BILANGAN DIGIT BERULANG (Rep-Digit)

Postingan ini tentang belajar bagaimana cara memecahkan masalah perhitungan bilangan digit berulang, misalnya 1111, 22222222, 555555555555, 7777777777777777 dan sebagainya. Dalam bahasa Inggris bilangan yang terdiri dari bilangan asli yang berulang disebut  rep-digit berasal dari kata Repeated Digit".

Contoh soal perhitungan yang akan kita bahas adalah :

Hitunglah :

$\underset{2017}{\underbrace{2222...22}}+\left ( \underset{2017}{\underbrace{3333...33}} \right )^{2}$

Sebelumnya, dapat diperhatikan dan pahami terlebih dahulu, pola bilangan digit berulang berikut:

 
Perhatikan Pola untuk dapat  menemukan polanya !

$10^{1}-1=9$

$10^{2}-1=99$

$10^{3}-1=999$

$10^{4}-1=9999$

$10^{5}-1=99999$

$10^{6}-1=999999$

Dari pola di atas, kita bisa melihat bahwa nilai pangkat dari 10 pada ruas kiri sama dengan banyaknya pengulangan angka 9 pada ruas kanan, atau secara umum bisa kita tulis:

$10^{n}-1=\underset{sebanyak-n}{\underbrace{999...9}} $

Lalu bagaimana jika soal yang akan kita pecahkan digit berulangnya bukan angka 9.  Kita akan mengubah bentuk di atas supaya lebih umum dan dapat digunakan untuk berbagai bilangan:

$10^{n}-1=\underset{n}{\underbrace{999...9}}$

$10^{n}-1=9$ x $\underset{n}{\underbrace{111...1}}$

$\frac{1}{9}(10^{n}-1)=\underset{n}{\underbrace{111...1}}$

 

Lalu kedua ruas dikalikan dengan $a$ , maka diperoleh:

$\frac{a}{9}(10^{n}-1)=\underset{n}{\underbrace{aaa...a}}$

Jadi, 

Untuk setiap bilangan asli a dengan $1\leq a\leq 9$ berlaku :

$\frac{a}{9}(10^{n}-1)=\underset{n}{\underbrace{aaa...a}}$

Bentuk umum di atas kita jadikan dasar untuk menyelesaikan masalah-masalah perhitungan digit berulang.

Sekarang kita sudah siap untuk menjawab soal yang tadi !

Hitunglah :

$\underset{2017}{\underbrace{2222...22}}+\left ( \underset{2017}{\underbrace{3333...33}} \right )^{2}$

Penyelesaian :

$\begin{align}\underset{2017}{\underbrace{2222...22}}+\left (\underset{2017}{\underbrace{3333...33}} \right)^{2}&=\frac{2}{9}(10^{2017}-1)+\left (  \frac{3}{9}(10^{2017}-1)\right)^{2}\\ &=\frac{2}{9}(10^{2017}-1)+\left (  \frac{1}{3}(10^{2017}-1)\right )^{2}\\ &=\frac{2}{9}(10^{2017}-1)+   \frac{1}{9}(10^{2017}-1)^{2}\\ &=\frac{2}{9}(10^{2017}-1)-\frac{2}{9}+\frac{1}{9}(10^{4034}-2(10^{2017})+1)\\ &={\color{Red} \frac{2}{9}(10^{2017})}-\frac{2}{9}+\frac{1}{9}(10^{4034}){\color{Red} -\frac{2}{9}(10^{2017})}+\frac{1}{9}\\ &=\frac{1}{9}(10^{4034})-\frac{1}{9}\\ &=\frac{1}{9}(10^{4034})-1\\ &=\underset{4034}{\underbrace{111...1}} \end{align}$

 

Untuk pemahaman konsep dasar di atas, dapat dikembangkan secara mandiri, dan untuk latihan, dapat di latih soal-soal berikut:

$\text{1. Jika}$
$\quad A=\underset{2016}{\underbrace{111...1}}$
$\quad B=\underset{2017}{\underbrace{1000....5}}$
$\quad \text{Tentukan nilai} \sqrt{AB+1}$

$\text{2. Hitunglah nilai dari}$
$\quad\sqrt{\underset{2011}{\underbrace{111...1}}\quad\underset{2012}{\underbrace{222...2}}}$