$ a $ disebut pembilang (numerator)
$ b $ disebut penyebut (denominator) $
Beberapa isitilah Pecahan:
*). Pecahan Murni (proper fraction)
$ \frac{a}{b} $ disebut pecahan murni jika $ a < b $
*). Pecahan Semu (improper fraction)
$ \frac{a}{b} $ disebut pecahan murni jika $ a > b $
*). Pecahan Campuran (mixed fraction)
$ a\frac{b}{c} $ disebut pecahan campuran jika terdiri atas $ a $ yang merupakan bilangan bulat dan $ \frac{b}{c} $ merupakan bagian pecaran murni.
1). $ x + (y) = x+ y $
2). $ x + (-y) = x - y $
3). $ x - (y) = x-y $
4). $ x - (-y) = x + y $
5). $ x \times (-y) = -xy $
6). $ (-x) \times y = -xy $
7). $ (-x) \times (-y) = xy $
8). $ (-1)^n = -1 $ untuk $ n $ ganjil
9). $ (-1)^n = 1 $ untuk $ n $ genap
10). Untuk $ y \neq 0 $, berlaku:
$ \frac{x}{-y} = -\frac{x}{y} $ , $ \frac{-x}{y} = -\frac{x}{y} $, $ \frac{-x}{-y} = \frac{x}{y} $
1). $ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $
2). $ \frac{1}{k(k+m)} = \frac{1}{m} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+m} \right) $
3). $ \frac{1}{k(k+m)(k+2m)} = \frac{1}{2m} \left( \frac{1}{k(k+m)} - \frac{1}{(k+m)(k+2m)} \right) $
4). $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
5). $ (a - b )^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
6). $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
7) $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2 ) $
8) $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2 ) $
9). $ a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2) $
Contoh Soal-soal tanpa solusi:
Contoh 1:
Nilai $ 123456789 \times 999999999 = ...$ ?
Contoh 2:
Nilai $ \frac{13576}{(-13579)^2 + (-13578)(13580)} = ...$?
Contoh 3:
Nilai $ \frac{83^3 + 17^3}{83 \times 66 + 17^2} = ...$ ?
Contoh 4:
Tentukan hasil dari operasi hitung berikut:
$ \frac{(4\times 7 + 2)(6\times 9 + 2)(8\times 11 + 2)...(100\times 103 + 2)}{(5\times 8+2)(7\times 10+2)(9\times 12 +2)...(99\times 102 +2)} $
Contoh 5:
Nilai $ 3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12} - \frac{1}{20} - \frac{1}{30} - \frac{1}{42} - \frac{1}{56} = ...$?
Contoh 6:
Nilai $ \frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143} = ...$?
Contoh 7:
Nyatakan bentuk desimal berikut dalam bilangan rasional (bilangan pecahan):
a). $ 0,33333..... = 0,\overline{3} $
b). $ 0,12121212...... = 0,\overline{12} $
c). $ 3,154154154 .....= 3,\overline{154} $
Contoh 8:
Jika $ \frac{a+b}{a-b} = 7 $, maka nilai $ \frac{2(a+b)}{a-b} - \frac{a-b}{3(a+b)} = ...$?
Contoh 9:
Jika $ \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5} $ dan $ 3x - 2y + z = 18 $, maka nilai dari $ x+5y - 3z = ...$?
Contoh 10:
Nilai $ \frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+2}+\frac{1}{3^2+3}+...+\frac{1}{2025^2+2025} = ...$?
Contoh Soal-soal dan Solusinya:
Contoh 1:
Nilai $ 123456789 \times 999999999 = ...$ ?
Alternatif Pembahasan:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ a(b - c) = ab - ac $
*) $ a(b-1) = a\times b - a $
$\clubsuit $ Pembahasan
$\begin{align} & 123456789 \times 999999999 \\ & = 123456789 \times (1000000000 - 1) \\ & = 123456789 \times 1000000000 - 123456789 \\ & = 123456789000000000 - 123456789 \\ & = 12345678887654321 \end{align} $
Jadi, hasilnya $ 12345678887654321. \, \heartsuit $
Nilai $ \frac{13579}{(-13579)^2 + (-13578)(13580)} = ...$?
Alternatif Pembahasan:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $
*) $ (a-1)(a+1) = a^2 - 1 $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). misalkan $ a = 13579 $
$\begin{align}
& \frac{13576}{(-13579)^2 + (-13578)(13580)} \\
& = \frac{a}{(-13579)^2 + (-13578)(13580)} \\
& = \frac{a}{(13579)^2 - (13578)(13580)} \\
& = \frac{a}{(13579)^2 - (13579-1)(13579+1)} \\
& = \frac{a}{(a)^2 - (a-1)(a+1)} \\
& = \frac{a}{a^2 - (a^2 - 1)} \\
& = \frac{a}{a^2 - a^2 + 1} \\
& = \frac{a}{ 1} \\
& = a \\
& = 13579
\end{align} $
Jadi, hasilnya $ 13579. \, \heartsuit $
Nilai $ \frac{83^3 + 17^3}{83 \times 66 + 17^2} = ...$ ?
Alternatif Pembahasan:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $
*). $ a(a-b) = a^2 - ab $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ a = 83 $ dan $ b = 17 $
$\begin{align}
& \frac{83^3 + 17^3}{83 \times 66 + 17^2} \\
& = \frac{83^3 + 17^3}{83 \times (83-17) + 17^2} \\
& = \frac{a^3 + b^3}{a \times (a-b) + b^2} \\
& = \frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2} \\
& = \frac{a+b}{1} \\
& = a + b \\
& = 83 + 17 \\
& = 100
\end{align} $
Jadi, hasilnya $ 100 . \, \heartsuit $
Tentukan hasil dari operasi hitung berikut:
$ \frac{(4\times 7 + 2)(6\times 9 + 2)(8\times 11 + 2)...(100\times 103 + 2)}{(5\times 8+2)(7\times 10+2)(9\times 12 +2)...(99\times 102 +2)} $
Alternatif Pembahasan:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ n(n+3)+2 = n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2) $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah dan menyederhanakan:
$ \begin{align}
& \frac{(4\times 7 + 2)(6\times 9 + 2)(8\times 11 + 2)...(100\times 103 + 2)}{(5\times 8+2)(7\times 10+2)(9\times 12 +2)...(99\times 102 +2)} \\
& = \frac{(5\times 6)(7\times 8)(9\times 10)...(101\times 102)}{(6\times 7)(8\times 9)(10\times 11)...(100\times 101)} \\
& = 5 \times 102 \\
& = 510
\end{align} $
Jadi, hasilnya $ 510 . \, \heartsuit $
Nilai $ 3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12} - \frac{1}{20} - \frac{1}{30} - \frac{1}{42} - \frac{1}{56} = ...$?
Alternatif Pembahasan:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ \frac{1}{k.(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah dan menyederhanakan:
$ \begin{align}
& 3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12} - \frac{1}{20} - \frac{1}{30}
- \frac{1}{42} - \frac{1}{56} \\
& = 3 - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30}
+ \frac{1}{42} + \frac{1}{56} \right) \\
& = 3 - \left( \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{4.5} + \frac{1}{5.6}
+ \frac{1}{6.7} + \frac{1}{7.8} \right) \\
& = 3 - \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)
+ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + ... + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right)
\right] \\
& = 3 - \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{8} \right) \\
& = 3 - \frac{7}{8} = 2 \frac{1}{8}
\end{align} $
Jadi, hasilnya $ 2 \frac{1}{8} . \, \heartsuit $
Nilai $ \frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143} = ...$?
Alternatif Pembahasan:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ \frac{1}{k.(k+m)} = \frac{1}{m} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+m} \right) $
*). $ \frac{1}{k.(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+2} \right) $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah dan menyederhanakan:
$ \begin{align}
& \frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143} \\
& = \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{7.9}+\frac{1}{9.11}+\frac{1}{11.13} \\
& = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)
+ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + ... +
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \right) \\
& = \frac{1}{2} \left[
\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)
+ \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + ... +
\left( \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \right)
\right] \\
& = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1} - \frac{1}{13} \right] \\
& = \frac{1}{2} \left[ \frac{12}{13} \right] = \frac{6}{13}
\end{align} $
Jadi, hasilnya $ \frac{6}{13} . \, \heartsuit $
Nyatakan bentuk desimal berikut dalam bilangan rasional (bilangan pecahan):
a). $ 0,33333..... = 0,\overline{3} $
b). $ 0,12121212...... = 0,\overline{12} $
c). $ 3,154154154 .....= 3,\overline{154} $
Alternatif Pembahasan:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ ab = c \rightarrow b = \frac{c}{a} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memisalkan masing-masing:
a). $ 0,33333..... = 0,\overline{3} $
misal: $ a = 0,333333....$ maka $ 10a = 3,33333.... $
Kurangkan keduanya:
$ \begin{align}
10a - a & = 3,33333.... - 0,33333....\\
9a & = 3 \\
a & = \frac{3}{9} \\
a & = \frac{1}{3}
\end{align} $
sehingga $ 0,33333... = \frac{1}{3} . \, \heartsuit$
b). $ 0,12121212...... = 0,\overline{12} $
misal: $ b = 0,12121212....$ maka $ 100b = 12,12121212.... $
Kurangkan keduanya:
$ \begin{align}
100b - b & = 12,12121212.... - 0,12121212 .... \\
99b & = 12 \\
b & = \frac{12}{99} \\
b & = \frac{4}{33}
\end{align} $
sehingga $ 0,12121212... = \frac{4}{33} . \, \heartsuit$
c). $ 3,154154154 .....= 3,\overline{154} $
misal: $ c = 3,154154154....$ maka $ 1000c = 3154,154154154.... $
Kurangkan keduanya:
$ \begin{align}
1000c - c & = 3154,154154154... - 3,154154154.... \\
999c & = 3151 \\
c & = \frac{3151}{999}
\end{align} $
sehingga $ 3,154154154... = \frac{3151}{999} . \, \heartsuit$
Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ 0,aaaa.... = \frac{a}{9} $
*). $ 0,ababab.... = \frac{ab}{99} $
*). $ 0,abcabcabc.... = \frac{abc}{999} $
$\clubsuit $ Pembahasan
a). $ 0,33333..... = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $
b). $ 0,12121212...... = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} $
c). $ 3,154154154 .....= 3+0,154154154... = 3 + \frac{154}{999} = \frac{3151}{999} $
Jika $ \frac{a+b}{a-b} = 7 $, maka nilai $ \frac{2(a+b)}{a-b} - \frac{a-b}{3(a+b)} = ...$?
Alternatif Pembahasan:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ \frac{P}{Q} = m \rightarrow \frac{Q}{P} = \frac{1}{m} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui
$ \frac{a+b}{a-b} = 7 $ maka $ \frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{7} $
*). menentukan hasil:
$\begin{align}
& \frac{2(a+b)}{a-b} - \frac{a-b}{3(a+b)} \\
& = 2. \frac{a+b}{a-b} - \frac{1}{3} .\frac{a-b}{a+b} \\
& = 2 . 7 - \frac{1}{3} .\frac{1}{7} \\
& = 14 - \frac{1}{21} \\
& = 13 \frac{20}{21}
\end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{2(a+b)}{a-b} - \frac{a-b}{3(a+b)} = 13\frac{20}{21} . \, \heartsuit $
Jika $ \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5} $ dan $ 3x - 2y + z = 18 $, maka nilai dari $ x+5y - 3z = ...$?
Alternatif Pembahasan:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ \frac{a}{b} = k \rightarrow a = bk $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). misalkan:
$ \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5} = k $ maka $ x = 3k, y = 4k$, dan $ z = 5k $
*). Menentukan nilai $ k $ :
$\begin{align}
3x - 2y + z & = 18 \\
3(3k) - 2(4k) + (5k) & = 18 \\
9k - 8k + 5k & = 18 \\
6k & = 18 \\
k & = 3
\end{align} $
*). Menentukan nilai $ x+5y - 3z $ :
$\begin{align}
x+5y - 3z & = (3k) + 5(4k) - 3(5k) \\
& = 3k + 20k - 15k \\
& = 8k \\
& = 8(3) \\
& = 24
\end{align} $
Jadi, nilai $ x+5y - 3z = 24 . \, \heartsuit $
Nilai $ \frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+2}+\frac{1}{3^2+3}+...+\frac{1}{2025^2+2025} = ...$?
Alternatif Pembahasan:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ \frac{1}{k^2 + k} = \frac{1}{k.(k+1)} $
*). $ \frac{1}{k.(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah dan menyederhanakan:
$ \begin{align}
& \frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+2}+\frac{1}{3^2+3}+...+\frac{1}{2025^2+2025} \\
& = \frac{1}{1.(1+1)}+\frac{1}{2.(2+1)}+\frac{1}{3.(3+1)}+...+\frac{1}{2025.(2025+1)} \\
& = \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2025.2026} \\
& = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)
+ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + ... + \left(\frac{1}{2025} - \frac{1}{2026} \right) \\
& = \frac{1}{1} - \frac{1}{2026} \\
& = \frac{2025}{2026}
\end{align} $
Jadi, hasilnya $ \frac{2025}{2026} . \, \heartsuit $
1). Nilai $ \frac{20232028^2}{20232027^2+20232029^2 - 2} = ...$?
2). Jika $ ab < 0 $, maka hubungan antara $ (a - b)^2 $ dan $ (a + b)^2 $ adalah ...?
A). $ (a-b)62 < (a+b)^2 $
B). $ (a-b)^2 = (a+b)^2 $
C). $ (a-b)^2 > (a+b)^2 $
D). Tidak bisa ditentukan.
3). Jika $ -1 < a < 0 $, maka hubungan dari $ a^3 $, $ -a^3 $, $ a^4 $, $ -a^4 $, $ \frac{1}{a} $ , dan $ - \frac{1}{a} $ jika diurutkan dari nilai yang terkecil ke yang terbesar adalah ...?
4). Untuk $ x > 7 $, maka dari dari bentuk berikut ini yang nilainya paling kecil adalah ...?
A). $ \frac{7}{x} $
B). $ \frac{7}{x+1} $
C). $ \frac{x}{5} $
D). $ \frac{x+1}{5} $
5). Jika $ 3x $, $ \frac{3}{x} $, dan $ \frac{15}{x} $ adalah bilangan bulat, bilangan berapakah berikut ini yang juga merupakan bilangan bulat ...
I). $ \frac{x}{3} \, \, \, $ II). $ x \, \, \, $ III). $ 6x $
A). I saja
B). II saja
C). III saja
D). I dan III saja
E). II dan III saja
6). Bilangan asli $ n $ sedemikian hingga hasil kali $ \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{3} \right)\left( 1 + \frac{1}{4} \right)...\left( 1 + \frac{1}{n} \right) $ merupakan bilangan bulat adalah ...?
A). $ n $ ganjil
B). $ n $ genap
C). $ n $ kelipatan 3
D). $ n $ sembarang
E). tidak ada $ n $ yang memenuhi
7). Untuk semua nilai $ y $, jika $ y $ genap, maka $ y^* $ didefinisikan sebagai $ 0,5y $ dan jika $ y $ ganjil maka $ y^* $ didefinisikan sebagai $ \frac{y}{3} $. Berapakah nilai dari $ \frac{(6a)^*}{9^*} $, dimana $ a $ bilangan bulat.
A). $ 2a $
B). $ 3a $
C). $ a^* $
D). $ (2a)^* $
E). $ (4a)^* $
8). Tentukan bentuk pecahan yang ekuivalen dengan desimal berulang $ 0,\overline{123} = 0,123123123...$ ?
9). Jika bilangan $ 0,4203520352035... $ dapat dinyatakan dalam $ \frac{p}{q} $, dengan $ p $ dan $ q $ relatif prima, maka berapakah nilai $ p + q $ ?
10). Hitunglah nilai dari
$\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) \times \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right) - \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} \right) \times \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \right) $
11). Jika $ ab = 1 $ , maka nilai dari $ \frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} = ... $ ?
12). Hitunglah nilai dari
$ -1 - (-1)^1 - (-1)62 - (-1)^3 - ...- (-1)^{2024} - (-1)^{2025} $
13). Hitunglah nilai dari
$ 2028 \times 20292029 - 2029 \times 20282028 $
14). Dari bilangan 2029, kurangkan dengan setengahnya, kemudian hasilnya kurangkan dengan $ \frac{1}{3} $ dari sisanya, berikutnya sisanya kurangkan lagi dengan $ \frac{1}{4} $ dari sisanya, dan seterusnya sampai dikurangkan dengan $ \frac{1}{2029} $ daris sisanya. Berapakah sisa bilagnan terakhir yang diperoleh?
15). Hitunglah
$ \frac{1}{5.7}+\frac{1}{7.9}+\frac{1}{9.11}+\frac{1}{11.13}+\frac{1}{13.15} $
16). Nilai dari $ \frac{1}{10}+\frac{1}{40}+\frac{1}{88}+\frac{1}{154}+\frac{1}{238} $
17). Hitunglah hasil dari
$\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2024}\right) \times \left( 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..+\frac{1}{2023}\right) - \left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2024}\right) \times \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2023}\right) $
18). Hitunglah nilai dari
$ \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} +\frac{1}{1+2+3+4} + ... + \frac{1}{1+2+3+...+2026} $
19). Diberikan $ n $ bilangan bulat positif, tentukan bentuk sederhana dari
$ 1 + \frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{3}{3}+\frac{2}{3}+ \frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+...+\frac{n}{n}+\frac{n-1}{n}+...+\frac{1}{n} $
20). Hitunglah nilai dari
$ 1^2 - 2^2 +3^2 - 4^2 +...-2024^2 + 2025^2 $
21). Hitunglah
$ 11 + 192 + 1993 + 19994 + 199995 + 1999996 + 19999997 + 199999998 + 1999999999 $
22). Hitunglah
$ \frac{3^2+1}{3^2 - 1}+\frac{5^2+1}{5^2 -1}+\frac{7^2+1}{7^2-1}+...+\frac{99^2+1}{99^2-1} $
23). Setelah menyederhanakan, nilai
$ 1 - \frac{2}{1.(1+2)} - \frac{3}{(1+2)(1+2+3)} - \frac{4}{(1+2+3)(1+2+3+4)}- ... - \frac{100}{(1+2+...+99)(1+2+...+100)} $
dalam bentuk paling sederhana. Tentukan selisih pembilanga dan penyebutnya.
24). Hitunglah
$ \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{100.101.102} $
25). Hitunglah
$ \frac{1}{1+1^2+1^4}+\frac{2}{1+2^2+2^4}+\frac{3}{1+3^2+3^4}+...+\frac{50}{1+50^2+50^4} $
26). Hitunglah
$ \frac{1^2}{1^2-1+50}+\frac{2^2}{2^2-20+50}+...+\frac{80^2}{80^2-80+50} $
0 Komentar