BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

BARISAN DAN DERET

Barisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan pola tertentu.
Deret adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan.
Simbol yang digunakan pada barisan dan deret:
- a $\quad=U_1=$ suku pertama
- b = beda/seleisih
- $\mathbf{r}=$ rasio/pembanding
- $\mathbf{U}_{\mathbf{n}}=$ suku ke-n
- $\mathbf{S}_{\mathrm{n}}=$ jumlah $\mathrm{n}$ suku pertama
- $\mathbf{U}_{\mathbf{t}}$ = suku tengah

Suku ke -n dari rumus jumlah suku-suku untuk semua barisan (aritmetika, geometri, dll) adalah $U_n=S_n-S_{n-1}$ dengan $S_n=$ jumlah n suku pertama.

B. BARISAN DAN DERET RRITMETIKA

Barisan aritmetika adalah barisan yang memiliki selisih/beda B. yang nilainya tetap pada setiap dua suku yang berurutan.

Pola suku-suku barisan aritmetika: $a,(a+b),(a+2 b), \ldots$, Un.

- Beda
$
\begin{aligned}
& \rightarrow \mathrm{b}=\mathrm{U}_{\mathrm{n}}-\mathrm{U}_{\mathrm{n}-1} \\
& \rightarrow \mathrm{U}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{b}
\end{aligned}
$

- Suku ke-n
- Jumlah $n$ suku pertama $\rightarrow S_n=\frac{n}{2}\left(a+U_n\right)$ atau
- Suku tengah
$
\rightarrow 2 \cdot \mathrm{U}_{\mathrm{t}}=\left(\mathrm{a}+\mathrm{U}_{\mathrm{n}}\right)
$
$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{n} . \mathrm{U}_{\mathrm{t}}$, dengan $\mathrm{n} \in$ bilangan ganjil

CONTOH SOAL dan PEMBAHASAN- 1

👉1. Dari suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 22 dan suku ke-12 adalah 57. Suku ke-15 barisan tersebut ini adalah ....

A. 62
B. 68
C. 72
D. 74
E. 76

Jawaban: C
$\Leftrightarrow U_n=a+(n-1) b$
- $\mathrm{U}_{\mathrm{s}}=22$
$
\rightarrow a+4 b=22
$
- $U_{12}=57$
$
\begin{aligned}
\rightarrow a+11 b & =57 \\
-7 b & =-35 \\
b & =5
\end{aligned}
$
substitusikan $b=5$ ke pers ( 1$) \rightarrow a=2$
$\Leftrightarrow$ Jadi, $U_{15}=a+14 b=2+14(5)=72$

👉2. Diketahui barisan aritmetika dengan $U_n$ adalah sukur ke-n. Jika $U_2+$ $U_{15}+U_{40}=165$, maka $U_{19}=\ldots$.
A. 10
B. 19
C. 28,5
D. 55
E. 82,5

Jawaban: D

$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow U_n=a+(n-1) b \\
& U_2+U_{15}+U_{\infty 5}=165 \\
&(a+b)+(a+14 b)+(a+39 b)=165 \\
& \quad \text { dibagi }(3) \rightarrow \quad \underbrace{a+18 b}_{U_n}=55
\end{aligned}
$
- $\quad$ dibagi $(3) \rightarrow$

👉3. Dalam suatu deret aritmetika, jika $U_3+U_7=56$ dan $U_6+U_{10}=86$, maka suku ke-2 deret tersebut adalah....
A. 8
B. 10
C. 12
D. 13
E. 15
Jawaban: D

$
\Leftrightarrow \quad \begin{aligned}
U_3+U_7 & =56 \\
(a+2 b)+(a+6 b) & =56 \\
2 a+8 b & =56 \\
U_6+U_{10} & =86 \\
(a+5 b)+(a+9 b) & =86 \\
2 a+14 b & =86
\end{aligned}
$
$\Leftrightarrow$ Jika persamaan (1) - (2) akan diperoleh:
$
-6 b=-30 \rightarrow b=5
$
substitusikan $b=5$ ke persamaan (1) diperoleh:
$
\begin{array}{r}
2 a+8(5)=56 \\
2 a=16 \rightarrow a=8 \\
\Leftrightarrow U_2=a+b=8+5=13
\end{array}
$

👉4. Jika $f(x)=f(x-1)+\frac{1}{4}$ dan $f(1)=4$, maka $f(201)=\ldots$
A. 50
B. 51
C. 52
D. 53
E. 54
Jawaban: E
$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow f(x)=f(x-1)+\frac{1}{4} \\
& f(1)=4 \rightarrow f(2)=f(1)+\frac{1}{4}=4 \frac{1}{4} \\
& f(3)=f(2)+\frac{1}{4}=4 \frac{2}{4} \\
&
\end{aligned}
$
$\Leftrightarrow f(1), f(2), f(3), \ldots \rightarrow$ barisan aritmetika
dengan $\mathrm{a}=4$ dan selisih $=\mathrm{b}=\frac{1}{4}$
$\Leftrightarrow f(201)=$ suku ke 201

$\begin{aligned}
& =\mathrm{a}+200 \mathrm{~b} \\
& =4+200\left(\frac{1}{4}\right) \\
& =4+50=54
\end{aligned}$

👉5. Jika $-999-997,-995, \ldots$ adalah barisan aritmetika, maka suku bernilai positif yang muncul pertama kali adalah suku ke ....
A. 500
B. 501

C. 502

D. 503
E. 504
Jawaban: B

$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow-999-997,-995, \ldots . \rightarrow \text { barisan aritmetika } \\
& \text { - } \mathrm{a}=-999 \text { dan } \mathrm{b}=2 \\
& \Leftrightarrow U_n>0 \rightarrow a+(n+1) b>0 \\
& (-999)+(n+1)(2)>0 \\
& 2 n>1001 \\
& \mathrm{n}=501 \\
\end{aligned}
$

👉6. Diketahui deret aritmetika dengan suku keempat adalah 41 dan suku kesembilan adalah 26. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah....
A. 350
B. 365
C. 370
D. 395
E. 410
Jawaban: B

$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow & U_n=a+(n+1) b \\
& \cdot U_4=41 \rightarrow a+3 b=41 \\ .... (1)
& \cdot U_9=26 \rightarrow a+8 b=26    ....(2)
\end{aligned}
$

$\Leftrightarrow$ Jika pers (1) - (2) diperoleh:
$$
-5 b=15 \rightarrow b=-3
$$
substitusikan $b=-3$ ke pers (1)
$$
\begin{aligned}
& a+3(-3)=41 \rightarrow a=50 \\
\Leftrightarrow & S_n=\frac{n}{2}\{2 a+(n-1) b\} \\
& S_{10}=\frac{10}{2}\{2(50)+9(-3)\}=365
\end{aligned}
$$

👉7. Jika jumlah 101 bilangan kelipatan tiga yang berurutan adalah 18180 , maka jumlah tiga bilangan terkecil yang pertama dari bilanganbilangan tersebut adalah....
A. 99
B. 90

C. 81

D. 72
E. 63
Jawaban: A
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow & S_n=\frac{n}{2}\{2 a+(n-1) \cdot b\} \\
\Leftrightarrow & S_{101}=\frac{101}{2}(2 a+100(3)) \\
& 18180=101 a+15150 \rightarrow a=30 \\
& U_2=30+3=33 \\
& U_3=33+3=36 \\
\Leftrightarrow & U_1+U_2+U_3=30+33+36=96
\end{aligned}
$$

👉8. Jika diketahui barisan $1,(1+2),(1+2+3),(1+2+3+4),(1+2+3+4+5)$, ... maka suku ke-100 dari barisan di atas adalah ....
A. 5550
B. 5500

C. 5055

D. 5050
E. 5005
Jawaban: D
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \text { Suku ke-100 } & =\underbrace{(1+2+3+\ldots+100)}_{\frac{n}{2}\left(a+u_n\right)} \\
& =\frac{100}{2}(1+100)=5050
\end{aligned}
$$