5 Contoh Soal dari Persamaan Kuadrat Dengan Berbagai Metode Penyelesaian

Postingan ini akan membahas pengertian dan rumus abc kuadrat serta contoh soal yang mungkin kamu perlukan.

Rumus Persamaan Kuadrat, Pemfaktoran, Kuadrat, ABC & Contoh Soal – Dalam matematika, kita mengenal istilah yang disebut persamaan kuadrat.

Pelajari ulasan rumus persamaan kuadrat, pemfaktoran, kuadrat, ABC & contoh soalnya di bawah ini!

Rumus Persamaan Kuadrat

Mengenal Arti dari Persamaan Kuadrat

Cara Mudah Mengetahui Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Pemfaktoran

Rumus Kuadrat ABC

Melengkapi Kuadrat Sempurna

5 Contoh Soal dari Persamaan Kuadrat Dengan Beragam Metode Penyelesaian

Rumus Persamaan Kuadrat, Pemfaktoran, Kuadrat, ABC & Contoh Soal

Al-khawarizmi juga dikenal sebagai bapak aljabar, adalah penemu rumus ABC yang telah digunakan untuk memecahkan persamaan kuadrat selama berabad-abad.

Rumus persamaan kuadrat ini pertama kali muncul dalam bukunya yang terkenal Al Mukhtasar fi Hisab Al Jabr wal Muqabbala.

Melalui rumus persamaan kuadrat kamu yang saat ini masih duduk di bangku SMP atau SMA dapat menyelesaikan berbagai macam soal tentang persamaan aljabar.

Jadi, mari kita pelajari rumus ini dan metode lain yang juga digunakan untuk menemukan persamaan kuadrat melalui contoh soalnya.

Mengenal Arti dari Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan orde kedua atau pangkat dua tertinggi. Penerapan persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari dapat ditemukan dalam semua aspek pembentukan parabola atau kurva.

Nah, bentuk ini merupakan bentuk diagram persamaan kuadrat. Contohnya dapat ditemukan dalam bentuk pelangi, atau dalam olahraga, seperti melepaskan anak panah dan sebagainya.

Adapun bentuk umum dari persamaan kuadrat ini $ax^2+bx+c=0$.

Rumus persamaan kuadrat dengan bentuk umumnya yang meliputi $a,~b ~dan ~c \in \mathbb{R},~ dan~   a≠0$.

Dimana a adalah koefisien kuadrat dari x², b merupakan koefisien linier b dari x dan c adalah koefisien konstan, juga dikenal sebagai istilah independen.

Agar tidak membingungkan, rumus persamaan kuadrat dengan akar persamaan kuadrat adalah sama.

Jadi, tidak perlu heran mengapa kedua formula tersebut sangat mirip. Sehingga kamu bisa menggunakannya untuk memecahkan semua persoalan yang terkait.

Cara Mudah Mengetahui Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Solusi dan penyelesaian dari persamaan kuadrat disebut akar persamaan kuadrat. Akar persamaan kuadrat mengacu pada nilai variabel x yang dipenuhi ketika disubstitusikan ke dalam persamaan.

Terdapat beragam cara untuk dapat menentukan akar-akar dari suatu persamaan kuadrat.

Cara pertama adalah faktorisasi, dimana memfaktorkan persamaan kuadrat adalah cara paling sederhana untuk menemukan akar kuadrat dalam suatu persamaan.

Jika faktorisasi tidak memungkinkan, metode selanjutnya adalah menggunakan rumus persamaan kuadrat ABC. Cara lain adalah dengan melengkapi kuadrat sempurna.

Adapun untuk lebih lengkapnya simak pembahasan di bawah ini dengan seksama.

Pemfaktoran

Pemfaktoran adalah ekspresi dari penjumlahan suku-suku aljabar pada perkalian faktor-faktor.

Adapun dari persamaan kuadrat ini kemudian membuat persamaan kuadrat menjadi produk dua persamaan linier. Untuk lebih lengkap dan jelasnya pada pembahasan di bawah ini:

$\bullet x^2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3)$
$\bullet 2x^2 + 10x + 12 = (2x + 4)(x + 3)$
$\bullet 4x^2 – 5x = 4x(x – 5)$
$\bullet x^2 – 4 = (x + 2)(x – 2)$

Contoh tersebut difaktorkan secara langsung, perhatikan bahwa ada empat bentuk persamaan kuadrat pada masing-masingnya. Sehingga keempat bentuk persamaan kuadrat itu berupa:

Persamaan kuadrat bentuk $ax^2 + bx + c$ dengan a = 1

Persamaan kuadrat bentuk $ax^2 + bx + c$ dengan a ≠ 1 dan a ≠ 0

Persamaan kuadrat bentuk $ax^2 + bx$ atau nilai c = 0

Persamaan kuadrat bentuk $x^2 – c$ atau nilai b = 0

Selanjutnya dalam menemukan berbagai jenis rumus persamaan kuadrat seperti yang disebutkan di atas.

Untuk setiap bentuk persamaan kuadrat, ada beberapa cara untuk memfaktorkan atau mencari solusi bilangan bulat. Untuk membantu agar lebih memahami analisis faktor, mari kita lihat metode faktorisasi berikut:

Akar persamaan kuadrat bentuk $ax^2 + bx + c$ dengan $ a = 1$

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a = 1$ melalui metode pemfaktoran. Selanjutnya kamu bisa mengikuti dua langkah mudah yang bisa langsung kamu gunakan.

Pertama tentukan dua angka misalnya saja pilih p dan q, dimana jika dijumlahkan hasilnya akan sama b juga jika dikalikan hasilnya sama $a \times c$. Dengan begitu cara penyelesaiannya akan semakin mudah dan praktis.

Adapun untuk menentukan nilai pasangannya secara mudah kamu bisa mencari bilangan berupa faktor dari ac tersebut.

Kedua jika nilai p dan q tersebut sudah ditentukan, selanjutnya masukan nilai keduanya pada rumus persamaan kuadrat pemfaktoran.

Akar persamaan kuadrat bentuk $ax^2 + bx + $c dengan $a ≠ 1$

Adapun selanjutnya untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a ≠ 1$ dengan pemfaktoran.

Kamu bisa melalui beberapa tahap penyelesaian yang cukup mudah. Sehingga dengan ketentuan akar persamaan kuadrat tersebut kita cari terlebih dahulu nilai dari p dan q dengan cara yang sama.

Akar kuadrat dengan bentuk $ ax^2+ bx$

Cara untuk menentukan akar dari persamaan kuadrat dengan bentuk $ax^2 + bx = 0$ termasuk cukup mudah.

Dimana kamu perlu mengubah bentuk persamaan kuadrat tersebut pada bentuk perkalian dari faktor aljabar dalam variabel $x$.

$ax^2 + bx = ax(x + \frac{b}{a}) = 0$

$ax(x + \frac{b}{a}) = 0$

$ax = 0$ atau $x + \frac{b}{a} = 0$

$x = 0$ atau $x = –\frac{b}{a}$

Sehingga akar dari rumus persamaan kuadrat dengan bentuk $ax^2 + bx = 0$ tersebut adalah 0 atau $–\frac{b}{a}$

Akar persamaan kuadrat bentuk $x^2 – c$

Terakhir pada persamaan kuadrat berbentuk $x^2 – c$ yang bisa diubah menjadi bentuk perkalian dari faktornya adalah sebagai berikut:

$x^2 – c = (x – b)(x + b)$ dengan $b=\sqrt{|c|}$

Dengan demikian diperoleh pula rangkaian akarnya adalah –b juga b

$\boxed{\text {Rumus Kuadrat ABC}}$

Dalam matematika, tiga metode dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, melengkapi bentuk kuadrat dan rumus ABC.

Di antara ketiganya, rumus ABC merupakan metode yang paling populer untuk menyelesaikan persamaan kuadrat karena dianggap paling sederhana.

Rumus ABC sendiri sebenarnya diperoleh dengan menyelesaikan langkah mengkuadratkan untuk menyelesaikan rumus persamaan kuadrat.

Melalui proses ini, rumus-rumus dalam a, b, dan c diperoleh. Rumus ini disebut rumus ABC.

Huruf a, b, dan c dalam rumus ABC disebut koefisien. Koefisien kuadrat dari $x^2$ adalah $a$, koefisien $x$ adalah $b$, dan $c$ adalah konstanta atau koefisien konstanta.

Persamaan kuadrat yang digunakan dalam rumus ABC umumnya $ax^2+bx+c=0$.

Selain rumus persamaan kuadrat, rumus ABC memiliki rumus sendiri yang dapat digunakan untuk mencari nilai x. Ini penjelasannya:

Untuk digunakan sebagai solusi masalah kuadrat, rumus ABC memiliki beberapa aturan.

Adanya ketentuan ini berarti bahwa rumus ABC dapat diterapkan secara akurat dan objektif. Beberapa aturan harus diikuti untuk menggunakan rumus persamaan kuadrat ABC:

• Di dalam rumus ABC, didapati nilai diskriminan, yakni nilai D sudah diterapkan dalam rumus ABC yaitu $b^2 – 4ac$
• Nilai a juga tidak boleh 0 atau $a≠0$
• Apabila nilai D < 0, maka nilai dari akar-akarnya tidak real
• Apabila nilai D > 0, maka nilai dari akar-akar dikatakan real (dengan catatan nilai $x_1,~ x_2 \in \mathbb{R})$, serta nilai x1 tidak sama dengan nilai $x_2$ atau $x_1 ≠ x$
• Apabila nilai D = 0, maka nilai dari akar-akar dikatakan real (dengan catatan nilai $x_1, ~x_2~\in \mathbb{R})$, serta nilai $x_1$ sama dengan nilai$ x_2$ atau $x_1 = x$

Melengkapi Kuadrat Sempurna

Kuadrat sempurna adalah bentuk persamaan kuadrat yang hanya terdiri dari satu bentuk kuadrat dan satu konstanta.

Metode penyempurnaan kuadrat sempurna mengubah bentuk umum persamaan kuadrat $ax^2 +bx+ c = 0$ menjadi bentuk kuadrat $a (xd)^2$

Dan disetarakan dengan konstanta e, menjadi $a (xd)^2 e = 0$ Nilai konstanta $e$ adalah nilai keseimbangan kuadrat dari bentuk sempurna persamaan.

Metode pemurnian kuadrat sempurna ini kemudian juga dijelaskan secara geometris.

Dimana hal tersebut bertujuan untuk menyeimbangkan bentuk kuadrat dengan rumus persamaan kuadrat yang ditransformasikan.

Bentuk umum persamaan kuadrat dapat digambarkan secara geometris sebagai persegi dan persegi panjang. Kuadrat mewakili kuadrat dari suatu koefisien, nilai serta variabel.

5 Contoh Soal dari Persamaan Kuadrat Dengan Beragam Metode Penyelesaian

1. Berapa nilai setiap akar dari persamaan $x^2 + 8x + 12 = 0 $ dengan menggunakan rumus ABC

Penyelesaian:
$\begin{aligned}
x^2 + 8x + 12 = 0\\
a = 1\\
b = 8\\
c = 12\\
x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x_{1,2}=\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4\times 1\times 12}}{2\times 1}\\
x_{1,2}=\frac{-8\pm \sqrt{64-48}}{2}\\
x_{1,2}=\frac{-8\pm \sqrt{16}}{2}\\
x_{1,2}=\frac{-8\pm {4}}{2}\\
x_{1,2}=\frac {2(-4\pm {2})}{2}\\
x_{1,2}=-4\pm {2}\\
x_{1}=-4+2~\rightarrow x_{1}=-2\\
x_{2}=-4-2~\rightarrow x_{2}=-6 \\
\text {Maka,}~ x_1 = -4 + 2 = -2 ~dan~ x_2 = -4 – 2 = -6
\end{aligned}$
Hingga dapat disimpulkan bahwa akar dari rumus persamaan kuadrat $x_1 = -2$ atau $x_2 = -6$ serta bisa dituliskan menjadi bentuk HP = {-6,-2}.

2. Memakai rumus kuadrat, mengetahui himpunan penyelesaian untuk persamaan $x^2 + 2x = 0$

a =1, b =2, c =0
$\begin{aligned}
x = \frac{-2+\sqrt{2^{2}-4\times 0}}{2} \\
x = \frac{-2+\sqrt{2^{2}}}{2} \\
x=\frac{-2+2}{2} \\
x=\frac{0}{2} \\
x=0 \\
x=\frac{-2-\sqrt{2^{2}}}{2} \\
x=\frac{-2-2}{2} \\
x=\frac{-4}{2} \\
x=-2
\end{aligned}$
Sehingga dapat disimpulkan bahwa himpunan yang ditemukan yaitu HP = {-2,0}

3. Hitung solusi akar persamaan $4x²+4x+1=0$ dengan melengkapi kuadrat sempurna!
Pembahasan:
$\begin{aligned}
4x^{2}+4x+1=0 \\
4x^{2}+4x+1-1=0-1 \\
4x^{2}+4x=-1 \\
\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{-1}{4} \\
x^{2}+x=-\frac{1}{4} \\
x^{2}+x+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2} = -\frac{1}{4}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2} \\
x^{2}+x+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \\
x^{2}+x+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=0 \\
x+\frac{1}{2}=0 \\
x=-\frac{1}{2}
\end{aligned}$

Dan didapatkan akar persamaan kuadratnya dari $4x^2 + 4x + 1 = 0$ yaitu $x_{(1,2)} = -\frac{1}{2}$. Solusi ini juga disebut solusi tunggal karena titik potong $x_1$ dan $x_2$ mempunyai nilai sama.

4. Tentukan nilai dari akar dari $4x^2 + 14x + 10 = 0$  menggunakan metode pemfaktoran!

Penyelesaian:

$4x^2 + 14x + 10 = 0$

$(2x + 5)(2x + 2) = 0$

$2x + 5 = 0 ~atau ~2x + 2 = 0$, maka :

$2x = -5 \mapsto x = -\frac{5}{2}$

$2x = -2 \mapsto x = -1$

Sehingga untuk himpunan penyelesaiannya adalah meliputi: $\left \{ -\frac{5}{2}, -1 \right \}$

5. Tentukan nilai akar dari x² + 7x + 10 = 0 dengan metode pemfaktoran!

Penyelesaian:

Cara mudah untuk menentukan rumus persamaan kuadrat menggunakan metode pemfaktoran dari $x^2 + 7x + 10 = 0$ dimana dapat diperoleh nilai berupa $a = 1,~ b = 7~ dan ~c = 10$.

Sehingga, kedua nilainya dapat dicari melalui tahapan berikut setelah memenuhi syarat:

$m + n = b \Rightarrow b= 7$

$m × n = c \Rightarrow c= 10$

Syarat tersebut perlu dipenuhi agar bisa menentukan nilai $m$ dan $n$. Untuk itu maka terbentuk nilai 5 dan 2 yang telah memenuhi syarat. Sehingga hasilnya akan menjadi menjadi seperti berikut ini :

$x^2 + 7x + 10 = 0$

$(x + 5)(x + 2) = 0$

$x + 5 = 0$ atau $x + 2 = 0$

$x = -5 $~;~$x = -2$

Dengan demikian akhirnya didapatkan himpunan penyelesaian adalah {-5, -2}

Demikian ulasan lengkap mengenai rumus persamaan kuadrat, pemfaktoran, kuadrat, ABC & contoh soal yang  perlu dipahami.