Apa itu Modulo?
Modulo biasa digunakan untuk mencari sisa dari pembagian (reminder) bilangan. Misalnya, "Berapakah sisa jika 123 dibagi 12?". Tentunya kita mengetahui bahwa 123=10×12+3, yang artinya jika 123 dibagi 12 maka akan bersisa 3. Dengan menggunakan modulo dapat kita tulis 123 mod 12=3 atau mod (123,12)=3Penulisan Modulo
Pada tulisan ini kami akan menggunakan tanda "=" agar lebih mudah dipahami, namun perlu anda ketahui secara internasional penulisan modulo adalah sebagai berikut:a ≡ b mod myang artinya m membagi habis (a−b) atau "Jika a dibagi m maka akan bersisa b"
Contoh:
30 ≡ 2 mod 4
Artinya 4 membagi habis (30−2) atau "Jika 30 dibagi 4 maka akan bersisa 2". Jika menggunakan tanda "=" dapat kita tulis 30 mod 4=2
Aturan/Kaidah Dasar Modulo
Berikut ini beberapa kaidah dasar yang perlu anda pahami untuk
dapat menyelesaikan permasalahan-permasalahan terkait modulo
Kaidah Dasar 1
1) Berapakah sisa 7 dibagi 9?
Jawab:
7 mod 9=7
Jadi, 7 dibagi 9 akan bersisa 7
2) Berapakah sisa 35 dibagi 8?
Jawab:
35 mod 8=(4.8+3) mod 8
Jadi, 35 dibagi 8 akan bersisa 3.
3) Berapakah sisa 120 dibagi 13?
Jawab:
120 mod 13=(10.13−10) mod 13
Jadi (10+17+21) jika dibagi 9 maka akan bersisa 3
2) Berapakah sisa (2011+2012+2013+⋯+2018) dibagi 2019?
Jawab:
(2011+2012+2013+⋯+2018) mod 2019
Jadi, (2011+2012+2013+⋯+2018) jika dibagi 2019 maka akan bersisa 1983
Kaidah Dasar 3 (Linearitas perkalian)
2) Berapakah digit terakhir (satuan) dari (2016×2017×2018×2019)?
Jawab:
Menentukan digit terakhir (nilai satuan) sama dengan kita mencari sisa jika dibagi 1010
(2016×2017×2018×2019) mod 10
Jadi, digit terakhir dari (2016×2017×2018×2019) adalah 4
Kaidah Dasar 4 (Perpangkatan)
Jawab:
$(7^{2019}$)mod 8
2) Berapakah sisa jika $3^{2009}$ dibagi oleh 41?
Jawab:
$3^{2009}$ mod 41
3) Berapakah sisa $ (54^{54}+55^{55})$ jika dibagi 7?
Jawab:
(54$^{54}$+55$^{55}$) mod 7
Jadi, 5$4^{44}+55^{55}$ jika dibagi 7 tidak bersisa
Apa yang akan terjadi jika bentuk a≡b mod ma≡b mod m kita olah dengan melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada kedua ruas? anda perlu memahami beberapa operasi pada kongruensi modulo
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita tambah c, maka berlaku:
(a+c)≡(b+c) mod m
Contoh:
Jika pada 16≡1 mod 5, kedua ruas kita tambah 3, maka kita peroleh: 19≡4 mod 5
Dapat kita lihat untuk pernyataan 19≡4 mod 5 bernilai benar, karena 19=3×5+4 (19 bersisa 4 jika dibagi 5)
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita kurangi c, maka berlaku:
(a−c)≡(b−c) mod m
Contoh:
Jika bentuk 23≡7 mod 8, kedua ruas kita kurangi 5, maka kita peroleh: 18≡2 mod 8
Dapat kita lihat untuk pernyataan 18≡2 mod 8 bernilai benar, karena 18=2×8+2
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita kali c, maka berlaku:
(ac)≡(bc) mod m
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita bagi c, maka berlaku:
a≡b mod$\frac{m}{FPB(m,c)}$
Demikianlah semoga bermanfaat.
Kaidah Dasar 1
a mod n=(bn+c) mod n=c mod n
Contoh:
1) Berapakah sisa 7 dibagi 9?
Jawab:
7 mod 9=7
Jadi, 7 dibagi 9 akan bersisa 7
2) Berapakah sisa 35 dibagi 8?
Jawab:
35 mod 8=(4.8+3) mod 8
=3 mod 8
=3
Jadi, 35 dibagi 8 akan bersisa 3.
3) Berapakah sisa 120 dibagi 13?
Jawab:
120 mod 13=(10.13−10) mod 13
=(−10) mod 13
=((−1).13+3) mod 13
=3 mod 13
=3
Jadi, 120 dibagi 13 bersisa 3
Semoga kaidah dasar 1 ini dapat anda pahami, karena akan kita gunakan untuk soal-soal berikutnya.
Kaidah Dasar 2 (Linearitas penjumlahan/pengurangan)
1) Berapakah sisa pembagian (10+17+21) oleh 9?
Jawab:
(10+17+21) mod 9=(10 mod 9+17 mod 9+21 mod 9) mod 9
Jadi, 120 dibagi 13 bersisa 3
Semoga kaidah dasar 1 ini dapat anda pahami, karena akan kita gunakan untuk soal-soal berikutnya.
Kaidah Dasar 2 (Linearitas penjumlahan/pengurangan)
(a+b) mod n=((a mod n)+(b mod n)) mod n
Contoh:
1) Berapakah sisa pembagian (10+17+21) oleh 9?
Jawab:
(10+17+21) mod 9=(10 mod 9+17 mod 9+21 mod 9) mod 9
=(1+8+3) mod 9
=12 mod 9
=3 mod 9
=3
Jadi (10+17+21) jika dibagi 9 maka akan bersisa 3
2) Berapakah sisa (2011+2012+2013+⋯+2018) dibagi 2019?
Jawab:
(2011+2012+2013+⋯+2018) mod 2019
=(−8−7−6−⋯−1) mod 2019
=(−36) mod 2019
=((−1).2019+1983) mod 2019
=1983
Jadi, (2011+2012+2013+⋯+2018) jika dibagi 2019 maka akan bersisa 1983
Kaidah Dasar 3 (Linearitas perkalian)
(ab) mod n=((a mod n)(b mod n)) mod n
Contoh:
1) Berapakah sisa pembagian (7×9×10) oleh 8?
Jawab:
(7×9×10) mod 8=((7 mod 8)(9 mod 8)(10 mod 8)) mod 8
1) Berapakah sisa pembagian (7×9×10) oleh 8?
Jawab:
(7×9×10) mod 8=((7 mod 8)(9 mod 8)(10 mod 8)) mod 8
=(7×1×2) mod 8
=14 mod 8
=6
2) Berapakah digit terakhir (satuan) dari (2016×2017×2018×2019)?
Jawab:
Menentukan digit terakhir (nilai satuan) sama dengan kita mencari sisa jika dibagi 1010
(2016×2017×2018×2019) mod 10
=(6×7×8×9) mod 10
=(42×72) mod 10
=(2×2) mod 10
=4 mod 10
=4
Jadi, digit terakhir dari (2016×2017×2018×2019) adalah 4
Kaidah Dasar 4 (Perpangkatan)
$a^{b}$ mod n=((a mod n)$^{b})$ mod n
Contoh:
1) Berapakah sisa jika $7^{2019}$ dibagi 8?
1) Berapakah sisa jika $7^{2019}$ dibagi 8?
Jawab:
$(7^{2019}$)mod 8
=((7 mod 8)$^{2019}$)mod 8
=$(−1)^{2019}$ mod 8
=(−1) mod 8
=7
Jadi, $7^{2019}$ jika dibagi 8 maka akan bersisa 7
Jadi, $7^{2019}$ jika dibagi 8 maka akan bersisa 7
2) Berapakah sisa jika $3^{2009}$ dibagi oleh 41?
Jawab:
$3^{2009}$ mod 41
=$(3^{2008}$.3) mod 41
=(($3^{4})^{502}$.3) mod 41
=($81^{502}$.3) mod 41
=($(2.41−1)^{502}$.3) mod 41
=($(−1)^{502}$.3) mod 41
=(1.3) mod 41
=3 mod 41
=3
Jadi, $3^{2009}$ dibagi 41 akan bersisa 3
Jadi, $3^{2009}$ dibagi 41 akan bersisa 3
3) Berapakah sisa $ (54^{54}+55^{55})$ jika dibagi 7?
Jawab:
(54$^{54}$+55$^{55}$) mod 7
=((8.7−2)$^{54}$ mod 7+(8.7−1)$^{55}$ mod 7) mod 7
=((−2)$^{54}$ mod 7+(−1)$^{55}$ mod 7)
=(((−2)$^{3})^{18}$ mod 7+(−1) mod 7) mod 7
=($(−8)^{18}$ mod 7+6) mod 7
=(((−1).7+(−1))$^{18}$ mod 7+6) mod 7
=((−1)$^{1}$ 18 mod 7+6) mod 7
=(1 mod 7+6) mod 7
=(1+6) mod 7
=7 mod 7
=0
Jadi, 5$4^{44}+55^{55}$ jika dibagi 7 tidak bersisa
Operasi pada Kongruensi Modulo
Apa yang akan terjadi jika bentuk a≡b mod ma≡b mod m kita olah dengan melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada kedua ruas? anda perlu memahami beberapa operasi pada kongruensi modulo
Penjumlahan Kedua Ruas
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita tambah c, maka berlaku:
(a+c)≡(b+c) mod m
Contoh:
Jika pada 16≡1 mod 5, kedua ruas kita tambah 3, maka kita peroleh: 19≡4 mod 5
Dapat kita lihat untuk pernyataan 19≡4 mod 5 bernilai benar, karena 19=3×5+4 (19 bersisa 4 jika dibagi 5)
Pengurangan Kedua Ruas
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita kurangi c, maka berlaku:
(a−c)≡(b−c) mod m
Contoh:
Jika bentuk 23≡7 mod 8, kedua ruas kita kurangi 5, maka kita peroleh: 18≡2 mod 8
Dapat kita lihat untuk pernyataan 18≡2 mod 8 bernilai benar, karena 18=2×8+2
Perkalian Kedua Ruas
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita kali c, maka berlaku:
(ac)≡(bc) mod m
Pembagian Kedua Ruas
Jika bentuk a≡b mod m kedua ruas kita bagi c, maka berlaku:
a≡b mod$\frac{m}{FPB(m,c)}$
Demikianlah semoga bermanfaat.
0 Komentar