Rumus Gradien – Dalam ilmu matematika, gradien merupakan garis lurus yang mempunyai kemiringan berdasarkan pada persamaan. Hal tersebut berarti, gradien menunjukkan tingkat atau nilai kemiringan pada sebuah garis lurus.
Gradien adalah bagian dari materi persamaan garis lurus dan persamaan garis tersebut dapat ditulis dengan y = mx + c, dengan “m” menjadi lambang gradien dari persamaan tersebut.
Pada koordinat kartesius, gradien berguna untuk menentukan garis pada koordinat tersebut. Gradien suatu garis dapat miring ke kanan, ke kiri, landai, maupun curam. Arah serta kemiringan dari garis ini bergantung dari nilai komponen Y dan komponen X.
Dalam buku Matematika yang diterbitkan oleh Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementerian Pendidikan Nasional, langkah-langkah yang harus dilakukan untuk menentukan nilai gradien suatu gari, yakni:
Komponen y memiliki tanda + jika bergerak ke atas
Komponen y memiliki tanda – jika bergerak ke bawah
Komponen x memiliki tanda + jika bergerak ke kanan
Komponen x memiliki tanda – jika bergerak ke kiri
📜Rumus Mencari Gradien
Apabila Grameds telah memahami rumus gradien garis dengan persamaan garis lurus seperti poin sebelumnya, berikut ini dua macam rumus yang dapat digunakan untuk menentukan gradien:
📐1. Rumus Gradien dengan Persamaan Linier
Ada dua macam bentuk persamaan garis lurus atau linear. Cara yang digunakan untuk menentukan gradiennya juga berbeda, bergantung pada persamaan garisnya.
Persamaan garis $\boxed {y = mx + c}$
Persamaan garis ini gradiennya cenderung lebih mudah ditentukan karena “m” adalah koefisien dari variabel x. Misalnya:
– Garis y = 2x + 3, gradien garisnya adalah 2
– Garis y = -3x + 2, gradien garisnya adalah -3
Persamaan garis ini gradiennya cenderung lebih mudah ditentukan karena “m” adalah koefisien dari variabel x. Misalnya:
– Garis y = 2x + 3, gradien garisnya adalah 2
– Garis y = -3x + 2, gradien garisnya adalah -3
📐Persamaan garis ax + by + c = 0
Apabila persamaan garisnya ax + by + c = 0, maka langkah pertama ialah dengan mengubah persamaan garis tersebut menjadi y = mx + c.
Kita juga harus memperhatikan tanda +/- dari koefisien pada tiap=tiap variabel karena tanda ini akan berubah saat ruas persamaan berpindah.
Apabila persamaan garisnya ax + by + c = 0, maka langkah pertama ialah dengan mengubah persamaan garis tersebut menjadi y = mx + c.
Kita juga harus memperhatikan tanda +/- dari koefisien pada tiap=tiap variabel karena tanda ini akan berubah saat ruas persamaan berpindah.
📐2. Rumus Gradien dengan Dua Titik
Diketahui terdapat dua titik yang melalui suatu garis, misal $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ maka gradiennya dapat ditentukan menggunakan rumus $m = \dfrac{∆y}{ ∆x} =\dfrac {y_2 – y_1}{ x2 – x1}$.
Misalnya ada dua titik pada suatu garis, yakni titik (-4,2) dan (3,5). Berapa gradien dari garis tersebut?
Pembahasan:
($x_1,y_1$) = (-4,2)
($x_2,y_2$) = (3,5)
Masukan angka ke dalam rumus $m=\frac{∆y}{∆x} \Leftrightarrow m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$m =\frac{ 5-2}{ 3-(-4)} =\frac {3}{7}$
Jadi, gradien dari garis tersebut ialah $\frac{3}{7}$
📐Sifat Gradien dari Dua Garis Lurus
Kedudukan suatu garis dapat sejajar dan tegak lurus. Kedua garis tersebut bisa menjadikan nilai gradien berhubungan. Sifat dua garis lurus bisa membantu Grameds untuk menentukan nilai gradien dari kedua garis.Dua garis sejajar: Garis A dan B saling sejajar sehingga nilai gradien kedua garis tersebut mempunyai nilai yang sama serta bisa dinyatakan dengan $m_A = m_B$.
Dua garis tegak lurus: Apabila terdapat dua garis yang saling tegak lurus, kedua gradiennya dikalikan dan hasilnya adalah -1 atau $m_A \times m_B = -1$.
📐Contoh Soal Gradien
👉Contoh Soal 1
1. Perhatikan gambar berikut ini!
Tentukan:Gradien garis melalui titik B dan titik A?
Persamaan garis melalui titik B dan titik A?
Jawaban.
Titik A (8,10)
Titik B (3, 2)
1.Gradien garis
m = $\frac{(y₂ – y₁)}{(x₂ – x₁)}$
m = $\frac{(10 – 2)}{(8 – 3)}$
m = $\frac{8}{5}$
1. Perhatikan gambar berikut ini!
Persamaan garis melalui titik B dan titik A?
Jawaban.
Titik A (8,10)
Titik B (3, 2)
1.Gradien garis
m = $\frac{(y₂ – y₁)}{(x₂ – x₁)}$
m = $\frac{(10 – 2)}{(8 – 3)}$
m = $\frac{8}{5}$
2.Persamaan garis
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 2 = $\frac{8}{5}$(x – 3)
y – 2 = $\frac{8}{5}$ x – $\frac{24}{3}$
15y = 24x – 110
atau
15y – 24x = -110
👉Contoh Soal 2
2. Tentukan gradien garis pada persamaan di bawah ini: y = 7x + 1
Contoh soal gradien garis di nomor a, b dan c tersebut bisa diselesaikan menggunakan rumus y = mx +c (m = gradien). Sehingga:y = 7x + 1, dengan nilai m = 7
y = -5x + 7, dengan nilai m = -5
y – 8x = 7
y = 8x + 7, dengan nilai m = 8
Kemudian, d dan e bisa diselesaikan menggunakan rumus m = -a/b jika persamaannya ax + by = c dengan hasil 6x – 4y = 16, dengan nilai m = $\frac{-6}{-4}$= $\frac{3}{2}$
8x + 5y – 11 = 0, dengan nilai m = $-\frac{8}{5}$
Contoh Soal 3
👉3. Tentukan persamaan garis yang melewati titik (4,1) dan sejajar dengan garis y = 5x + 6?
Jawaban.
Soal gradien garis ini bisa diselesaikan menggunakan rumus berikut:
y = 5x + 6, m = 5
Sehingga,
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 1 = 5(x – 4)
y – 1 = 5x – 20
y = 5x – 19
y – 5x = -19
Sekian, penjelasan mengenai rumus gradien serta cara untuk menentukan gradien pada garis lurus. Perhitungan gradien ini bisa digunakan salah satunya untuk mencari tingkat kemiringan ketika membuat tangga di rumah dan pembuatan jalan di area pegunungan yang tidak rata.
2. Tentukan gradien garis pada persamaan di bawah ini: y = 7x + 1
- y = -5x + 7
- y – 8x = 7
- 6x – 4y = 16
- 8x + 5y – 11 = 0
Contoh soal gradien garis di nomor a, b dan c tersebut bisa diselesaikan menggunakan rumus y = mx +c (m = gradien). Sehingga:y = 7x + 1, dengan nilai m = 7
y = -5x + 7, dengan nilai m = -5
y – 8x = 7
y = 8x + 7, dengan nilai m = 8
Kemudian, d dan e bisa diselesaikan menggunakan rumus m = -a/b jika persamaannya ax + by = c dengan hasil 6x – 4y = 16, dengan nilai m = $\frac{-6}{-4}$= $\frac{3}{2}$
8x + 5y – 11 = 0, dengan nilai m = $-\frac{8}{5}$
Contoh Soal 3
👉3. Tentukan persamaan garis yang melewati titik (4,1) dan sejajar dengan garis y = 5x + 6?
Jawaban.
Soal gradien garis ini bisa diselesaikan menggunakan rumus berikut:
y = 5x + 6, m = 5
Sehingga,
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 1 = 5(x – 4)
y – 1 = 5x – 20
y = 5x – 19
y – 5x = -19
Sekian, penjelasan mengenai rumus gradien serta cara untuk menentukan gradien pada garis lurus. Perhitungan gradien ini bisa digunakan salah satunya untuk mencari tingkat kemiringan ketika membuat tangga di rumah dan pembuatan jalan di area pegunungan yang tidak rata.
0 Komentar