Soal KSN Bidang Matematika SMP Tingkat Kab/KotaTahun 2020

Soal berikut adalah Soal Kompetisi Sains Nasional Bidang Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota Tahun 2020, dengan 25 Soal Bentuk Pilihan Ganda. 

Soal ini telah di tulis ulang dalam bentuk soal Blog, dengan soalnya sudah dalam bentuk PDF, yang diperoleh dari sumber internet.

PILIHAN GANDA
01. Jika $a, b, c, d$ adalah bilangan bulat positif berbeda sehingga $a b c d=2020$, maka nilai terkecil yang mungkin dari $\dfrac{a+b}{c+d}$ adalah.... A. $\dfrac{3}{507}$ B. $\dfrac{5}{106}$ C. $\dfrac{1}{17}$ D. $\dfrac{1}{69}$ Jawab: $\mathrm{D}$ $$ 2020=2^2 \cdot 5.101 $$ Karena $a \neq b \neq c \neq d$, maka a dan b adalah bilangan terkecil yang mungkin Pilih $a=1, b=2, c=5, d=202$ sehingga diperoleh $\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{1+2}{5+202}=\dfrac{3}{207}=\dfrac{1}{69}$
02. Manakah di antara bilangan berikut yang merupakan bilangan prima? A. 2017 B. 2019 C. 2021 D. 2023 Jawab: A $$ 2019=3 \times 673,2021=43 \times 47,2023=7 \times 289 $$
03. Jika $\Delta(a, b, c)=a b+b c+a c$, dan misalkan $x_1$ dan $x_2$ adalah bilangan yang memenuhi $\dfrac{1}{3} \Delta(x+1, x-2,5)=(x-2)(x+2)$, maka nilai terbesar yang mungkin dari $2 x_1-3 x_2$ adalah.... A. -16 B. 13 C. 8 D. $\dfrac{23}{2}$ Jawab: D $$ \begin{aligned} a=x+1, b=x-2, c & =5 \\ \frac{1}{3}((x+1)(x-2)+5(x-2)+5(x+1)) & =(x-2)(x+2) \\ \frac{1}{3}\left(x^2+9 x-7\right) & =x^2-4 \\ x^2+9 x-7 & =3 x^2-12 \\ 2 x^2-9 x-5 & =0 \Leftrightarrow(2 x+1)(x-5)=0 \end{aligned} $$ Agar $2 x_1-3 x_2$ maksimum, pilih $x_1=5, x_2=-\dfrac{1}{2}$ diperoleh $2 x_1-3 x_2=10+\frac{3}{2}=\frac{23}{2}$
04. Jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmetika adalah 450. Jika suku pertama adalah $n$ dan suku ke- $n$ adalah 3, maka selisih barisan tersebut adalah.... A. $\dfrac{13}{7}$ B. $\dfrac{15}{7}$ C. $\dfrac{13}{11}$ D. $\dfrac{15}{11}$ Jawab: = Diketahui, suku pertama, $a=n, U_n=3$ dan $S_n=450$, selisih, $b=\cdots$ ? $S_n=\dfrac{n}{2}\left(a+U_n\right) \Leftrightarrow 450=\dfrac{n}{2}(n+3) \Leftrightarrow n^2+3 n-900=0$ (tidak ada bilangan bulat $\mathrm{n}$ yang memenuhi)
05. Jika $f(x)=5 x-3$, maka jumlah semua $x$ yang memenuhi $(f(x))^2-6 f(x)=-9$ adalah.... A. 0 B. 3 C. $\dfrac{3}{5}$ D. $\dfrac{6}{5}$ Jawab: - $$ \begin{aligned} (5 x-3)^2-6(5 x-3)=-9 & \Leftrightarrow 25 x^2-30 x+9-30 x+18=-9 \\ & \Leftrightarrow 25 x^2-60 x+36=0 \\ & \Leftrightarrow x_1+x_2=\dfrac{60}{25}=\dfrac{12}{5} \end{aligned} $$
06. $R_t$ dan $R_k$ berturut-turut menyatakan jari-jari tabung dan jari-jari kerucut. Jika tinggi tabung dan tinggi kerucut adalah $3600 \mathrm{~cm}$, volum tabung $490 \mathrm{a}$ liter dan volum kerucut $30 \pi$ liter, maka hubungan antara $R_{\mathrm{t}}$ dan $R_k$ adalah.... A. $7 R_t=3 R_k$ B. $3 R_t=7 R_k$ C. $6 R_t=7 R_k$ D. $6 R_{\mathrm{t}}=3 R_{\mathrm{k}}$ Jawab: $B$ $$ \begin{aligned} \dfrac{V_t}{V_k}=\dfrac{\pi R_t^2 t}{\dfrac{1}{3} \pi R_k^2 t}=\dfrac{490 \pi}{30 \pi} & \Leftrightarrow \frac{R_t^2}{R_k{ }^2}=\dfrac{49}{9} \\ & \Leftrightarrow \frac{R_t}{R_k}=\frac{7}{3} \Leftrightarrow 3 R_t=7 R_k \end{aligned} $$
07. Perhatikan bangun setengah lingkaran berikut. Jika $\mathrm{CA}=6 \mathrm{~cm}$ dan $\mathrm{ED}+\mathrm{DF}-8 \mathrm{~cm}$, maka keliling bangun yang diarsir adalah.... A. $\pi+36$ B. $6 \pi+12$ C. $3 \pi+36$ D. $3 \pi+12$ Jawab: D $$ \mathrm{CE}+\mathrm{DF}=\mathrm{ED}+\mathrm{FB}=\mathrm{CA}=6 \mathrm{~cm} $$ Panjang busur $\mathrm{BC}=\dfrac{1}{4} \cdot 2 \pi \cdot 6=3 \pi$ Jadi, keliling bangun yang diarsir adalah $3 \pi+6+6=3 \pi+12$
08. Di dalam sebuah kerucut terdapat sebuah balok. Volum kerucut $600 \mathrm{~cm}^3$ dan jarijarinya $10 \mathrm{~cm}$. Jika tinggi balok setengah tinggi kerucut, maka volum balok terbesar yang ada di dalam kerucut tersebut adalah... A. $72 \mathrm{~cm}^3$ B. $225 \mathrm{~cm}^3$ C. $450 \mathrm{~cm}^3$ D. $900 \mathrm{~cm}^3$ Jawab: C Volum Kerucut $=600 \pi \mathrm{cm}^3$ $\dfrac{1}{3} \pi \times 10^2 \times t=600 \pi \Leftrightarrow t=18 \mathrm{~cm}$ Tinggi balok $=9 \mathrm{~cm}$. Volum maksimum balok apabila diagonal sisi atas balok sama dengan diameter lingkaran pada sisi atas balok = $10 \mathrm{~cm}$. Jadi volum balok $=\dfrac{1}{2} \times 10 \times 10 \times 9=450 \mathrm{~cm}^3$
09. Pada suatu pameran seni di sekolah, akan dipajang 8 lukisan istimewa terdiri dari 3 lukisan cat air dan 5 lukisan cat minyak. Semua lukisan tersebut saling berbeda. Untuk alasan artistic, maka setiap lukisan cat air akan diletakkan di antara dua lukisan cat minyak. Banyak kemungkinan susunan duduk para guru dan tamu tersebut adalah.... A. 0 B. 24 C. 27 D. 54 Jawab: D Koreksi: mungkin pernyataan "susunan duduk para guru dan tamu" maksudnya adalah "susunan lukisan". Banyak cara meletakkan 3 lukisan di antara 4 ruang antara 5 lukisan cat minyak adalah $C_3^4=4$ cara. Banyak cara mengatur posisi 3 lukisan cat air adalah $3 !-6$ cara Banyak cara mengatur posisi 5 lukisan cat minyak adalah $5 !=120$ cara. Banyak kemungkinan mengatur lukisan dimana lukisan cat air selalu berada di antara 2 cat minyak adalah $4 \times 6 \times 120=2880$ cara.
10. Sebuah dadu bersisi enam dilempar sebanyak $n$ kali, $n>0$. Jika rata-rata mata dadu yang keluar adalah $\dfrac{1}{4} n$, maka median dari seluruh nilai $n$ yang mungkin adalah.... A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 Jawab: D $$ 1 \leq \dfrac{1}{4} n \leq 6 \Leftrightarrow 4 \leq n \leq 24 $$ Karena rata-rata dadu yang keluar adalah $\dfrac{1}{4} n$ maka jumlah mata dadu dalam $n$ pelemparan adalah $\dfrac{1}{4} n \times n=\dfrac{n^2}{4}$ merupakan bilangan bulat, sehingga $n$ yang mungkin adalah $(4,6,8,10,12, \ldots, 24)$. Median dari data tersebut adalah $\dfrac{1}{2}(4+24)=14$.
11. Jika $2^{5 \mathrm{n}}$ dan $5^{2 m}$ adalah faktor dari $2020^{2020}$, maka jumlah digit dari nilai maksimum $m+2 n$ adalah.... A. 16 B. 18 C 20 D. 22 Jawab: A $$ 2020=2^2 \cdot 5.101 $$ $2^{5 n} \leq\left(2^2\right)^{2020} \Leftrightarrow 5 n \leq 4040 \Leftrightarrow n \leq 808$. Maksimum $\mathrm{n}$ adalah 8090 $5^{2 m} \leq 5^{2020} \Leftrightarrow 2 m \leq 2020 \Leftrightarrow m \leq 1010$. Maksimum m adalah 1010 Nilai maksimum $m+2 n=1010+2 \times 808=2626$ jumlah digit dari nilai maksimum $m+2 n$ adalah $2+6+2+6-16$
12. Diberikan empat bilangan bulat positif $a, b, c$ dan d yang memenuhi pertaksamaan $a<b<c<d$. Dikctahui pula $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1$. Banyaknya pasangan bilangan $(a, b, c, d)$ yang memenuhi permasalahan di atas adalah.... A. 1 B. 4 C. 6 D. 9 Jawab: C Jika pilih $a=3, b=4, c=5, d=6$ maka $\dfrac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}<1$ maka nilai a yang mungkin adalah 2. Jika $a=2$ dan $b-3$ maka $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{c}+\frac{1}{d}=\dfrac{1}{6} \Leftrightarrow 6(c+d)=c d$ $$ \Leftrightarrow(c-6)(d-6)=36 $$ Diperoleh pasangan pasangan $(c, d)=\{(7,42),(8,24),(9,18),(10,15)\}$ Jika $a=2$ dan $b=4$ maka $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{c}+\frac{1}{d}=\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow 4(c+d)=c d$ $$ \Leftrightarrow(c-4)(d-4)=16 $$ Diperoleh pasangan pasangan $(c, d)=\{(5,20),(6,12)\}$ Jika $a=2$ dan $b>4$ tidak diperoleh nilai $c$ dan d yang memenuhi sehingga banyak pasangan $(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d})$ yang memenuhi adalah 6 pasang
13. Perhatikan barisan bilangan berikut. $1,2,4,8,15,26,2, ?, ?, \ldots$ Tiga bilangan selanjutnya berturut-turut adalah.... A. $37,49,71$ B. $37,61,99$ C. $42,58,74$ D. $42,64,93$ Jawab: D $1,2,4,8,15,26,42,64,93$ Perhatikan pola selisih berikut ini! $\begin{array}{lllllll}1 & 2& 4&7&11&16&22&29 .....\end{array}$ pola selisih tingkat 1 $\begin{array}{lllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 .....\end{array}$ pola selisih tingkat 2
14. Jika $x_1$ dan $x_2$ dengan $x_1<x_2$ adalah solusi yang memenuhi persamaan $x^{\left(x^x\right)}=\left(x^x\right)^x$, maka $25 x_1^2+4 x_2^2-10 x_1 x_2$ adalah.... A. 1 B. 4 C. 64 D. 19 Jawab: - $x^{\left(x^x\right)}=\left(x^x\right)^x$ dipenuhi apabila $x^x=x$ diperolch $x=1$ atau $x=-1$ atau $x^x \log x=x \log x^x \Leftrightarrow x^x=x^2$ dipcrolch $x=2$. Jika maksud soal adalah $x_1$ dan $x_2>0$ maka $x_1=1$ dan $x_2=2$ $25 x_1^2+4 x_2^2-10 x_1 x_2=25 \cdot(1)^2+4 \cdot(2)^2-10 \cdot(1)(2)=25+16-20=21$
15. Diketahui tiga bilangan terurut $(x, y, z)$ dengan $x, y$, dan $z$ adalahbilangan bulat positif yang memenuhi $(3 x+y-1)^{y+2}=729$. Jika himpunan selesaiannya adalah $\left\{\left(x_1, y_1, z_1\right),\left(x_2, y_2, z_2\right), \ldots,\left(x_n, y_n, z_n\right)\right\}$, maka nilai dari $x_1+x_2+\cdots+x_n+y_1+y_2+\cdots+y_n+z_1+z_2+\cdots+z_n$ adalah.... A. 17 B. 18 C. 24 D. 29 Jawab: C $(3 x+y-1)^{y+2}=729=3^6=9^3=27^2$ 1. $(3 x+y-1)^{y+z}=3^6$ diperoleh penyelesaian $(1,1,5)$ 2. $(3 x+y-1)^{y+z}=9^2$ diperoleh penyelesaian $(3,1,2)$ 3. $(3 x+y-1)^{y+8}=27^2$ diperoleh penyelesaian $(9,1,1)$ Jadi, $$ x_1+x_2+x_3+y_1+y_2+y_3+z_1+z_2+z_3=1+3+9+1+1+1+5+2+1=24 $$

Practice make you perfect !!!