# Pelajaran 3

## Persamaan Linear Satu Variabel

### Langkah-Langkah Umum untuk Menyelesaikan Persamaan

(i) **Hilangkan penyebut**: Ketika setiap suku dari persamaan yang diberikan dikalikan dengan KPK dari penyebut, semua penyebut suku dapat dihilangkan. Setelah menghilangkan penyebut, pembilang dari setiap suku dianggap utuh sebagai ekspresi aljabar, dan harus ditempatkan dalam tanda kurung.

(ii) **Hilangkan tanda kurung**: Kita dapat menghilangkan tanda kurung dengan menggunakan hukum distributif dan aturan untuk menghilangkan tanda kurung. Jangan melewatkan suku apa pun di dalam kurung, dan ubah tanda setiap suku di dalam kurung jika ada tanda “—” sebelum kurung.

(iii) **Pindahkan suku**: Pindahkan semua suku dengan variabel yang tidak diketahui ke satu sisi persamaan dan suku-suku lainnya ke sisi lain persamaan menurut Prinsip memindahkan suku: ketika memindahkan suku dari satu sisi ke sisi lain persamaan, tandanya harus diubah. Semua suku yang tidak dipindahkan mempertahankan tanda mereka tidak berubah.

(iv) **Gabungkan suku sejenis**: Setelah memindahkan suku, suku-suku sejenis harus digabungkan, sehingga persamaan yang diberikan berbentuk \[ ax = b \] di mana \( a, b \) adalah konstanta tetapi terkadang tidak diketahui. Konstanta yang tidak diketahui dalam persamaan disebut parameter.

(v) **Normalisasi koefisien \( x \):** Ketika \( a \neq 0 \), kita memiliki solusi unik \( x = \frac{b}{a} \). Jika \( a = 0 \) tetapi \( b \neq 0 \), persamaan tidak memiliki solusi. Jika \( a = b = 0 \), setiap nilai real adalah solusi untuk \( x \). Khususnya, ketika \( a \) mengandung parameter, \( a \) tidak dapat dipindahkan ke kanan sebagai penyebut kecuali tidak nol, dan dengan demikian perlu dibahas nilai \( a \) kasus per kasus.

**Keterangan:** Tidak perlu melakukan langkah-langkah di atas sesuai dengan urutan yang tercantum secara ketat, urutan yang berbeda diperlukan untuk pertanyaan yang berbeda.

13

===== Halaman 2 =====

14 Pelajaran 3 Persamaan Linear Satu Variabel

Contoh

Contoh 1. Selesaikan persamaan \(\frac{1}{10} \left\{ \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] + 8 \right\} = 1\).

Penyelesaian Dengan menghilangkan penyebut satu per satu, maka didapat
\[\frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] = 2,\]
\[\frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) = 2\]
\[\frac{x+2}{3} = 2,\]
∴ \(x+2=6\), yaitu \(x=4\).

Contoh 2. Selesaikan persamaan \(\frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2}x - 3 \right) - 2 \right] - 1 \right\} - 2 = 1\).

Penyelesaian Di sini lebih mudah untuk memindahkan suku dan kemudian menghilangkan penyebut untuk menyederhanakan persamaan. Dari persamaan yang diberikan kita punya
\[\frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2}x - 3 \right) - 2 \right] - 1 \right\} - 2 = 1,\]
\[\frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2}x - 3 \right) - 2 \right] - 1 = 15,\]
\[\frac{1}{3} \left( \frac{1}{2}x - 3 \right) - 2 = 64\]
\[\frac{1}{2}x - 3 = 198\]
∴ \(x = 402\).

Contoh 3. Selesaikan persamaan \(\frac{3}{5} \left[ \frac{5}{3} \left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + 5 \right] - \frac{1}{2} = x\).

Penyelesaian Mengingat bahwa \(\frac{5}{3}\) dan \(\frac{3}{5}\) saling berkebalikan, lebih baik untuk menghilangkan tanda kurung terlebih dahulu. Kita punya
\[\left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + 3 - \frac{1}{2} = x,\]
\[\frac{1}{4}x + 1 + 3 - \frac{1}{2} = x,\]
\[\frac{3}{4}x = \frac{7}{2}, \quad : x = \frac{14}{3}.\]


Catatan Pelajaran tentang Olimpiade Matematika    15

\[ x - \frac{1 + 3x}{5} = \frac{x}{2} - \frac{2x - \frac{10 - 6x}{7}}{2}. \]

Contoh 4. Selesaikan persamaan \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{5x - (1 + 3x)}{15} = \frac{15 - 2x + 1}{15} = \frac{16 - 2x}{15}, \) lebih baik untuk menyederhanakan setiap sisi secara terpisah terlebih dahulu. Dari

\[ 1 - \frac{x - \frac{1 + 3x}{5}}{3} = 1 - \frac{5x - (1 + 3x)}{15} = \frac{15 - 2x + 1}{15} = \frac{16 - 2x}{15}, \]

\[ \frac{x}{2} - \frac{2x - \frac{10 - 6x}{7}}{2} = \frac{x}{2} - \frac{14x - (10 - 6x)}{14} = \frac{10 - 13x}{14}, \]

maka didapat

\[ \frac{16 - 2x}{15} = \frac{10 - 13x}{14}, \]

\[ 14(16 - 2x) = 15(10 - 13x), \]

\[ 224 - 28x = 150 - 195x, \text{ yaitu } 167x = -74, \]

\[ \therefore x = -\frac{74}{167}. \]

Contoh 5. Jika \( a, b, c \) adalah konstanta positif, selesaikan persamaan

\[ \frac{x - a - b}{c} + \frac{x - b - c}{a} + \frac{x - c - a}{b} = 3. \]

Penyelesaian Dengan memindahkan 3 dalam persamaan yang diberikan ke sisi kiri, maka didapat

\[ \left( \frac{x - a - b}{c} - 1 \right) + \left( \frac{x - b - c}{a} - 1 \right) + \left( \frac{x - c - a}{b} - 1 \right) = 0, \]

\[ \frac{x - a - b - c}{c} + \frac{x - a - b - c}{a} + \frac{x - a - b - c}{b} = 0, \]

\[ (x - a - b - c) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = 0, \]

\[ \therefore \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 0, \therefore x - a - b - c = 0, \text{ yaitu } x = a + b + c. \]

Contoh 6. Selesaikan persamaan \( ax + b - \frac{5x + 2ab}{5} = \frac{1}{4}. \)

Penyelesaian Menghilangkan penyebut dari persamaan yang diberikan menghasilkan
\[20(ax + b) - 4(5x + 2ab) = 5,\]
\[20ax + 20b - 20x - 8ab = 5,\]
\[20(a - 1)x = 5 - 20b + 8ab.\]

(i) Ketika \( a \neq 1, x = \frac{5 - 20b + 8ab}{20(a - 1)} \).

(ii) Ketika \( a = 1 \) dan \( b = \frac{5}{12} \), persamaan menjadi \( 0 \cdot x = 0 \), jadi setiap bilangan real adalah solusi untuk \( x \).

(iii) Ketika \( a = 1 \) dan \( b \neq \frac{5}{12} \), persamaan menjadi \( 0 \cdot x = 5 - 12b \), jadi tidak ada solusi untuk \( x \).

Contoh 7. Diketahui bahwa persamaan \( a(2x + 3) + 3bx = 12x + 5 \) memiliki banyak solusi tak terhingga untuk \( x \). Temukan nilai \( a \) dan \( b \).

Penyelesaian Ubah persamaan yang diberikan ke bentuk \( (2a + 3b - 12)x = 5 - 3a \), kita punya
\[2a + 3b - 12 = 0 \quad \text{dan} \quad 5 - 3a = 0.\]
Oleh karena itu \( a = \frac{5}{3}, \quad b = \frac{12 - 2a}{3} = \frac{26}{9} \).

Contoh 8. Temukan nilai integral \( k \) sehingga persamaan \( 11x - 2 = kx + 15 \) memiliki solusi bilangan bulat positif untuk \( x \), dan temukan solusi tersebut.

Penyelesaian Dari persamaan yang diberikan kita punya
\[(11 - k)x = 17.\]

Karena memiliki setidaknya satu solusi positif untuk \( x \), jadi \( k \neq 11 \), dan \( x = \frac{17}{11 - k} \). Karena pecahan tersebut adalah bilangan bulat, \( (11 - k) | 17 \), yaitu \( k = -6 \) atau 10, dan sesuai dengan itu, \( x = 1 \) atau \( x = 17 \).

Contoh 9. Diketahui bahwa persamaan \( 2a(x + 6) = 4x + 1 \) tidak memiliki solusi, di mana \( a \) adalah parameter, temukan nilai \( a \).

Penyelesaian Dari persamaan yang diberikan \( 2a(x + 6) = 4x + 1 \) kita punya \( (2a - 4)x = 1 - 12a \). Karena tidak memiliki solusi, ini menyiratkan
\[2a - 4 = 0 \quad \text{dan} \quad 1 - 12a \neq 0,\]
oleh karena itu \( a = 2 \).

Contoh 10. Diketahui bahwa persamaan \( ax + 4 = 3x - b \) memiliki lebih dari 1 solusi untuk \( x \). Temukan nilai \( (4a + 3b)^{2007} \).

**Penyelesaian** Kami menulis ulang persamaan yang diberikan dalam bentuk \((a-3)x = -(4+b)\). Kemudian persamaan memiliki lebih dari 1 solusi menyiratkan bahwa
\[ a-3 = 0, \quad \text{dan} \quad 4 + b = 0, \]
yaitu \( a = 3, b = -4 \). Jadi, \((4a + 3b)^{2007} = 0^{2007} = 0\).

---

### Soal-Soal Latihan (A)

1. Persamaan yang mengambil \(-3\) dan \(4\) sebagai akar-akarnya adalah
(A) \((x-3)(x+4) = 0;\)
(B) \((x-3)(x-4) = 0;\)
(C) \((x+3)(x+4) = 0;\)
(D) \((x+3)(x-4) = 0\).

2. Diketahui bahwa persamaan
\[ kx = 12 \]
hanya memiliki solusi bilangan bulat positif, di mana \(k\) adalah bilangan bulat. Temukan jumlah nilai \(k\) yang mungkin.

3. Jumlah bilangan bulat positif \(x\) yang memenuhi persamaan
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{13}{12} \]
adalah
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) tak terhingga banyaknya

4. Diketahui bahwa solusi persamaan \(3a-x = \frac{x}{2} + 3\) adalah 4. Temukan nilai \((-a)^2 - 2a\).

5. Selesaikan persamaan
\[ \frac{x-n}{m} - \frac{x-m}{n} = \frac{m}{n} \]
(di mana \(mn \neq 0\)).

6. Selesaikan persamaan \([4ax-(a+b)](a+b) = 0\), di mana \(a\) dan \(b\) adalah konstanta.

7. Diketahui bahwa \(-2\) adalah solusi dari persamaan
\[ \frac{1}{3}mx = 5x + (-2)^2, \]
temukan nilai ekspresi \( (m^2 - 11m + 17)^{2007}\).

8. Selesaikan persamaan \( m^2 x + 1 = m(x+1)\), di mana \(m\) adalah parameter.

===== Halaman 6 =====

9. Diketahui \( k \) adalah konstanta positif, dan persamaan \( k^2 x - k^2 = 2kx - 5k \) memiliki solusi positif untuk \( x \). Temukan nilai \( k \).

10. Diketahui bahwa persamaan \( a(2x - 1) = 3x - 3 \) tidak memiliki solusi, temukan nilai parameter \( a \).

### Soal-Soal Latihan (B)

1. Diketahui bahwa persamaan dalam \( x \):

\[3 \left[ x - 2 \left( x + \frac{a}{3} \right) \right] = 2x \text{ dan } \frac{3x + a}{3} - \frac{1 + 4x}{6} = 0\]

memiliki solusi yang sama. Temukan solusi bersama tersebut.

2. Jika bilangan positif \( a, b, c \) memenuhi \( abc = 1 \), selesaikan persamaan dalam \( x \)

\[\frac{2ax}{ab + a + 1} + \frac{2bx}{bc + b + 1} + \frac{2cx}{ca + c + 1} = 1.\]

3. Diketahui bahwa persamaan \( \frac{8}{3}x - m = \frac{9}{4}x + 123 \) memiliki solusi bilangan bulat positif, di mana \( m \) juga merupakan bilangan bulat positif, temukan nilai minimum yang mungkin dari \( m \).

4. Buatlah persamaan linear dengan suku konstanta \( -\frac{1}{2} \), sehingga solusinya sama dengan solusi persamaan \( 3[4x - (2x - 6)] = 11x + 8 \).

5. Jika \( a_{n+1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{a_n}} \) (\( n = 1, 2, \ldots, 2008 \)) dan \( a_1 = 1 \), temukan nilai dari

\[a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_4 + \cdots + a_{2008} a_{2009}.\]