Atlet bulu tangkis Anthony Ginting menjalani pertandingan persahabatan
dengan Jonathan Christie, rekan sesama timnya. Pertandingan berakhir jika salah
satu pemain menang dua set langsung atau menang dua set dari tiga set permainan
(rubber set).
Tim pelatih Ginting menyatakan bahwa peluang Ginting dapat memenangkan suatu set adalah 1,6 kali lipat peluang Ginting memenangkan pertandingan.
Misalkan tidak ada pertandingan yang berakhir imbang/seri. Berdasarkan pernyataan tim pelatih Ginting, peluang Jonathan memenangkan pertandingan adalah ...
(A) $\dfrac{1}{4}$
(B) $\dfrac{3}{4}$
(C) $\dfrac{5}{32}$
(D) $\dfrac{27}{32}$
Solusi:
Misalkan peluang Ginting menang suatu pertandingan adalah $x$, maka peluang Ginting memenangkan suatu set adalah $\frac{8}{5} x$. Di saat yang sama maka peluang Jonathan memenangkan suatu set adalah $1-\frac{8}{5} x$. Sekarang, kita mau cari dulu berapakah nilai $x$ nya. Tinjau bahwa alur memenangkan suatu pertandingan badminton adalah menang 2 kali langsung, kalah dulu lalu menang 2 kali, atau menang kalah menang. Maka peluang untuk ginting bisa memenangkan pertandingan dapat dinyatakan sebagai
$$
\left(\frac{8}{5} x\right)^2+\left(1-\frac{8}{5} x\right)\left(\frac{8}{5} x\right)^2+\left(1-\frac{8}{5} x\right)\left(\frac{8}{5} x\right)^2=x
$$
Akan ekuivalen dengan
$$
\frac{1}{125} x(32 x-25)(32 x-5)=0
$$
Dapat dicek $x$ yang mungkin adalah $x=0, \frac{25}{32}, \frac{5}{32}$. Karena nilai $\frac{8}{5} x<1$, maka $x$ yang mungkin adalah $\frac{5}{32}$. Maka jika peluang ginting memenangkan pertandingan adalah $\frac{5}{32}$, maka peluang Jonatan untuk memenangkan pertandingan adalah $1-\frac{5}{32}=\frac{27}{32}$.
Jika luas persegi adalah $x \mathrm{~cm}^2$, luas persegi panjang adalah $y \mathrm{~cm}^2, x>y$, dan $x y=98$, maka keliling segi delapan $A B C D E F G H$ yang mungkin adalah $\ldots \mathrm{cm}$.
(A) 30
(B) 33
(C) 34
(D) 51
Solusi:
Tinjau bahwa dari soal, nilai $x y=98$, dan $x>y$. Maka haruslah $x y=98<x^2 \Longrightarrow x \geq \sqrt{98}$. Perhatikan bahwa, karena panjang sisi persegi adalah bilangan bulat, maka kemungkinan $x$ hanyalah 49, artinya panjang sisi persegi adalah 7. Disaat yang sama maka artinya luas persegi panjang adalah 2, dan akan ada 2 kasus yaitu ketika panjangnya 2 lalu lebarnya 1 , atau panjangnya 1 lalu lebarnya 2.
- Lebarnya 1, panjangnya 2. Maka kelilingnya akan sama dengan $A B+B C+C D+D E+E F+$ $F G+G H+A H=21+A D-H E+G F+2+2=21+7+2+2=32$ (TM) tidak ada di pilihan
- Lebarnya 2, panjangnya 1. Maka kelilingnya akan sama dengan $A B+B C+C D+D E+E F+$ $F G+G H+A H=21+A D-H E+G F+1+1=21+7+1+1=30$, ada di pilihan.
Maka jawabannya adalah $B$
Tim pelatih Ginting menyatakan bahwa peluang Ginting dapat memenangkan suatu set adalah 1,6 kali lipat peluang Ginting memenangkan pertandingan.
Misalkan tidak ada pertandingan yang berakhir imbang/seri. Berdasarkan pernyataan tim pelatih Ginting, peluang Jonathan memenangkan pertandingan adalah ...
(A) $\dfrac{1}{4}$
(B) $\dfrac{3}{4}$
(C) $\dfrac{5}{32}$
(D) $\dfrac{27}{32}$
Solusi:
Misalkan peluang Ginting menang suatu pertandingan adalah $x$, maka peluang Ginting memenangkan suatu set adalah $\frac{8}{5} x$. Di saat yang sama maka peluang Jonathan memenangkan suatu set adalah $1-\frac{8}{5} x$. Sekarang, kita mau cari dulu berapakah nilai $x$ nya. Tinjau bahwa alur memenangkan suatu pertandingan badminton adalah menang 2 kali langsung, kalah dulu lalu menang 2 kali, atau menang kalah menang. Maka peluang untuk ginting bisa memenangkan pertandingan dapat dinyatakan sebagai
$$
\left(\frac{8}{5} x\right)^2+\left(1-\frac{8}{5} x\right)\left(\frac{8}{5} x\right)^2+\left(1-\frac{8}{5} x\right)\left(\frac{8}{5} x\right)^2=x
$$
Akan ekuivalen dengan
$$
\frac{1}{125} x(32 x-25)(32 x-5)=0
$$
Dapat dicek $x$ yang mungkin adalah $x=0, \frac{25}{32}, \frac{5}{32}$. Karena nilai $\frac{8}{5} x<1$, maka $x$ yang mungkin adalah $\frac{5}{32}$. Maka jika peluang ginting memenangkan pertandingan adalah $\frac{5}{32}$, maka peluang Jonatan untuk memenangkan pertandingan adalah $1-\frac{5}{32}=\frac{27}{32}$.
Jawabannya adalah $B$
$\fbox{SOAL 2.}$
Solusi:
Tinjau bahwa dari persamaan kedua dan ketiga di atas, jika kita kalikan dapat kita peroleh
$$
b c=c b(a+2)(a-2)
$$
Karena $b, c$ positif, maka $1=(a+2)(a-2) \Longrightarrow a^2=5$, di saat yang sama karena $a$ positif juga, maka $a=\sqrt{5}$. Dimasukkan ke persamaan 1, dapat diperoleh $a=b c=c^2(\sqrt{5}+2)=\sqrt{5}$, didapat $c^2=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2} \Longrightarrow 5-2 \sqrt{5}$.
$\fbox{SOAL 3.}$
(A) $196 \pi$
(B) $960 \pi$
(C) $1960 \pi$
(D) $9600 \pi$
Solusi:
Kita akan gambar kerucutnya dari tampak sampingnya
Karena $T$ adalah tinggi kerucut, maka dapat kita punya $T A=T B$. Dari
soal, kita punya $A C=$ $O C$, sehingga didapat $\angle T B A=\angle T A
B=\angle C A O=\angle C O A$ yang mengakibatkan $C O \| T B$. Dari
kesebangunan $\triangle A C O$ dan $\triangle A T B$ kita bisa punya
$$
\frac{A C}{C T}=\frac{A O}{O B}=1 \Longleftrightarrow O C=A C=C T=11
$$
Perhatikan bahwa $O$ dan $C$ masing masing midpoint dari $A B$ dan $A T$, sehingga kita bisa punya $D$ merupakan titik berat segitiga $A B T$. Dari fakta garis berat, didapat $B D=2 C D=14$. Sekarang tinjau bahwa $T D$ garis bagi dari $<C T B$, sehingga didapat
$$
T D^2=C T \cdot B T-C D \cdot B D=11 \cdot 22-7 \cdot 14 \Longrightarrow T D=12
$$
Disaat yang sama $2 D O=T D$. Maka $O T=18$ Dengan Phytagoras didapat $O B^2=\sqrt{B T^2-O T^2}=$ $\sqrt{22^2-18^2}=\sqrt{160}$ Sehingga volume kerucut akan sama saja dengan
$$
1 / 3 \times \pi \times O T \times O B^2=960 \pi
$$
Maka volume dari kerucutnya adalah $960 \pi$ atau sama dengan $B$
$\fbox{SOAL 4.}$
$\fbox{SOAL 5.}$
Diketahui panjang $B D=C D, B E=D E, A J=J D$ dan $D G$ sejajar $C F$.
Jika perbandingan luas daerah segitiga $A D H$ dan segitiga $A B C$ dinyatakan dalam bentuk paling sederhana $m: n$, maka nilai dari $m+n$ adalah $\ldots$
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
Solusi:
Tinjau bahwa luas $[A D H]=[A E D]-[E D H],[E D H]=\frac{D H}{G D}[G E D]$. Dari soal kita bisa punya bahwa $[A E D]=\frac{1}{4}[A B C]$. Dengan menalaus di segitiga $B F C$ dengan transversal $A D$, dapat diperoleh
$$
\frac{B F}{A F} \cdot \frac{A J}{J D} \cdot \frac{D C}{B C}=1
$$
Didapat $B F=2 A F$, dengan kesebangunan antara segitiga $B G D$ dan $B F C$, didapat
$$
\frac{B G}{G F}=\frac{B D}{D C}=1
$$
Maka $B G=B F=G F$, didapat $[G E D]=[B G E]=\frac{B G}{A B} \cdot \frac{B E}{B C} \cdot[A B C]=\frac{[A B C]}{12}$, menalaus sekali lagi di segitiga $A B E$ dengan transversal $D G$, didapat
$$
\frac{B E}{D E} \cdot \frac{D H}{G H} \cdot \frac{G A}{B A}=1 \Longrightarrow \frac{D H}{G H}=\frac{3}{2}
$$
Memanfaatkan ini
$$
[D E H]=\frac{3}{5} \cdot[D E G]=\frac{1}{20}[A B C]
$$
Maka
$$
[A D H]=[A E D]-[E D H]=\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{20}\right)[A B C]=\frac{1}{5}[A B C]
$$
Didapat $m+n=1+5=6$, maka jawaban soal adalah $B$
$\fbox{SOAL 6.}$
$\fbox{SOAL 2.}$
Diketahui sistem persamaan sebagai dengan $a, b$ dan $c$
adalah bilangan real positif
$$
\begin{aligned}
a & =b c \\
b & =c(a+2) \\
c & =b(a-2)
\end{aligned}
$$
Nilai dari $a^2+b^2+c^2$ adalah $\ldots$
(A) 15
(B) $15-4 \sqrt{15}$
(C) 225
(D) $15+4 \sqrt{5}$
$$
\begin{aligned}
a & =b c \\
b & =c(a+2) \\
c & =b(a-2)
\end{aligned}
$$
Nilai dari $a^2+b^2+c^2$ adalah $\ldots$
(A) 15
(B) $15-4 \sqrt{15}$
(C) 225
(D) $15+4 \sqrt{5}$
Tinjau bahwa dari persamaan kedua dan ketiga di atas, jika kita kalikan dapat kita peroleh
$$
b c=c b(a+2)(a-2)
$$
Karena $b, c$ positif, maka $1=(a+2)(a-2) \Longrightarrow a^2=5$, di saat yang sama karena $a$ positif juga, maka $a=\sqrt{5}$. Dimasukkan ke persamaan 1, dapat diperoleh $a=b c=c^2(\sqrt{5}+2)=\sqrt{5}$, didapat $c^2=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2} \Longrightarrow 5-2 \sqrt{5}$.
Dengan cara yang sama, $b^2=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} \Longrightarrow 5+2
\sqrt{5}$. Maka
$$
a^2+b^2+c^2=5+5-2 \sqrt{5}+5+2 \sqrt{5}=15
$$
Maka jawabannya adalah $A$
$$
a^2+b^2+c^2=5+5-2 \sqrt{5}+5+2 \sqrt{5}=15
$$
Maka jawabannya adalah $A$
$\fbox{SOAL 3.}$
Diketahui suatu kerucut dengan titik puncak $T$, pusat sisi
alas $O$, dan diameter alas $A B$. Titik $C$ berada pada ruas garis $A T$
dengan $A C=O C=11 \mathrm{~cm}$. Titik $D$ merupakan titik potong antara
garis $O T$ dan $B C$ dengan $D C=7 \mathrm{~cm}$. Volume kerucut tersebut
adalah $\ldots \mathrm{cm}^2$.
(A) $196 \pi$
(B) $960 \pi$
(C) $1960 \pi$
(D) $9600 \pi$
Solusi:
Kita akan gambar kerucutnya dari tampak sampingnya
$$
\frac{A C}{C T}=\frac{A O}{O B}=1 \Longleftrightarrow O C=A C=C T=11
$$
Perhatikan bahwa $O$ dan $C$ masing masing midpoint dari $A B$ dan $A T$, sehingga kita bisa punya $D$ merupakan titik berat segitiga $A B T$. Dari fakta garis berat, didapat $B D=2 C D=14$. Sekarang tinjau bahwa $T D$ garis bagi dari $<C T B$, sehingga didapat
$$
T D^2=C T \cdot B T-C D \cdot B D=11 \cdot 22-7 \cdot 14 \Longrightarrow T D=12
$$
Disaat yang sama $2 D O=T D$. Maka $O T=18$ Dengan Phytagoras didapat $O B^2=\sqrt{B T^2-O T^2}=$ $\sqrt{22^2-18^2}=\sqrt{160}$ Sehingga volume kerucut akan sama saja dengan
$$
1 / 3 \times \pi \times O T \times O B^2=960 \pi
$$
Maka volume dari kerucutnya adalah $960 \pi$ atau sama dengan $B$
$\fbox{SOAL 4.}$
Misalkan $N(a, b, c)$ menyatakan banyaknya kelipatan $a$
yang lebih besar dari $b$ dan kurang dari $c$. Sebagai contoh, $N(3,5,10)=2$
karena terdapat dua bilangan antara 5 dan 10 yang merupakan kelipatan 3 .
Nilai dari $N\left(6^3, 6^4, 6^6\right)$ adalah $\ldots$
(A) 216
(B) 215
(C) 209
(D) 208
Solusi:
Tinjau bahwa dengan definisi soal, maka kita mau cari berapa banyak nilai $k$ yang mungkin sehingga $6^4<6^3 k<6^6$, yang mana akan ekuivalen dengan $6<k<216$, atau $7 \leq k \leq 215$ sebab $k$ bulat. Maka banyaknya nilai $k$ yang mungkin adalah $215-7+1=209$. Jawabannya adalah $C$
(A) 216
(B) 215
(C) 209
(D) 208
Solusi:
Tinjau bahwa dengan definisi soal, maka kita mau cari berapa banyak nilai $k$ yang mungkin sehingga $6^4<6^3 k<6^6$, yang mana akan ekuivalen dengan $6<k<216$, atau $7 \leq k \leq 215$ sebab $k$ bulat. Maka banyaknya nilai $k$ yang mungkin adalah $215-7+1=209$. Jawabannya adalah $C$
$\fbox{SOAL 5.}$
Perhatikan gambar berikut
Jika perbandingan luas daerah segitiga $A D H$ dan segitiga $A B C$ dinyatakan dalam bentuk paling sederhana $m: n$, maka nilai dari $m+n$ adalah $\ldots$
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
Solusi:
Tinjau bahwa luas $[A D H]=[A E D]-[E D H],[E D H]=\frac{D H}{G D}[G E D]$. Dari soal kita bisa punya bahwa $[A E D]=\frac{1}{4}[A B C]$. Dengan menalaus di segitiga $B F C$ dengan transversal $A D$, dapat diperoleh
$$
\frac{B F}{A F} \cdot \frac{A J}{J D} \cdot \frac{D C}{B C}=1
$$
Didapat $B F=2 A F$, dengan kesebangunan antara segitiga $B G D$ dan $B F C$, didapat
$$
\frac{B G}{G F}=\frac{B D}{D C}=1
$$
Maka $B G=B F=G F$, didapat $[G E D]=[B G E]=\frac{B G}{A B} \cdot \frac{B E}{B C} \cdot[A B C]=\frac{[A B C]}{12}$, menalaus sekali lagi di segitiga $A B E$ dengan transversal $D G$, didapat
$$
\frac{B E}{D E} \cdot \frac{D H}{G H} \cdot \frac{G A}{B A}=1 \Longrightarrow \frac{D H}{G H}=\frac{3}{2}
$$
Memanfaatkan ini
$$
[D E H]=\frac{3}{5} \cdot[D E G]=\frac{1}{20}[A B C]
$$
Maka
$$
[A D H]=[A E D]-[E D H]=\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{20}\right)[A B C]=\frac{1}{5}[A B C]
$$
Didapat $m+n=1+5=6$, maka jawaban soal adalah $B$
$\fbox{SOAL 6.}$
Jika $x^3+\frac{1}{x^3}=18$ dan $x \neq 0$, maka nilai dari $$
x^7+\frac{1}{x^7}+7 $$ adalah ...
(A) 845
(B) 850
(C) 855
(D) 860
(A) 845
(B) 850
(C) 855
(D) 860
Solusi: Tinjau bahwa bentuk soal dapat kita ubah menjadi $$
\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}
\cdot\left(x+\frac{1}{x}\right)=18 $$ Misalkan $x+\frac{1}{x}=a$, maka $a^3-3
a=18$.
Tinjau bahwa $$ \begin{aligned} a^3-3 a-18 & =0 \\ (a-3)\left(a^2+3
a+6\right) & =0 \\
(a-3)\left(\left(a+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{15}{4}\right) & =0
\end{aligned} $$
Karena jelas yang bentuk 1 nya lebih dari 0 , maka $a=x+\frac{1}{x}=3$.
Tinjau bahwa $\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=7$, disaat yang sama
$x^4+\frac{1}{4}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2=47$.
Perhatikan bahwa \begin{gathered} x^4\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=18 x^4
\Longrightarrow x^7=18 x^4-x \ldots \\
\frac{1}{x^4}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=\frac{18}{x^4} \Longrightarrow
\frac{1}{x^7}=\frac{18}{x^4}-\frac{1}{x} \ldots(2 \end{gathered} Menjumlahkan
(1) dan (2), didapat $$ \begin{aligned} &
x^7+\frac{1}{x^7}=18\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)
\\ & x^7+\frac{1}{x^7}=18 \cdot 47-3=843 \end{aligned} $$ Maka
$x^7+\frac{1}{x^7}+7=843+7=850$, didapat jawabannya adalah $B$
Catatan.
soal juga dapat diselesaikan menggunakan Binomial Newton namun kurang
efektif
$\fbox{SOAL 7.}$
Suatu segi delapan $A B C D E F G H$ dibentuk dari suatu persegi $A B C D$
dan persegi panjang $E F G H$ yang panjang sisi-sisinya merupakan bilangan
bulat positif. Contoh segi delapan tersebut diberikan pada gambar berikut.
(A) 30
(B) 33
(C) 34
(D) 51
Solusi:
Tinjau bahwa dari soal, nilai $x y=98$, dan $x>y$. Maka haruslah $x y=98<x^2 \Longrightarrow x \geq \sqrt{98}$. Perhatikan bahwa, karena panjang sisi persegi adalah bilangan bulat, maka kemungkinan $x$ hanyalah 49, artinya panjang sisi persegi adalah 7. Disaat yang sama maka artinya luas persegi panjang adalah 2, dan akan ada 2 kasus yaitu ketika panjangnya 2 lalu lebarnya 1 , atau panjangnya 1 lalu lebarnya 2.
- Lebarnya 1, panjangnya 2. Maka kelilingnya akan sama dengan $A B+B C+C D+D E+E F+$ $F G+G H+A H=21+A D-H E+G F+2+2=21+7+2+2=32$ (TM) tidak ada di pilihan
- Lebarnya 2, panjangnya 1. Maka kelilingnya akan sama dengan $A B+B C+C D+D E+E F+$ $F G+G H+A H=21+A D-H E+G F+1+1=21+7+1+1=30$, ada di pilihan.
Maka jawabannya adalah $B$
$\fbox{SOAL 8.}$
Jika bilangan real positif $p, q, r, s$ memenuhi sistem persamaan
$$
\begin{aligned}
& p^2+q^2=r^2+s^2 \\
& p^2+s^2-p s=q^2+r^2+q r
\end{aligned}
$$
nilai dari
$$
\frac{p q+r s}{p s+q r}
$$
adalah ...
(A) $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
(B) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(C) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(D) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Solusi:
Perhatikan gambar berikut.
Konstruksi segiempat siklis $A B C D$ dengan $\angle A B C=\angle A D C=90^{\circ}, \angle B A D=60^{\circ}$, serta $A C$ merupakan garis bagi sudut dalam $\angle B C D$ dan $\angle B A D^*$. Misalkan juga
$$
A B=p, \quad B C=q, \quad C D=r, \quad A D=s
$$
Sadari bahwa $\angle A C B=60^{\circ}=2 \angle B A C$, sehingga kita punya
$$
q=B C=\frac{A C}{2}, \quad p=\frac{A C \sqrt{3}}{2}
$$
Analog, kita juga punya
$$
r=\frac{A C}{2}, \quad s=\frac{A C \sqrt{3}}{2}
$$
Untuk mempermudah, WLOG $B C=1$ sehingga didapatkan
$$
\begin{aligned}
& \frac{p q+r s}{p s+q r}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{3+1} \\
& \frac{p q+r s}{p s+q r}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}
$$
Maka jawaban dari soal ini adalah $B$
*Catatan. Ini diperoleh dari hukum kosinus, sudut $60^{\circ}$ dan $120^{\circ}$ diperoleh dari persamaan kedua, sedangkan persamaan pertama memberikan sudut yang $90^{\circ}$.
$\fbox{SOAL 9.}$
$\fbox{SOAL 10.}$
$$
\begin{aligned}
& p^2+q^2=r^2+s^2 \\
& p^2+s^2-p s=q^2+r^2+q r
\end{aligned}
$$
nilai dari
$$
\frac{p q+r s}{p s+q r}
$$
adalah ...
(A) $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
(B) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(C) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(D) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Solusi:
Perhatikan gambar berikut.
$$
A B=p, \quad B C=q, \quad C D=r, \quad A D=s
$$
Sadari bahwa $\angle A C B=60^{\circ}=2 \angle B A C$, sehingga kita punya
$$
q=B C=\frac{A C}{2}, \quad p=\frac{A C \sqrt{3}}{2}
$$
Analog, kita juga punya
$$
r=\frac{A C}{2}, \quad s=\frac{A C \sqrt{3}}{2}
$$
Untuk mempermudah, WLOG $B C=1$ sehingga didapatkan
$$
\begin{aligned}
& \frac{p q+r s}{p s+q r}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{3+1} \\
& \frac{p q+r s}{p s+q r}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}
$$
Maka jawaban dari soal ini adalah $B$
*Catatan. Ini diperoleh dari hukum kosinus, sudut $60^{\circ}$ dan $120^{\circ}$ diperoleh dari persamaan kedua, sedangkan persamaan pertama memberikan sudut yang $90^{\circ}$.
$\fbox{SOAL 9.}$
Suatu bilangan bulat positif $n$ disebut bilangan JUMPAT jika jumlah $n$ bilangan bulat positif pertama dapat dinyatakan sebagai penjumlahan empat bilangan bulat positif berurutan. Banyaknya bilangan JUMPAT yang kurang dari 2024 adalah...
(A) 252
(B) 253
(C) 504
(D) 505
Solusi:
Kita tahu bahwa jumlah $n$ bilangan bulat positif pertama adalah $\frac{n(n+1)}{2}$. Lalu penjumlahan 4 bilangan bulat positif berurutan berbentuk $4 a+6$ dengan $a$ bilangan bulat positif. Perhatikan bahwa
$$
\begin{aligned}
& \frac{n(n+1)}{2}=4 a+6 \\
& n(n+1)=8 a+12 \\
& n(n+1) \equiv 4 \quad(\bmod 8)
\end{aligned}
$$
Sehingga didapatkan
$$
n \equiv 3,4 \quad(\bmod 8)
$$
Kita tahu bahwa untuk $n=3$ bukan bilangan JUMPAT. Misalkan $n=8 k+3$ atau $n=8 k+4$ untuk suatu $k$ bilangan bulat nonnegatif.
- Untuk $n=8 k+3(k \geq 1)$, kita punya
$$
\begin{aligned}
8 k+3 & <2024 \\
k & \leq 252
\end{aligned}
$$
- Untuk $n=8 k+4$, kita punya
$$
\begin{aligned}
8 k+4 & <2024 \\
k & \leq 252
\end{aligned}
$$
Sehingga banyaknya bilangan JUMPAT adalah $252+253=505$, maka jawaban yang tepat adalah $\fbox{D}$
(A) 252
(B) 253
(C) 504
(D) 505
Solusi:
Kita tahu bahwa jumlah $n$ bilangan bulat positif pertama adalah $\frac{n(n+1)}{2}$. Lalu penjumlahan 4 bilangan bulat positif berurutan berbentuk $4 a+6$ dengan $a$ bilangan bulat positif. Perhatikan bahwa
$$
\begin{aligned}
& \frac{n(n+1)}{2}=4 a+6 \\
& n(n+1)=8 a+12 \\
& n(n+1) \equiv 4 \quad(\bmod 8)
\end{aligned}
$$
Sehingga didapatkan
$$
n \equiv 3,4 \quad(\bmod 8)
$$
Kita tahu bahwa untuk $n=3$ bukan bilangan JUMPAT. Misalkan $n=8 k+3$ atau $n=8 k+4$ untuk suatu $k$ bilangan bulat nonnegatif.
- Untuk $n=8 k+3(k \geq 1)$, kita punya
$$
\begin{aligned}
8 k+3 & <2024 \\
k & \leq 252
\end{aligned}
$$
- Untuk $n=8 k+4$, kita punya
$$
\begin{aligned}
8 k+4 & <2024 \\
k & \leq 252
\end{aligned}
$$
Sehingga banyaknya bilangan JUMPAT adalah $252+253=505$, maka jawaban yang tepat adalah $\fbox{D}$
$\fbox{SOAL 10.}$
Diketahui persamaan
$$
x^4+a x^3+54 x^2-108 x+81=0
$$
dengan $a$ bilangan real, memiliki 4 akar berbeda, yaitu $r_1, r_2, r_3, r_4$.
Jika
$$
r_1 \times r_2 \times r_3 \times r_4=\left(\frac{r_1+r_2+r_3+r_4}{4}\right)^4
$$
maka nilai dari $a$ adalah ...
(Disclaimer : soal awal 4 akar real berbeda, namun penulis meyakini yang dimaksud juri adalah 4 akar berbeda)
(A) -12
(B) -8
(C) 3
(D) 12
Solusi:
Dengan teorema vieta dapat kita peroleh
$$
\begin{gathered}
r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 \cdot r_4=81 \\
r_1+r_2+r_3+r_4=-a \\
r_1 r_2 r_3+r_1 r_2 r_4+r_2 r_3 r_4+r_1 r_3 r_4=108 \\
r_1 r_2+r_1 r_3+r_1 r_4+r_2 r_3+r_2 r_4+r_3 r_4=54
\end{gathered}
$$
Karena di soal $r_1 \times r_2 \times r_3 \times r_4=\left(\frac{r_1+r_2+r_3+r_4}{4}\right)^4$, akibatnya $81=\left(-\frac{a}{4}\right)^4$.
Maka haruslah $a= \pm 12$. Tinjau bahwa $(x-3)^4=x^4-12 x^3+54 x^2-108 x+81$, jelas untuk $a=-12$ tidak memenuhi karena semua akar harus berbeda, maka haruslah $a=12$. Akibatnya jawaban yang tepat adalah $D$
$$
x^4+a x^3+54 x^2-108 x+81=0
$$
dengan $a$ bilangan real, memiliki 4 akar berbeda, yaitu $r_1, r_2, r_3, r_4$.
Jika
$$
r_1 \times r_2 \times r_3 \times r_4=\left(\frac{r_1+r_2+r_3+r_4}{4}\right)^4
$$
maka nilai dari $a$ adalah ...
(Disclaimer : soal awal 4 akar real berbeda, namun penulis meyakini yang dimaksud juri adalah 4 akar berbeda)
(A) -12
(B) -8
(C) 3
(D) 12
Solusi:
Dengan teorema vieta dapat kita peroleh
$$
\begin{gathered}
r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 \cdot r_4=81 \\
r_1+r_2+r_3+r_4=-a \\
r_1 r_2 r_3+r_1 r_2 r_4+r_2 r_3 r_4+r_1 r_3 r_4=108 \\
r_1 r_2+r_1 r_3+r_1 r_4+r_2 r_3+r_2 r_4+r_3 r_4=54
\end{gathered}
$$
Karena di soal $r_1 \times r_2 \times r_3 \times r_4=\left(\frac{r_1+r_2+r_3+r_4}{4}\right)^4$, akibatnya $81=\left(-\frac{a}{4}\right)^4$.
Maka haruslah $a= \pm 12$. Tinjau bahwa $(x-3)^4=x^4-12 x^3+54 x^2-108 x+81$, jelas untuk $a=-12$ tidak memenuhi karena semua akar harus berbeda, maka haruslah $a=12$. Akibatnya jawaban yang tepat adalah $D$
---
){kind=link}
0 Komentar