Rangkuman: Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah proses mengubah posisi, ukuran, orientasi, atau bentuk suatu objek dalam ruang geometris. Transformasi ini dapat diterapkan pada berbagai objek geometris, seperti titik, garis, dan bangun ruang. Terdapat beberapa jenis transformasi geometri yang umum digunakan, antara lain:

1. Translasi (Pergeseran): Merupakan perpindahan suatu objek dari satu lokasi ke lokasi lain tanpa mengubah bentuk, ukuran, atau orientasi objek tersebut.
2. Rotasi: Merupakan putaran suatu objek terhadap suatu titik atau sumbu tertentu. Rotasi dapat dilakukan dalam berbagai derajat, dan objek akan tetap memiliki bentuk yang sama.
3. Dilatasi (Pemuaian atau Penyusutan): Merupakan pengubahan ukuran objek dengan memperbesar atau memperkecil proporsional terhadap suatu faktor skala tertentu.
4. Refleksi (Pencerminan): Merupakan penukaran posisi suatu objek terhadap suatu garis atau bidang. Refleksi menghasilkan objek yang merupakan bayangan simetris dari objek asli.
5. Shearing (Penggeseran Linear): Merupakan transformasi yang memindahkan titik pada suatu objek sepanjang sumbu tertentu dengan mengubah posisinya sebanding dengan koordinat titik tersebut.

Proyeksi: Merupakan transformasi yang digunakan dalam grafika komputer untuk mengubah perspektif suatu objek, seperti proyeksi ortografis atau proyeksi perspektif.

Transformasi geometri banyak digunakan dalam berbagai bidang, termasuk matematika, fisika, grafika komputer, dan rekayasa. Mereka membantu dalam memodelkan dan memahami perubahan posisi atau bentuk objek dalam konteks matematika dan aplikasi praktisnya.

Berikut : Rangkuman Jenis-jenis transformasi adalah sebagai berikut.

📌1. Translasi (Pergeseran)

$$
P(x, y) \stackrel{T=\left(\begin{array}{l}
a \\
b
\end{array}\right)}{\longrightarrow} P^{\prime}(x+a, y+b)
$$
Contoh:
Tentukan bayangan titik $A(-7,2)$ jika ditranslasikan oleh $T=\left(\begin{array}{c}3 \\ -5\end{array}\right)$.
$$
A(-7,2) \stackrel{T=\left(\begin{array}{c}
3 \\
-5
\end{array}\right)}{\longrightarrow} A^{\prime}(-7+3,2+(-5))=A^{\prime}(-4,-3)
$$

📌2. Refleksi (Pencerminan)
a. Pencerminan terhadap sumbu $X$
$$
\boxed{P(x, y) \stackrel{\text { sumbu } x}{\longrightarrow} P^{\prime}(x,-y)}
$$
Contoh:
Tentukan bayangan titik $A(-4,5)$ yang dicerminkan terhadap sumbu $X$.
$$
A(-4,5) \stackrel{\text { sumbu } X}{\longrightarrow} A^{\prime}(-4,-5)
$$

b. Pencerminan terhadap sumbu $Y$
$$
P(x, y) \stackrel{\text { sumbu } Y}{\longrightarrow} P^{\prime}(-x, y)
$$
Contoh:
Tentukan bayangan titik $B(-3,7)$ yang dicerminkan terhadap sumbu $Y$. $A(-3,7) \stackrel{\text { sumbu } r}{\longrightarrow} A^{\prime}(3,7)$

c. Pencerminan terhadap garis $y=x$
$$
P(x, y) \stackrel{\text { garis } y=x}{\longrightarrow} P^{\prime}(y, x)
$$
Contoh:
Tentukan bayangan titik $C(4,-5)$ yang dicerminkan terhadap garis $y=x$. $C(4,-5) \stackrel{\text { garis } y=x}{\longrightarrow} C(-5,4)$

d. Pencerminan terhadap garis $y=-x$
$$
P(x, y) \stackrel{\text { garis } y=-x}{\longrightarrow} P(-y,-x)
$$

Contoh:
Tentukan bayangan titik $D(-6,8)$ yang dicerminkan terhadap $y=-x$.
$$
D(-6,8) \stackrel{\text { gars } y=-x}{\longrightarrow} D^{\prime}(-8,6)
$$

e. Pencerminan terhadap garis $x=h$
$$
P(x, y) \stackrel{\text { garis } x=n}{\longrightarrow} P^{\prime}(2 h-x, y)
$$

Contoh:
Tentukan bayangan titik $E(7,-5)$ yang dicerminkan terhadap garis $x=3$.
$$
\begin{aligned}
E(7,-5) \stackrel{\text { geris } x-3}{\longrightarrow} & E^{\prime}(2 \times 3-7,-5) \\
& E^{\prime}(-1,-5)
\end{aligned}
$$

f. Pencerminan terhadap garis $y=k$
$$
P(x, y) \stackrel{\text { garis } y-k}{\longrightarrow} P(x, 2 k-y)
$$

Contoh:
Tentukan bayangan titik $F(-6,-7)$ yang dicerminkan terhadap garis $y=-4$.
$$
\begin{aligned}
F(-6,-7) \stackrel{\text { garis } y=-4}{\longrightarrow} & F^{\prime}(-6,2 \times(-4)-(-7)) \\
& F^{\prime}(-6,-1)
\end{aligned}
$$

g. Pencerminan terhadap titik $(0,0)$
$$
P(x, y) \stackrel{\text { titik }[0,0]}{\longrightarrow} P^{\prime}(-x,-y)
$$

Contoh:
Tentukan bayangan titik $G(-8,9)$ yang dicerminkan terhadap titik $(0,0)$.
$$
G(-8,9) \stackrel{\text { titik }[0,0)}{\longrightarrow} G^{\prime}(8,-9)
$$
h. Pencerminan terhadap titik $(a, b)$
$$
P(x, y) \stackrel{\text { titik }(a, b)}{\longrightarrow} P^{\prime}(2 a-x, 2 b-y)
$$

Contoh:
Tentukan bayangan titik $H(6,-4)$ yang dicerminkan terhadap titik $(-1,3)$.
$$
\begin{aligned}
H(6,-4) \stackrel{\text { titik }(-1,3)}{\longrightarrow} & H^{\prime}(2 \times(-1)-6,2 \times 3-(-4)) \\
& H(-8,10)
\end{aligned}
$$

📌3. Rotasi (Perputaran)
Rumus rotasi dengan pusat rotasi titik $O(0,0)$.
a. Sudut putar $90^{\circ}$ atau $-270^{\circ}$
$$
P(x, y) \stackrel{f[0,~90^{\circ}=R[0,~-270^{\circ}}{\longrightarrow} P^{\prime}(-y, x)
$$
Contoh:
Tentukan bayangan titik $A(-5,3)$ yang dirotasikan dengan pusat titik $O(0,0)$ dan sudut putar $90^{\circ}$. $A(-5,3) \stackrel{R[0,90]}{\longrightarrow} A^{\prime}(-3,-5)$

b. Sudut putar $-90^{\circ}$ atau $270^{\circ}$
$$
P(x, y) \stackrel{R\left[0,-90^{\circ}\right]=R\left[0,270^{\circ}\right]}{\longrightarrow} P^{\prime}(y,-x)
$$
Contoh:
Tentukan bayangan titik $B(7,-9)$ yang dirotasikan dengan pusat titik $O(0,0)$ dan sudut putar $270^{\circ}$.
$$
B(7,-9) \stackrel{R\left[0,-90^{\circ}\right]=R\left[0,270^{\circ}\right]}{\longrightarrow} B^{\prime}(-9,-7)
$$

c. Sudut putar $180^{\circ}$ atau $-180^{\circ}$
$$
P(x, y) \stackrel{R\left[0,180^{\circ}\right]=R\left[0,-180^{\circ}\right]}{\longrightarrow} P^{\prime}(-x,-y)
$$

Contoh:
Tentukan bayangan titik $C(-4,8)$ yang dirotasikan dengan pusat titik $O(0,0)$ dan sudut putar $180^{\circ}$.
$$
C(-4,8) \stackrel{R\left[0,180^{\circ}\right]}{\longrightarrow} C^{\prime}(4,-8)
$$

📌4. Dilatasi (Perskalaan/Perkalian)
Rumus dilatasi dengan pusat dilatasi titik $O(0,0)$ dan faktor skala $k$
$$
\boxed{P(x, y) \stackrel{D[0, k]}{\longrightarrow} P^{\prime}(k x, k y)}
$$

Contoh:
Tentukan bayangan titik $A(-2,5)$ yang didilatasikan dengan pusat $O(0,0)$ dan faktor skala 3 .
$$
\begin{aligned}
A(-2,5) \stackrel{D[0,3]}{\longrightarrow} & A^{\prime}(3 \times(-2), 3 \times 5) \\
& A^{\prime}(-6,15)
\end{aligned}
$$