hasil penjumlahan semua faktor prima dari $M$ adalah $2+11+23=36$
21. Jika $(x, y)$ adalah pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi
$$
x^2+2023 x+2023=y^2
$$
dengan $x>y$. Banyaknya $(x, y)$ yang mungkin adalah....
A. 0
B. 2
C. 4
D. Tak hingga
Jawab: A
$$
x^2+2023 x+2023=y^2
$$
Kita akan ubah ke dalam bentuk kuadrat dengan mengalikan semua suku dengan 4;
$$
\begin{aligned}
4 x^2+4(2023 x)+4(2023) & =4 y^2 \\
(2 x+2023)^2-2023^2+4(2023) & =(2 y)^2 \\
(2 x+2023)^2-(2 y)^2 & =2023^2-4(2023) \\
(2 x+2 y+2023)(2 x-2 y+2023) & =2023 \times 2019
\end{aligned}
$$
Karena $x, y>0$, maka $2 x+2 y+2023>2023$, sehingga $2 x-2 y+2023<2019$.
Akibatnya: $x-y<0 \Leftrightarrow x<y$. Hal ini bertentangan dengan syarat $x>y$.
Dengan demikian, tidak ada pasangan $(x, y)$ yang mungkin.
22. Jika $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}$ dengan $n !=1 \times 2 \times \ldots \times n$ dan $0 !=1$, maka nilai dari deret berikut
$$
\frac{1}{1}\left(\begin{array}{c}
20 \\
0
\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
20 \\
1
\end{array}\right)+\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}
20 \\
2
\end{array}\right)+\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}
20 \\
3
\end{array}\right)+\cdots+\frac{1}{21}\left(\begin{array}{c}
20 \\
20
\end{array}\right)
$$
adalah....
A. $\frac{\left(2^{21}-1\right)}{21}$
B. $\frac{\left(2^{20}-1\right)}{21}$
C. $\frac{2^{21}}{21}$
D. $\frac{2^{20}}{21}$
Jawab: A
Dengan menggunakan teori binomial Newton diperoleh:
$$
\left(\begin{array}{c}
21 \\
0
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
21 \\
1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
21 \\
2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
21 \\
3
\end{array}\right)+\cdots\left(\begin{array}{l}
21 \\
21
\end{array}\right)=2^{21}
$$
Karena $\left(\begin{array}{c}21 \\ 0\end{array}\right)=1$, maka $\left(\begin{array}{c}21 \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}21 \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}21 \\ 3\end{array}\right)+\cdots\left(\begin{array}{l}21 \\ 21\end{array}\right)=2^{21}-1$
Perhatikan bahwa:
$$
\frac{1}{r}\left(\begin{array}{c}
20 \\
r-1
\end{array}\right)=\frac{20 !}{r(r-1) !(20-(r-1)) !}=\frac{1}{21}\left(\frac{21 !}{r !(21-r) !}\right)=\frac{1}{21}\left(\begin{array}{c}
21 \\
r
\end{array}\right)
$$
Dengan demikian:
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{1}\left(\begin{array}{c}
20 \\
0
\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
20 \\
1
\end{array}\right)+\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}
20 \\
2
\end{array}\right)+\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}
20 \\
3
\end{array}\right)+\cdots+\frac{1}{21}\left(\begin{array}{l}
20 \\
20
\end{array}\right)= \\
& =\frac{1}{21}\left(\begin{array}{c}21 \\
1
\end{array}\right)+\frac{1}{21}\left(\begin{array}{c}
21 \\
2
\end{array}\right)+\frac{1}{21}\left(\begin{array}{c}
21 \\
3
\end{array}\right)+\frac{1}{21}\left(\begin{array}{c}
21 \\
4
\end{array}\right)+\cdots+\frac{1}{21}\left(\begin{array}{l}
21 \\
21
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{21}\left(\left(\begin{array}{c}
21 \\
1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
21 \\
2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
21 \\
3
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
21 \\
4
\end{array}\right)+\cdots\left(\begin{array}{l}
21 \\
21
\end{array}\right)\right) \\
& =\frac{1}{21}\left(2^{21}-1\right)=\frac{2^{21}-1}{21}
\end{aligned}
$$
23. Banyaknya himpunan bagian dari $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ yang berisi 3 bilangan dan memuat tepat dua bilangan ganjil adalah .....
A. 40
B. 84
C. 30
D. 48
Jawab: A
$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ memuat 5 bilangan ganjil dan 4 bilangan genap.
Banyak cara memilih 2 bilangan ganjil dari $\{1,3,5,7,9\}$ adalah $\left(\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right)=\frac{5 !}{2 ! \cdot 3 !}=10$ cara dan banyak cara memilih 1 bilangan genap dari $\{2,4,6,8\}$ adalah 4 cara.
Jadi, banyaknya himpunan bagian dari $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ yang berisi 3 bilangan dan memuat tepat dua bilangan ganjil adalah $10 \times 4=40$
24. Banyaknya bilangan asli tujuh digit yang disusun dari 0 atau 1 saja serta habis dibagi 6 adalah...
A. 11
B. 17
C. 21
D. 22
Jawab: A
Sebuah bilangan habis dibagi 6 jika bilangan tersebut habis dibagi 2 dan habis dibagi 3. Hal ini berarti bilangan tersebut harus memuat 3 atau 6 angka 1, diawali dengan angka 1 dan berakhir dengan angka 0.
Banyak bilangan 7 digit yang memuat 3 angka 1 dan habis dibagi 6 adalah $\frac{5 !}{2 ! .3 !}=10$ Banyak bilangan 7 digit yang memuat 6 angka 1 dan habis dibagi 6 adalah 1 Jadi, Banyaknya bilangan asli tujuh digit yang disusun dari 0 atau 1 saja serta habis dibagi 6 adalah $10+1=11$
25. Diketahui suatu konstanta $k>0$. Garis $l$ dengan persamaan $y=2 k x+3 k^2$ meotong parabola dengan persamaan $y=x^2$ pada titik $P$ di kuadran I dan $Q$ di kuadran II. Jika koordinat $O(0,0)$ ) dan luas daerah segitiga $P O Q$ adalah 48 satuan luas, maka kemiringan garis $l$ adalah....
A. $\frac{2}{3}$
B. 2
C. $\frac{4}{3}$
D. 4
Jawab: D
Garis $y=2 k x+3 k^2$ meotong parabola $y=x^2$, maka:
$$
\begin{aligned}
x^2=2 k x+3 k^2 & \Leftrightarrow x^2-2 k x-3 k^2=0 \\
& \Leftrightarrow(x+k)(x-3 k)=0
\end{aligned}
$$
Untuk $x=-k$ diperoleh $y=k^2$ sehingga koordinat $Q\left(-k, k^2\right)$
Untuk $x=3 k$ diperoleh $y=9 k^2$ sehingga koordinat $P\left(3 k, 9 k^2\right)$
Dengan kordinat $O(0,0)$ dan luas segitiga $P O Q=48$ satuan, maka:
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}
0 & -k & 3 k & 0 \\
0 & k^2 & 9 k^2 & 0
\end{array}\right|=48 & \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left(3 k^3-\left(-9 k^3\right)\right)=48 \\
& \Leftrightarrow 6 k^3=48 \\
& \Leftrightarrow k^3=8 \Leftrightarrow k=2
\end{aligned}
$$
Jadi, kemiringan garis $y=2 k x+3 k^2$ adalah $2 k=4$
Jawab: B
Pada 1 jam pertama, jarak $A$ ke $B ; S(A B)$ dapat dinyatakan dalam fungsi $S(A B)=55-5 t$ Pada jam berikutnya, A bergerak sejauh $5(t-1)$ memuju B dan B bergerak sejauh $(t-1) t$ terhitung saat B bergerak menuju A, dimana $x=t-1$, sehingga fungsi jarak. A ke B dapat dinyatakan dengan rumus fungsi:
$$
\begin{aligned}
& S(A B)=50-5(t-1)-t(t-1) \\
& S(A B)=50-(5+t)(t-1) \\
& S(A B)=55-4 t-t^2
\end{aligned}
$$
Dengan demikian, fungsi jarak: A dan B yang sesuai dengan kejadian di atas adalah
$$
S(A B)=\left\{\begin{array}{l}
55-5 t, \quad \text { untuk } 0 \leq t \leq 1 \\
55-4 t-t^2, \text { untuk } t \text { lainnya }
\end{array}\right.
$$
Berdasarkan fungsi tersebut, maka grafik yang sesuai adalah pilihan B.
$$
\begin{aligned}
& S(A B)=50-5(t-1)-t(t-1) \\
& S(A B)=50-(5+t)(t-1) \\
& S(A B)=55-4 t-t^2
\end{aligned}
$$
Dengan demikian, fungsi jarak: A dan B yang sesuai dengan kejadian di atas adalah
$$
S(A B)=\left\{\begin{array}{l}
55-5 t, \quad \text { untuk } 0 \leq t \leq 1 \\
55-4 t-t^2, \text { untuk } t \text { lainnya }
\end{array}\right.
$$
Berdasarkan fungsi tersebut, maka grafik yang sesuai adalah pilihan B.
SOAL NOMOR 3
Misalkan $a, b, c$, dan $d$ adalah bilangan-bilangan bulat positif yang berbeda sehingga $a+$ $b, a+c$, dan $a+d$ bilangan ganijl sekaligus bilangan kuadrat. Nilai $a+b+c+d$ terkecil yang mungkin adalah....
A. 33
B. 67
C. 81
D. 83
Jawab: B
A. 33
B. 67
C. 81
D. 83
Jawab: B
Agar supaya nilai $a+b+c+d$ terkecil, maka $a+b, a+c$, dan $a+d$ haruslah bilangan kuadrat ganjil terkecil yang lebih besar dari 1 dan $a$ adalah nilai maksimal yang mungkin agar $b+c+d$ menjadi minimal.
Ambil $a+b=9, a+c=25$, dan $a+d=49$. Maksimal $a$ yang mungkin adalah $B$ untuk nilai $b=1, c=17, d=41$.
Jadi, nilai $a+b+c+d$ terkecil yang mungkin adalah $8+1+17+41=67$
Ambil $a+b=9, a+c=25$, dan $a+d=49$. Maksimal $a$ yang mungkin adalah $B$ untuk nilai $b=1, c=17, d=41$.
Jadi, nilai $a+b+c+d$ terkecil yang mungkin adalah $8+1+17+41=67$
SOAL NOMOR 4
Diketahui
$$
\begin{aligned}
x^2+\sqrt{x y}+y^2 & =168 \\
x-\sqrt{x y}+y & =10
\end{aligned}
$$
Jumlah semua nilai $x+\sqrt{x y}+y$ yang mungkin adalah ....
A. 14
B. 27
C. 44
D. 62
Jawab: D
$$
\begin{aligned}
x^2+\sqrt{x y}+y^2 & =168 \\
x-\sqrt{x y}+y & =10
\end{aligned}
$$
Jumlah semua nilai $x+\sqrt{x y}+y$ yang mungkin adalah ....
A. 14
B. 27
C. 44
D. 62
Jawab: D
Diketahui:
$$
\begin{aligned}
& x-\sqrt{x y}+y=10 \Leftrightarrow x+y=\sqrt{x y}+10 \ldots \ldots . \ldots \ldots . . . . . .1) \\
& x^2+\sqrt{x y}+y^2=168 \Leftrightarrow(x+y)^2-2 x y+\sqrt{x y}=168 \ldots \ldots \text { 2) }
\end{aligned}
$$
Misalkan $\sqrt{x y}=p$ dan subtitusi 1) ke 2) diperoleh:
$$
\begin{aligned}
& (p+10)^2-2 p^2+p=168 \\
& \Leftrightarrow p^2+20 p+100-2 p^2+p=168 \\
& \Leftrightarrow \quad p^2-21 p+68=0 \\
& \Leftrightarrow \quad(p-4)(p-17)=0 \\
& \Leftrightarrow p=\sqrt{x y}=4 \operatorname{atau} \sqrt{x y}=17 \\
& x+\sqrt{x y}+y=(x-\sqrt{x y}+y)+2 \sqrt{x y}=10+2 \sqrt{x y} \\
\end{aligned}
$$
Jadi, Jumlah semua nilai $x+\sqrt{x y}+y$ yang mungkin adalah $10+2(4)+10+2(17)=62$
$$
\begin{aligned}
& x-\sqrt{x y}+y=10 \Leftrightarrow x+y=\sqrt{x y}+10 \ldots \ldots . \ldots \ldots . . . . . .1) \\
& x^2+\sqrt{x y}+y^2=168 \Leftrightarrow(x+y)^2-2 x y+\sqrt{x y}=168 \ldots \ldots \text { 2) }
\end{aligned}
$$
Misalkan $\sqrt{x y}=p$ dan subtitusi 1) ke 2) diperoleh:
$$
\begin{aligned}
& (p+10)^2-2 p^2+p=168 \\
& \Leftrightarrow p^2+20 p+100-2 p^2+p=168 \\
& \Leftrightarrow \quad p^2-21 p+68=0 \\
& \Leftrightarrow \quad(p-4)(p-17)=0 \\
& \Leftrightarrow p=\sqrt{x y}=4 \operatorname{atau} \sqrt{x y}=17 \\
& x+\sqrt{x y}+y=(x-\sqrt{x y}+y)+2 \sqrt{x y}=10+2 \sqrt{x y} \\
\end{aligned}
$$
Jadi, Jumlah semua nilai $x+\sqrt{x y}+y$ yang mungkin adalah $10+2(4)+10+2(17)=62$
SOAL NOMOR 5
Diketahui sebuah dadu seimbang bersisi 6 semula memiliki mata dadu 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 . Dadu tersebut dilambungkan satu kali dan diamati hasilnya. Jaka yang muncul angka ganjil, maka angka tersebut diganti dengan angka 8. Namun, Jika yang muncul angka genap, maka angka tersebut diganti dengan angka 1, kemudian dadu yang mata dadunya telah diganti tersebut dilambungkan kembali, peluang munculnya mata dadu ganjil adalah...
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1
Jawab: C
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1
Jawab: C
Kejadian untuk percobaan ini ada 2 kemungkinan. Pelambungan pertama muncul ganjil atau pelambungan pertama muncul genap.
Peluang munculnya mata dadu ganjil pada pelambungan pertama dan kedua adalah
$$
\frac{1}{2} \times \frac{2}{6}=\frac{1}{6}
$$
Peluang munculnya mata dadu genap pada pelambungan pertama dan ganjil pada lambungan kedua adalah
$$
\frac{1}{2} \times \frac{4}{6}=\frac{1}{3}
$$
Jadi, peluang munculnya mata dadu ganijl adalah $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$
SOAL NOMOR 6
Seorang milliarder sedang membangun hotel. Kamar-kamar hotel tersebut diberi nomor secara berurutan dengan menggunakan bilangan asli mulai dari angka 1. Nomor kamar dibuat dari plat besi seharga Rp8.000 per digit. Sebagai contoh No. 7 perlu biaya Rp8.000 dan No. 11 perlu biaya Rp16.000. Jika hotel tersebut menghasikan biaya sebesar Rp33.416.000 untuk membuat seluruh nomor kamar, maka banyaknya kamar pada hotel tersebut adalah...
A. 1.288
B. 1.321
C. 2.700
D. 4.177
Jawab: B
A. 1.288
B. 1.321
C. 2.700
D. 4.177
Jawab: B
Banyak angka yang dibuat dengan plat besi sebanyak $\frac{32.416 .000}{8000}=4.177$ digit
Bilangan 1 digit dari $1-9$ sebanyak 9 digit
Bilangan 2 digit dari $10-99$ sebanyak $90 \times 2=180$ digit
Bilangan 3 digit dari $100-999$ sebanyak $900 \times 3=2700$ digit
Jumlah digit dari bilangan $1-999=9+180+2700=2889$ digit
Bilangan 4 digit dari $1000-x$ sebanyak $\frac{4177-2889}{4}=\frac{1288}{4}=322$ bilangan, yaitu dari bilangan 1000 sampai 1321. Jadi banyak kamar pada hotel tersebut adalah 1321 kamar.
Bilangan 1 digit dari $1-9$ sebanyak 9 digit
Bilangan 2 digit dari $10-99$ sebanyak $90 \times 2=180$ digit
Bilangan 3 digit dari $100-999$ sebanyak $900 \times 3=2700$ digit
Jumlah digit dari bilangan $1-999=9+180+2700=2889$ digit
Bilangan 4 digit dari $1000-x$ sebanyak $\frac{4177-2889}{4}=\frac{1288}{4}=322$ bilangan, yaitu dari bilangan 1000 sampai 1321. Jadi banyak kamar pada hotel tersebut adalah 1321 kamar.
SOAL NOMOR 7.
Aima mendapatkan kesempatan makan malam gratis di suatu resto dari tanggal 1 hingga 10 juni 2023. Aima boleh memilih lebih dari satu tanggal kedatangan pada periode tersebut selama bukan tanggal berurutan. Jika Aima berencana datang setidaknya satu kali, maka banyaknya kemungkinan jadwal kedatangan yang dapat dibuat oleh Aima adalah ....
A. 45
B. 143
C. 144
D. 2025
Jawab: B
A. 45
B. 143
C. 144
D. 2025
Jawab: B
Banyak cara memilih $k$ bilangan berbeda dari $\left.a_1, a_2, \ldots, a_k \in\{1,2,3, \ldots, n)\right\}$ dengan syarat $a_k-a_{k-1}>1$ adalah $\left(\begin{array}{c}n-(k-1) \\ k\end{array}\right)$
Banyak cara memilih 1 jadwal kedatangan dari $1-10$ adalah $\left(\begin{array}{c}10 \\ 1\end{array}\right)=10$
Banyak cara memilih 2 jadwal kedatangan dari $1-10$ adalah $\left(\begin{array}{l}9 \\ 2\end{array}\right)=36$
Banyak cara memilih 3 jadwal kedatangan dari $1-10$ adalah $\left(\begin{array}{l}8 \\ 3\end{array}\right)=56$
Banyak cara memilih 4 jadwal kedatangan dari 1 - 10 adalah $\left(\begin{array}{l}7 \\ 4\end{array}\right)=35$
Banyak cara memilih 5 jadwal kedatangan dari $1-10$ adalah $\left(\begin{array}{l}6 \\ 5\end{array}\right)=6$
Karena tidak boleh memilih jadwal berurutan, maka tidak mungkin memilih lebih dari 5 jadwal dari tanggal 1 sampai 10. Jadi, banyaknya kemungkinan jadwal kedatangan yang dapat dibuat oleh Aima adalah $10+36+56+35+6=143$
SOAL NOMOR 8.
Suatu bak penampungan air berbentuk kerucut terbalik(seperti gambar) berisi air dengan volume 1 liter. Jika bak penampungan tersebut ditambahkan air sebanyak 331mililiter, maka perbandingan antara tinggi air di dalam bak penampungan mula-mula dan setelah ditambahkan air adalah….
A.10∶ 11
B.11∶ 13
C.331∶ 1000
D.1000∶ 1331
Jawab: A
Misalkan tinggi air pada kerucut dengan volume 1 liter 1000 mL adalah 𝑎 dan tinggi air pada kerucut setelah ditambahkan 331 mL adalah 𝑏, maka: $𝑎^3:𝑏^3=1000:1331⇔𝑎:𝑏=10:11$
SOAL NOMOR 9
Perhatikan gambar berikut!
Di dalam persegi ABCD terdapat dua setengah lingkaran dengan diameter AD dan BC. Ruas garis EF dan GH sejajar AB. Jika EK = 3 cm, LH = 6 cm, dan EG =9 cm, maka luas daerah persegi ABCD adalah... 𝑐𝑚².
A. 180
B. 360
C. 90
D. 150
Jawab: A
Misalkan 𝑁 adalah titik tengah 𝐴𝐷
$𝑝^2+6^2=(9−𝑝)^2+3^2⇔36=81−18𝑝+9 $
$⇔4=9−2𝑝+1 $
$⇔2𝑝=6⇔𝑝=3 $
$𝑟^2=𝑝^2+6^2=3^2+6^2=45 $
$[𝐴𝐵𝐶𝐷]=2𝑟×2𝑟=4𝑟^2 =4×45 =180$
SOAL NOMOR 10
Diketahui dua buah segitiga OAB dan OCB dengan O(0, 0), A(4, 0), B(0, 3), dan C(2, 3). Jika segitiga OCB digeser searah sumbu-𝑥 sehingga titik O terletak di tengah sisi OA, maka perbandingan antara luas irisan kedua segitiga mula-mula dan luas irisan kedua segitiga setelah segitiga OCB digeser adalah...
A. 3 : 2
B. 2 : 1
C. 3 : 1
D. 4 : 1
Jawab: D
Δ𝑆𝐷𝐶 adalah pergeseran Δ𝑂𝐶𝐵.
Δ𝑂𝑃𝐵 adalah irisan Δ𝑂𝐴𝐵 dan Δ𝑂𝐶𝐵
Δ𝑆𝑅𝑄 adalah irisan Δ𝑂𝐴𝐵 dan Δ𝑆𝐷𝐶
Karena $Δ𝑂𝑃𝐵≅Δ𝑆𝑅𝑄 $
$\dfrac{[𝑂𝑃𝐵]}{[𝑆𝑅𝑄]}=\dfrac{𝑂𝐵^2}{𝑆𝑄^2} =\dfrac{2^2}{1^2} =4∶1$
SOAL NOMOR 11
Misalkan populasi ikan A semula adalah $x$ dan populasi ikan B semula adalah $y$. Sekarang, populasi ikan A meningkat $28 \%$ dan populasi B berkurang $28 \%$, sehingga rasio populasi ikan A dan B menjadi $\frac{y}{x}$. Persentase perubahan populasi keseluruhan ikan sekarang dibandingkan total populasi ikan semula adalah..
A. $0 \%$
B. $4 \%$
C. $28 \%$
D. $33 \%$
Jawab: B
Perubahan populasi ikan A meringkat dari $x$ merijadi $128 \% x$
Perubahan populasi ikan B menumun dari y menjadi $72 \% y$
Rasio perubahannya; $\frac{128 \% x}{72 \% y}=\frac{y}{x}=\frac{x^2}{y^2}=\frac{72}{128}=\frac{9}{16} \Leftrightarrow \frac{x}{y}=\frac{3}{4}$
Misalkian populasi A dan B mula-mula adalah $3 k$ dan $4 k$ untuk suatu bilangan asli $k$, maka perubahan populasi keseluruhan ikan adalah
$$
|(128 \%(3 k)+72 \%(4 k))-100 \%(7 k)|=|(384+288-700) \% k|=28 \% k .
$$
Persentase perubahan populasi keseluruhan ikan sekarang dibandingkan total populasi ikan semula adalah
$$
\frac{\text { perubahan populasi ikan }}{\text { Total populasi ikan semula }}=\frac{28 \% k}{700 \% k} \times 100 \%=4 \%
$$
SOAL NOMOR 12
Diketahui $a, b, c, d, e$ merupakan bilangan bulat positif dengan $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ dan $a+b+c+d+e=$ abcde. Nilai terbesar yang mungkin dari $e$ adalah...
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
Jawab: C
Diketahui $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ sehingga $a+b+c+d+e \leq 5 e$
Karena $a+b+c+d+e=a b c d e$, maka $a b c d e \leq 5e \Leftrightarrow a b c d \leq 5$
Selanjutnya kita akan memilih kemungkinan nilai $a, b, c, d$ dan mencari nilai $e$ yang sesuai.
Jika abcd $=1$ maka $a=b=c=d=1$, diperoleh $4+e=e \Leftrightarrow e=0$
Jika abcd $=2$ maka $a=b=c=1$ dan $d=2$, diperoleh $5+e=2 e \Leftrightarrow e=5$
Jika abcd $=3$ maka $a=b=c=1$ dan $d=3$, diperoleh $6+e=3 e \Leftrightarrow e=3$
Jika abcd = 4 maka $a=b=c=1$ dan $d=4$, diperoleh $7+e=4 e \Leftrightarrow e=\emptyset$, atau
$$
a=b=1 \text { dan } c=d=2 \text {, diperoleh } 6+e=4 e \Leftrightarrow e=2 \text {, }
$$
Jika abcd $=5$ maka $a=b=c=1$ dan $d=5$, diperoleh $8+e=5 e \Leftrightarrow e=2$.
Jadi, nilai terbesar yang mungkin dari e adalah 5
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
Jawab: C
Diketahui $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ sehingga $a+b+c+d+e \leq 5 e$
Karena $a+b+c+d+e=a b c d e$, maka $a b c d e \leq 5e \Leftrightarrow a b c d \leq 5$
Selanjutnya kita akan memilih kemungkinan nilai $a, b, c, d$ dan mencari nilai $e$ yang sesuai.
Jika abcd $=1$ maka $a=b=c=d=1$, diperoleh $4+e=e \Leftrightarrow e=0$
Jika abcd $=2$ maka $a=b=c=1$ dan $d=2$, diperoleh $5+e=2 e \Leftrightarrow e=5$
Jika abcd $=3$ maka $a=b=c=1$ dan $d=3$, diperoleh $6+e=3 e \Leftrightarrow e=3$
Jika abcd = 4 maka $a=b=c=1$ dan $d=4$, diperoleh $7+e=4 e \Leftrightarrow e=\emptyset$, atau
$$
a=b=1 \text { dan } c=d=2 \text {, diperoleh } 6+e=4 e \Leftrightarrow e=2 \text {, }
$$
Jika abcd $=5$ maka $a=b=c=1$ dan $d=5$, diperoleh $8+e=5 e \Leftrightarrow e=2$.
Jadi, nilai terbesar yang mungkin dari e adalah 5
SOAL NOMOR 13
Segitiga 𝐴𝐵𝐶 terletak pada setengah lingkaran berdiameter 𝐴𝐵 dengan ∠𝐴𝐵𝐶 = 30°.Titik 𝐸 terletak pada 𝐴𝐵 sehingga 𝐴𝐵 = 4 𝐸𝐵 dan 𝐸𝐶 = 14 cm. Luas segitiga 𝐵𝐸𝐶 sama dengan… 𝑐𝑚$^2$.
A. $14\sqrt{3}$
B. $16\sqrt{7}$
C. $28\sqrt{3}$
D. $32\sqrt{3}$
Jawab: A
Dengan menggunakan rumus Median pada Δ 𝐵𝑂𝐶 diperoleh:
$$\begin{aligned}
𝐸𝐶^2&=\frac{1}{2}𝐵𝐶^2+\frac{1}{2}𝑂𝐶^2−\frac{1}{4}𝑂𝐵^2 \\
14^2&=\frac{1}{2}(2𝑥√3)^2+\frac{1}{2}(2𝑥)2−\frac{1}{4}(2𝑥)^2 \\
196&=6𝑥^2+2𝑥^2−𝑥^2\\
196&=7𝑥^2\\
𝑥^2&=28 \\
[𝐵𝐸𝐶]&=\frac{1}{4}[𝐴𝐵𝐶]\\
&=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×(2𝑥)(2𝑥√3) =\frac{1}{2}(𝑥^2\sqrt{3})=14\sqrt{3}
\end{aligned}$$
SOAL NOMOR 14
A. $14\sqrt{3}$
B. $16\sqrt{7}$
C. $28\sqrt{3}$
D. $32\sqrt{3}$
Jawab: A
Dengan menggunakan rumus Median pada Δ 𝐵𝑂𝐶 diperoleh:
$$\begin{aligned}
𝐸𝐶^2&=\frac{1}{2}𝐵𝐶^2+\frac{1}{2}𝑂𝐶^2−\frac{1}{4}𝑂𝐵^2 \\
14^2&=\frac{1}{2}(2𝑥√3)^2+\frac{1}{2}(2𝑥)2−\frac{1}{4}(2𝑥)^2 \\
196&=6𝑥^2+2𝑥^2−𝑥^2\\
196&=7𝑥^2\\
𝑥^2&=28 \\
[𝐵𝐸𝐶]&=\frac{1}{4}[𝐴𝐵𝐶]\\
&=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×(2𝑥)(2𝑥√3) =\frac{1}{2}(𝑥^2\sqrt{3})=14\sqrt{3}
\end{aligned}$$
SOAL NOMOR 14
Segitiga ABC siku-siku di A dan ADEC adalah persegipanjang. Titik H terletak pada DE dan lingkaran denganpusat H menyinggung ketiga sisi segitiga ABC.
Jika FG = 2 cm dan EF = 4 cm, maka luas segitiga ABC adalah…𝑐𝑚$^2$.
A. 8
B. 27
C. 54
D. 108
Jawab: C
Perhatikan $\triangle C E F$ dan $\triangle H P F . C E=H P=r$.
Menurut syarat (Sd, S, SD), maka $\triangle C E F \cong \triangle H P F$.
Akibatnya, $E F=$ $P F=4$.
Pada $H P F$,
$$
\begin{array}{rlr}
H F^2-H P^2=P F^2 & \Leftrightarrow(r+2)^2-r^2=4^2 \\
& \Leftrightarrow (2 r+2)(2)=16 \\
& \Leftrightarrow 4(r+1)=16 \\
& \Leftrightarrow r+1=4 \\
& \Leftrightarrow r=3
\end{array}
$$
$[C E F]=\frac{1}{2} \times 3 \times 4=6$ satuan, dan $A C=2(3)+6=12$ $\triangle A B C \sim \triangle C E F$, sehingga $\frac{[A B C]}{[C E F]}=\frac{A C^2}{E F^2}=\frac{12^2}{4^2}=\frac{9}{1}$ Jadi, $[A B C]=9[C E F]=9 \times 6=54$
Pada $H P F$,
$$
\begin{array}{rlr}
H F^2-H P^2=P F^2 & \Leftrightarrow(r+2)^2-r^2=4^2 \\
& \Leftrightarrow (2 r+2)(2)=16 \\
& \Leftrightarrow 4(r+1)=16 \\
& \Leftrightarrow r+1=4 \\
& \Leftrightarrow r=3
\end{array}
$$
$[C E F]=\frac{1}{2} \times 3 \times 4=6$ satuan, dan $A C=2(3)+6=12$ $\triangle A B C \sim \triangle C E F$, sehingga $\frac{[A B C]}{[C E F]}=\frac{A C^2}{E F^2}=\frac{12^2}{4^2}=\frac{9}{1}$ Jadi, $[A B C]=9[C E F]=9 \times 6=54$
SOAL NOMOR 15
Empat orang siswa dipilih mewakili suatu sekolah untuk OSK SMP 2023. Peluang ada siswa yang lahir di bulan yang sama adalah….
A. 0,4271
B. 0,5729
C. 0,2747
D. 0,4115
Jawab: A
$\begin{aligned}
\text{𝑃(ada siswa lahir di bulan yang sama)=1−𝑃(Semua siswa lahir di bulan berbeda)}\\ =1−(1×\frac{11}{12}×\frac{10}{12}×\frac{9}{12}) \\
=1−0,5729 =0,4271
\end{aligned}$
SOAL NOMOR 16
Dua kapal memiliki tempat bersandar (berlabuh) yang sama di suatu pelabuhan. Diketahui bahwa waktu kedatangan kedua kapal saling bebas dan memiliki kemungkinan yang sama untuk bersandar pada suatu hari Minggu (jam 00.00 - 24.00). Jika waktu bersandar kapal pertama adalah 2 jam dan waktu bersandar kapal kedua adalah 4 jam, peluang bahwa satu kapal harus menunggu sampai tempat bersandar dapat digunakan adalah....
A. 67/44
B. 1/4
C. 67/288
D. 23/144
Jawab: C
Perhatikan grafik berikut:
Garis 𝑦=𝑥−1 adalah batas waktu kapal 1 menunggu ketika kapal 2 berlabuh dan 𝑦=𝑥+4 merupakan batas waktu kapal 2 menunggu ketika kapal 1 berlabuh.Peluang kapal 1 menunggu saat kapal 2 berlabuh adalah :
$[\frac{OPQB}{OAB}]=1−\frac{[𝑃𝐴𝑄]}{[𝑂𝐴𝐵]} =1−\frac{22^2}{24^2}=\frac{23}{144}$
Peluang kapal 2 menunggu saat kapal 1 berlabuh adalah:
$[\frac{OSRB}{OCB}]=1−\frac{[SCR]}{[OCB]}=1−\frac{20^2}{24^2}=\frac{44}{144}$
Jadi, peluang bahwa satu kapal harus menunggu sampai tempat bersandar dapat digunakan adalah
$𝑃=\frac{23}{144}+\frac{44}{144}=\frac{67}{144}$
SOAL NOMOR 17
Perhatikan kedua persamaan berikut.
$$
A=\frac{\left(p^2+q^2+r^2\right)^2}{p^2 q^2+q^2 r^2+r^2 p^2} \text { dan } B=\frac{q^2-p r}{p^2+q^2+r^2}
$$
Jika $p+q+r=0$, maka nilai $A^2-4 B$ adalah....
A. 6
B. 8
C. 12
D. 14
Jawab: D
Diketahui $p+q+r=0$
$$
\begin{aligned}
(p+q+r)^2 & =p^2+q^2+r^2+2(p q+q r+r p)=0 \\
p^2+q^2+r^2 & =-2(p q+q r+r p) \\
\left(p^2+q^2+r^2\right)^2 & =4(p q+q r+r p)^2 \\
& =4\left(p^2 q^2+q^2 r^2+r^2 p^2+2 p q r(p+q+r)\right. \\
& =4\left(p^2 q^2+q^2 r^2+r^2 p^2\right)+0
\end{aligned}
$$
Sehingga:
$$
A=\frac{\left(p^2+q^2+r^2\right)^2}{p^2 q^2+q^2 r^2+r^2 p^2}=\frac{4\left(p^2 q^2+q^2 r^2+r^2 p^2\right)}{p^2 q^2+q^2 r^2+r^2 p^2}=4 .
$$
Selanjutnya diketahui, $p^2+q^2+r^2=-2(p q+q r+r p)$
$$
\begin{aligned}
p^2+q^2+r^2 & =-2(q(p+r)+r p) \\
& =-2(q(-q)+r p) \\
& =2\left(q^2-p r\right)
\end{aligned}
$$
Sehingga:
$$
B=\frac{q^2-p r}{p^2+q^2+r^2}=\frac{q^2-p r}{2\left(q^2-p r\right)}=\frac{1}{2}
$$
Dari 1) dan 2) diperoleh: $A^2-4 B=4^2-4\left(\frac{1}{2}\right)=14$
SOAL NOMOR 18
Diketahui barisan bilangan bulat $x_1, x_2, \ldots, x_{2023}$ yang memenuhi tiga syarat berikut
$$
\begin{aligned}
& x_1+x_3+\cdots+x_{2023}=25-\left(x_2+x_4+\cdots+x_{2022}\right) \\
& x_1{ }^2+x_3{ }^2+\cdots+x_{2023}{ }^2=125-\left(x_2{ }^2+x_4{ }^2+\cdots+x_{2022}{ }^2\right) \\
&-2 \leq x_i \leq 1 \text { untuk } i=1,2,3, \ldots, 2023
\end{aligned}
$$
Nilai terkecil yang mungkin untuk $x_1{ }^3+x_3{ }^3+\cdots+x_{2023}{ }^3$ adalah....
A. -100
B. -71
C. -51
D. -16
Jawab: B
Persamaan di atas dapat diubah sebagai berikut:
$$
\begin{aligned}
x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{2023} & =25 \\
x_1{ }^2+x_2{ }^2+x_3{ }^2+\cdots+x_{2023}{ }^2 & =125
\end{aligned}
$$
Diketahui bahwa $x_i \in\{-2,-1,0,1\}$. Misalkan $p, q, r, s$ berturut-turut menyatakan banyaknya $-2,-1,0,1$ yang digunakan pada masing-masing persamaan, maka:
$$
\begin{array}{r}
-2 p-q+s=25 \ldots \ldots .1) \\
4 p+q+s=125 \ldots \ldots 2)
\end{array}
$$
Nilai untuk $x_1{ }^3+x_3{ }^3+\cdots+x_{2023}{ }^3=-8 p-q+s=25-6 p$ akan terkecil apabila $p$ dengan nilai terbesar. Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas diperoleh:
$$
6 p+2 q=100 \Leftrightarrow 3 p+q=50
$$
Nilai terbesar $p=16$ untuk $q=2$. Jadi, nilai terkecil yang mungkin untuk $x_1{ }^3+x_3{ }^3+$ $\cdots+x_{2023}{ }^3$ adalah $25-6(16)=25-96=-71$
SOAL NOMOR 19.Suatu bilangan prima disebut “prima kanan” jika dapat diperoleh bilangan prima dengan menghilangkan setidaknya satu angka di sebelah kiri. Sebagai contoh. 223 adalah “prima kanan” sebab setelah menghilangkan angka 2 paling kiri, bilangan yang tersisa adalah 23yang merupakan bilangan prima. Contoh lainnya 127. Dengan menghilangkan 2 angka paling kiri maka angka yang tersisa adalah 7 yang merupakan bilangan prima.Banyaknya bilangan prima antara 10 dan 200 yang merupakan “prima kanan” adalah....
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30
Jawab: A
Perhatikan bahwa semua bilangan prima dua digit yang angka satuannya 3 atau 7 adalah “prima kanan”. Adapun bilangan yang memenuhi sifat ini, yaitu 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 97. Selanjutnya, semua bilangan prima 3 digit yang angka satuan atau 2 digit terakhir bilangan prima adalah “prima kanan”. Bilangan yang memenuhi adalah 103, 107, 113, 127, 131, 137, 157, 163, 167, 173, 179, 193, dan 197. Jadi, banyaknya bilangan prima antara 10 dan 200 yang merupakan “prima kanan” adalah 11 + 13 = 24 bilangan.
SOAL NOMOR 20.
Jika
$$
M=\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2023}}{\frac{1}{1 \times 2023}+\frac{1}{3 \times 2021}+\frac{1}{5 \times 2019}+\cdots+\frac{1}{2023 \times 1}}
$$
maka hasil penjumlahan semua faktor prima dari $\mathrm{M}$ adalah....
A. 10
B. 17
C. 30
D. 36
Jawab: D
$$
\begin{aligned}
& M=\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2023}}{\frac{1}{1 \times 2023}+\frac{1}{3 \times 2021}+\frac{1}{5 \times 2019}+\cdots+\frac{1}{2023 \times 1}} \\
& M=\frac{\left(1+\frac{1}{2023}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2021}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{2019}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{1011}+\frac{1}{1013}\right)}{\left(\frac{1}{1 \times 2023}+\frac{1}{2023 \times 1}\right)+\left(\frac{1}{3 \times 2021}+\frac{1}{2021 \times 3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{1011 \times 1013}+\frac{1}{1013 \times 1011}\right.} \\
& M=\frac{2024\left(\frac{1}{1 \times 2023}+\frac{1}{3 \times 2021}+\frac{1}{5 \times 2019}+\cdots+\frac{1}{1011 \times 1013}\right)}{2\left(\frac{1}{1 \times 2023}+\frac{1}{3 \times 2021}+\frac{1}{5 \times 2019}+\cdots+\frac{1}{1011 \times 1013}\right)}=1012 \\
& M=1012=2^2 \times 11 \times 23 \\
&
\end{aligned}
$$
Jadi, hasil penjumlahan semua faktor prima dari $M$ adalah $2+11+23=36$
21. Jika $(x, y)$ adalah pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi
$$
x^2+2023 x+2023=y^2
$$
dengan $x>y$. Banyaknya $(x, y)$ yang mungkin adalah....
A. 0
B. 2
C. 4
D. Tak hingga
Jawab: A
$$
x^2+2023 x+2023=y^2
$$
Kita akan ubah ke dalam bentuk kuadrat dengan mengalikan semua suku dengan 4;
$$
\begin{aligned}
4 x^2+4(2023 x)+4(2023) & =4 y^2 \\
(2 x+2023)^2-2023^2+4(2023) & =(2 y)^2 \\
(2 x+2023)^2-(2 y)^2 & =2023^2-4(2023) \\
(2 x+2 y+2023)(2 x-2 y+2023) & =2023 \times 2019
\end{aligned}
$$
Karena $x, y>0$, maka $2 x+2 y+2023>2023$, sehingga $2 x-2 y+2023<2019$.
Akibatnya: $x-y<0 \Leftrightarrow x<y$. Hal ini bertentangan dengan syarat $x>y$.
Dengan demikian, tidak ada pasangan $(x, y)$ yang mungkin.
22. Jika $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}$ dengan $n !=1 \times 2 \times \ldots \times n$ dan $0 !=1$, maka nilai dari deret berikut
$$
\frac{1}{1}\left(\begin{array}{c}
20 \\
0
\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
20 \\
1
\end{array}\right)+\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}
20 \\
2
\end{array}\right)+\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}
20 \\
3
\end{array}\right)+\cdots+\frac{1}{21}\left(\begin{array}{c}
20 \\
20
\end{array}\right)
$$
adalah....
A. $\frac{\left(2^{21}-1\right)}{21}$
B. $\frac{\left(2^{20}-1\right)}{21}$
C. $\frac{2^{21}}{21}$
D. $\frac{2^{20}}{21}$
Jawab: A
Dengan menggunakan teori binomial Newton diperoleh:
$$
\left(\begin{array}{c}
21 \\
0
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
21 \\
1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
21 \\
2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
21 \\
3
\end{array}\right)+\cdots\left(\begin{array}{l}
21 \\
21
\end{array}\right)=2^{21}
$$
Karena $\left(\begin{array}{c}21 \\ 0\end{array}\right)=1$, maka $\left(\begin{array}{c}21 \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}21 \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}21 \\ 3\end{array}\right)+\cdots\left(\begin{array}{l}21 \\ 21\end{array}\right)=2^{21}-1$
Perhatikan bahwa:
$$
\frac{1}{r}\left(\begin{array}{c}
20 \\
r-1
\end{array}\right)=\frac{20 !}{r(r-1) !(20-(r-1)) !}=\frac{1}{21}\left(\frac{21 !}{r !(21-r) !}\right)=\frac{1}{21}\left(\begin{array}{c}
21 \\
r
\end{array}\right)
$$
Dengan demikian:
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{1}\left(\begin{array}{c}
20 \\
0
\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
20 \\
1
\end{array}\right)+\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}
20 \\
2
\end{array}\right)+\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}
20 \\
3
\end{array}\right)+\cdots+\frac{1}{21}\left(\begin{array}{l}
20 \\
20
\end{array}\right)= \\
& =\frac{1}{21}\left(\begin{array}{c}21 \\
1
\end{array}\right)+\frac{1}{21}\left(\begin{array}{c}
21 \\
2
\end{array}\right)+\frac{1}{21}\left(\begin{array}{c}
21 \\
3
\end{array}\right)+\frac{1}{21}\left(\begin{array}{c}
21 \\
4
\end{array}\right)+\cdots+\frac{1}{21}\left(\begin{array}{l}
21 \\
21
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{21}\left(\left(\begin{array}{c}
21 \\
1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
21 \\
2
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
21 \\
3
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
21 \\
4
\end{array}\right)+\cdots\left(\begin{array}{l}
21 \\
21
\end{array}\right)\right) \\
& =\frac{1}{21}\left(2^{21}-1\right)=\frac{2^{21}-1}{21}
\end{aligned}
$$
23. Banyaknya himpunan bagian dari $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ yang berisi 3 bilangan dan memuat tepat dua bilangan ganjil adalah .....
A. 40
B. 84
C. 30
D. 48
Jawab: A
$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ memuat 5 bilangan ganjil dan 4 bilangan genap.
Banyak cara memilih 2 bilangan ganjil dari $\{1,3,5,7,9\}$ adalah $\left(\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right)=\frac{5 !}{2 ! \cdot 3 !}=10$ cara dan banyak cara memilih 1 bilangan genap dari $\{2,4,6,8\}$ adalah 4 cara.
Jadi, banyaknya himpunan bagian dari $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ yang berisi 3 bilangan dan memuat tepat dua bilangan ganjil adalah $10 \times 4=40$
24. Banyaknya bilangan asli tujuh digit yang disusun dari 0 atau 1 saja serta habis dibagi 6 adalah...
A. 11
B. 17
C. 21
D. 22
Jawab: A
Sebuah bilangan habis dibagi 6 jika bilangan tersebut habis dibagi 2 dan habis dibagi 3. Hal ini berarti bilangan tersebut harus memuat 3 atau 6 angka 1, diawali dengan angka 1 dan berakhir dengan angka 0.
Banyak bilangan 7 digit yang memuat 3 angka 1 dan habis dibagi 6 adalah $\frac{5 !}{2 ! .3 !}=10$ Banyak bilangan 7 digit yang memuat 6 angka 1 dan habis dibagi 6 adalah 1 Jadi, Banyaknya bilangan asli tujuh digit yang disusun dari 0 atau 1 saja serta habis dibagi 6 adalah $10+1=11$
25. Diketahui suatu konstanta $k>0$. Garis $l$ dengan persamaan $y=2 k x+3 k^2$ meotong parabola dengan persamaan $y=x^2$ pada titik $P$ di kuadran I dan $Q$ di kuadran II. Jika koordinat $O(0,0)$ ) dan luas daerah segitiga $P O Q$ adalah 48 satuan luas, maka kemiringan garis $l$ adalah....
A. $\frac{2}{3}$
B. 2
C. $\frac{4}{3}$
D. 4
Jawab: D
Garis $y=2 k x+3 k^2$ meotong parabola $y=x^2$, maka:
$$
\begin{aligned}
x^2=2 k x+3 k^2 & \Leftrightarrow x^2-2 k x-3 k^2=0 \\
& \Leftrightarrow(x+k)(x-3 k)=0
\end{aligned}
$$
Untuk $x=-k$ diperoleh $y=k^2$ sehingga koordinat $Q\left(-k, k^2\right)$
Untuk $x=3 k$ diperoleh $y=9 k^2$ sehingga koordinat $P\left(3 k, 9 k^2\right)$
Dengan kordinat $O(0,0)$ dan luas segitiga $P O Q=48$ satuan, maka:
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}
0 & -k & 3 k & 0 \\
0 & k^2 & 9 k^2 & 0
\end{array}\right|=48 & \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left(3 k^3-\left(-9 k^3\right)\right)=48 \\
& \Leftrightarrow 6 k^3=48 \\
& \Leftrightarrow k^3=8 \Leftrightarrow k=2
\end{aligned}
$$
Jadi, kemiringan garis $y=2 k x+3 k^2$ adalah $2 k=4$
0 Komentar