Kubus: Kubus adalah bangun ruang yang memiliki 6 sisi yang sama besar, dan masing-masing sisi berbentuk persegi. Kubus juga memiliki 12 rusuk dan 8 sudut siku-siku.Balok: Balok adalah bangun ruang yang memiliki 6 sisi, di mana 3 sisi berbentuk persegi dan 3 sisi lainnya berbentuk persegi panjang. Balok juga memiliki 12 rusuk dan 8 sudut.Prisma: Prisma adalah bangun ruang yang memiliki 2 sisi datar dan masing-masing sisi memiliki bentuk yang sama dan sejajar. Prisma juga memiliki 3 sisi lainnya yang berbentuk persegi atau segitiga dan 2 bidang alas yang berbentuk segi-n.Limas: Limas adalah bangun ruang yang memiliki alas berbentuk segitiga atau segi-n, dan sisi-sisi miring yang bertemu pada sebuah titik. Limas juga memiliki satu sisi datar yang berbentuk segitiga atau segi-n.Tabung: Tabung adalah bangun ruang yang terdiri dari dua lingkaran dengan jari-jari sama dan terhubung oleh sebuah silinder. Tabung juga memiliki dua bidang alas yang berbentuk lingkaran dan satu sisi datar yang berbentuk persegi atau persegi panjang.Kerucut: Kerucut adalah bangun ruang yang terdiri dari sebuah lingkaran dan sebuah sisi miring yang bertemu pada sebuah titik. Kerucut juga memiliki sebuah bidang alas yang berbentuk lingkaran.Bola: Bola adalah bangun ruang yang terdiri dari semua titik yang berjarak sama dari sebuah titik tertentu yang disebut pusat bola. Bola juga tidak memiliki rusuk dan sudut.
Tabel rumus berikut akan sangat berguna untuk mengerjakan soal-soal tentang
bangun ruang.
$$\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Bangun Ruang} & \text{Luas Permukaan} & \text{Luas Selimut}
& \text{Volume} \\ \hline \text{Kubus} & 6s^2 & 4s^2 & s^3
\\ \text{Balok} & 2(p \ell + pt + \ell t) & 2(pt + lt) & p \ell
t \\ \text{Limas segi-n} & L_A + L_{ST} & L_{ST} & \dfrac13
\cdot L_A \cdot t \\ \text{Prisma segi-n} & 2L_A + L_{ST} & L_{ST}
& L_A \cdot t \\ \text{Tabung} & 2\pi r(r + t) & 2\pi r t &
\pi r^2 t \\ \text{Kerucut} & \pi r(r + s) & \pi r s & \dfrac13
\pi r^2 t \\ \text{Bola (Pejal/Hampa)} & 4\pi r^2 & 4 \pi r^2 &
\dfrac43 \pi r^3 \\ \text{Setengah Bola (Pejal)} & 3\pi r^2 & 3 \pi
r^2 & \dfrac23 \pi r^3 \\ \text{Setengah Bola (Hampa)} & 2\pi r^2
& 2\pi r^2 & \dfrac23 \pi r^3\\ \hline \end{array}$$
BAGIAN PILIHAN GANDA
Soal Nomor 1
Diketahui volume sebuah kubus adalah $2.744~\text{cm}^3$. Luas permukaan
kubus tersebut adalah ....
A. $192~\text{cm}^2$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$D. $2.352~\text{cm}^2$
B. $384~\text{cm}^2$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$E. $2.744 ~\text{cm}^2$;
C. $1.176~\text{cm}^2$
$$\begin{aligned} V & = 2.744 \\ s^3 & = 2.744 \\ s & = \sqrt[3]{2.744} = 14 \\ s^2 & = 14^2 = 196 \\ 6s^2 & = 6 \cdot 196 = 1.176~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas permukaan kubus tersebut adalah $\boxed{1.176~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 2
Jika luas sisi depan, sisi samping, dan sisi bawah sebuah balok
masing-masing $x, y$, dan $z$, maka volume balok tersebut adalah $\cdots
\cdot$
A. $x+y+z$
B. $xy+xz+yz$
C. $(xyz)^2$
D. $xyz$
E. $\sqrt{xyz}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 3
Jika rasio panjang, lebar, dan tinggi sebuah balok adalah $1 : 3 : 5$ dan
luas permukaan balok adalah $4.600~\text{cm}^2$, maka volumenya adalah
$\cdots \cdot$
A. $1.500~\text{cm}^3$
B. $3.000~\text{cm}^3$
C. $9.000~\text{cm}^3$
D. $15.000~\text{cm}^3$
E. $30.000~\text{cm}^3$
Diketahui $p : \ell : t = 1 : 3 : 5$.
Dapat kita tulis $p = x$, $\ell = 3x$, dan $t = 5x$ untuk suatu
bilangan asli $x$. Karena $L = 4.600~\text{cm}^2$, maka kita
peroleh
$$\begin{aligned} 2(p \ell + pt + \ell t) & = 4.600 \\ x(3x) +
x(5x) + 3x(5x) & = 2.300 \\ 3x^2 + 5x^2 + 15x^2 & = 2.300 \\
23x^2 & = 2.300 \\ x^2 & = 100 \\ \Rightarrow x & = 10
\end{aligned}$$Ingat bahwa $x$ adalah bilangan asli sehingga $x \neq
-10$.
Jadi, panjang, lebar, dan tinggi balok tersebut berturut-turut adalah
$p = 10~\text{cm}$, $\ell = 30~\text{cm}$, dan $t =
50~\text{cm}$.
Selanjutnya, akan dicari volume balok.
$$\begin{aligned} V & = p \ell t \\ & = 10(30)(50) \\ & =
15.000~\text{cm}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume balok tersebut adalah
$\boxed{15.000~\text{cm}^3}$
(Jawaban D)
Jumlah panjang jari-jari alas dan tinggi suatu tabung adalah $37$ meter.
Jika luas permukaan tabung itu adalah $1.628~\text{m}^2$ dan asumsikan
$\pi = \dfrac{22}{7}$, maka volume tabung adalah $\cdots \cdot$
A. $660~\text{m}^3$
B. $2.310~\text{m}^3$
C. $4.620~\text{m}^3$
D. $9.240~\text{m}^3$
E. $32.340~\text{m}^3$
Pertama, akan dicari panjang jari-jari alas tabung.
$$\begin{aligned} L_p & = 1.628 \\ 2 \pi r(\color{blue}{r + t}) & = 1.628 \\ 2 \cdot \dfrac{22}{7} \cdot r(37) & = 1.628 \\ r & = \dfrac{1.628 \cdot 7}{2 \cdot 37 \cdot 22} \\ r & = 7~\text{m} \end{aligned}$$Karena $r + t = 37~\text{m}$ dan $r = 7~\text{m}$, maka $t = 30~\text{m}$. Dengan demikian,
$$\begin{aligned} V & = \pi r^2 t \\ & = \dfrac{22}{7} \cdot 7^2 \cdot 30 \\ & = 4.620~\text{m}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume tabung tersebut adalah $\boxed{4.620~\text{cm}^3}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 5
Rasio luas permukaan dan luas selimut sebuah tabung yang alasnya
berjari-jari $80~\text{cm}$ dan tingginya $20~\text{cm}$ adalah $\cdots
\cdot$
A. $3 : 1$
B. $4 : 1$
C. $5 : 1$
D. $10 : 1$
E. $12 : 1$
Perbandingan (rasio) luas permukaan dan luas selimut tabung dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} L_p : L_s & = \cancel{2\pi r}(r + t) : \cancel{2\pi r} t \\ & = (r + t) : t \\ & = (80 + 20) : 20 \\ & = 100 : 20 \\ & = 5 : 1 \end{aligned}$$Jadi, rasio luas permukaan dan luas selimut tabung tersebut adalah $\boxed{5 : 1}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 6
Dua buah tabung yang bervolume sama mempunyai tinggi dengan perbandingan
$1 : 2$. Perbandingan panjang jari-jari kedua tabung tersebut adalah
$\cdots \cdot$
A. $1 : \sqrt2$
B. $\sqrt2 : 1$
C. $1 : 2$
D. $2 : 1$
E. $2\sqrt2 : 1$
$$\begin{aligned} V’ & = V \\ t : t’ = 1 : 2 \Rightarrow t’ & = 2t \end{aligned}$$Karena itu, kita dapatkan
$$\begin{aligned} \pi(r’)^2t’ & = \pi r^2t \\ (r’)^2 (2t) & = r^2t \\ 2(r’)^2 & = r^2 \\ 2 & = \left(\dfrac{r}{r’}\right)^2 \\ \sqrt2 & = \dfrac{r}{r’} \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari kedua tabung itu adalah $\boxed{\sqrt2 : 1}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 7
Rasio antara luas selimut dan luas permukaan sebuah tabung adalah $1 :
2$. Jika luas permukaan tabung $616~\text{cm}^2$ dan asumsikan $\pi =
\dfrac{22}{7}$, maka volume tabung tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $539~\text{cm}^3$
B. $1.078~\text{cm}^3$
C. $1.617~\text{cm}^3$
D. $2.156~\text{cm}^3$
E. $4.312~\text{cm}^3$
$\begin{aligned} L_s : L_p & = 1 : 2 \\ L_p & = 616~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Dari perbandingan tersebut, diperoleh
$$\begin{aligned} L_s & = \dfrac12 \cdot 616 \\ & = 308~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Berikutnya, akan dicari panjang jari-jari alas tabung.
$$\begin{aligned} L_p & = 616 \\ 2\pi r^2 + L_s & = 616 \\ 2 \cdot \dfrac{22}{7}r^2 + 308 & = 616 \\ \dfrac{44}{7}r^2 & = 308 \\ r^2 & = 49 \\ r & = 7~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} L_s & = 308 \\ 2\pi r t & = 308 \\ t & = \dfrac{308}{2\pi r}~\text{cm} \end{aligned}$$Selanjutnya, volume tabung $V$ dihitung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V & = \pi r^2 t \\ & = \pi r^2 \cdot \dfrac{308}{2\pi r} \\ & = 154r \\ & = 154(7) = 1.078~\text{cm}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume tabung tersebut adalah $\boxed{1.078~\text{cm}^3}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 8
Jika tinggi suatu kerucut dikalikan dua, maka persentase pertambahan
volume kerucut sebesar $\cdots \cdot$
A. $25\%$
B. $50\%$
C. $100\%$
D. $200\%$
E. $400\%$
$$\begin{aligned} V’ & = \dfrac13\pi r^3 t’ \\ & = \dfrac13\pi r^3 (2t) \\ & = 2\left(\dfrac13\pi r^3 t’\right) \\ & = 2V \end{aligned}$$Ini menunjukkan bahwa volumenya sama dengan 2 kali volume awal. Dengan kata lain, persentase pertambahan volumenya sebesar $\boxed{100\%}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 9
Rasio volume 2 buah kerucut adalah $1 : 4$ dan rasio antardiameternya $4
: 5$. Rasio tinggi kedua kerucut tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $9 : 16$
B. $16 : 25$
C. $25 : 36$
D. $25 : 64$
E. $25 : 81$
$$\begin{aligned} V_1 : V_2 & = \color{red}{\dfrac13\pi} r_1^2t_1 : \color{red}{\dfrac13\pi} r_2^2t_2 \\ V_1 : V_2 & = r_1^2t_1 : r_2^2t_2 \\ 1 : 4 & = (4)^2t_1 : (5)^2t_2 \\ 1 : 4 & = 16t_1 : 25t_2 \\ \dfrac14 & = \dfrac{16t_1}{25t_2} \\ \dfrac{25}{64} & = \dfrac{t_1}{t_2} \\ 25 : 64 & = t_1 : t_2 \end{aligned}$$Jadi, rasio tinggi kedua kerucut tersebut adalah $\boxed{25 : 64}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 10
Jika rasio tinggi dua buah kerucut adalah $1 : 4$ dan rasio panjang
jari-jari alasnya $4 : 1$, maka rasio volume kedua kerucut itu adalah
$\cdots \cdot$
A. $1 : 4$
B. $2 : 1$
C. $4 : 1$
D. $8 : 1$
E. $16 : 1$
$$\begin{aligned} V_1 : V_2 & = \color{red}{\dfrac13\pi} r_1^2 t_1 : \color{red}{\dfrac13\pi} r_2^2 t_2 \\ & = r_1^2 t_1 : r_2^2 t_2 \\ & = (4)^2(1) : (1)^2(4) \\ & = 4 : 1 \end{aligned}$$Jadi, rasio kedua volume kerucut itu adalah $\boxed{4 : 1}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 11
Sebuah tabung yang terbuat dari besi cor (padat) dengan panjang jari-jari
alas $3~\text{cm}$ dan tinggi $5~\text{cm}$ dilebur. Hasil leburan
digunakan untuk membuat $n$ buah kerucut padat dengan panjang jari-jari
alas $1~\text{mm}$ dan tinggi $1~\text{cm}$. Asumsikan semua besi cor
terpakai. Nilai $n$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1.500$
B. $4.500$
C. $9.000$
D. $13.500$
E. $40.500$
$$\begin{aligned} r_{\text{tabung}} & = 3~\text{cm} \\ t_{\text{tabung}} & = 5~\text{cm} \\ r_{\text{kerucut}} & = 1~\text{mm} = 0,1~\text{cm} \\ t_{\text{kerucut}} & = 1~\text{cm} \end{aligned}$$Banyaknya kerucut yang terbentuk dari hasil peleburan tabung tersebut sama dengan volume tabung dibagi dengan volume kerucut.
$$\begin{aligned} n & = \dfrac{V_{\text{tabung}}}{V_{\text{kerucut}}} \\ & = \dfrac{\color{red}{\pi} r_{\text{tabung}}^2 t_{\text{tabung}}}{\frac13\color{red}{\pi} r_{\text{kerucut}}^2 t_{\text{kerucut}}} \\ & = \dfrac{3^2 \cdot 5}{\frac13 \cdot 0,1^2 \cdot 1} \\ & = \dfrac{45}{\frac{1}{300}} = 45 \cdot 300 = 13.500 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{n = 13.500}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 12
Jika sebuah bola dimasukkan ke dalam kubus, maka perbandingan volume bola
terbesar terhadap volume kubus adalah $\cdots \cdot$
A. $\pi : 3$
B. $\pi : 4$
C. $\pi : 6$
D. $2\pi : 3$
E. $2\pi : 5$
$$\begin{aligned} V_{\text{bola}} : V_{\text{kubus}} & = \dfrac43\pi r^3 : s^3 \\ & = \dfrac43\pi r^3 : (2r)^3 \\ & = \dfrac43\pi \color{red}{r^3} : 8\color{red}{r^3} \\ & = \dfrac43\pi : 8 \\ & = \pi : 6 && (\text{Dikali 3/4}) \end{aligned}$$Jadi, perbandingan volume bola terbesar terhadap volume kubus adalah $\boxed{\pi : 6}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 13
Sebuah bola berjari-jari $5\sqrt3~\text{cm}$. Volume kubus terbesar yang
berada di dalam bola itu adalah $....$
A. $125~\text{cm}^3$
B. $375~\text{cm}^3$
C. $500~\text{cm}^3$
D. $1.000~\text{cm}^3$
E. $3.000~\text{cm}^3$
Panjang diagonal ruang kubus yang panjang rusuknya $a$ adalah $DR = a\sqrt3~\text{cm}$ sehingga
$$\begin{aligned} DR & = d \\ a\sqrt3 & = 10\sqrt3 \\ a & = 10~\text{cm} \end{aligned}$$Volume kubus tersebut adalah $\boxed{V = a^3 = (10)^3 = 1.000~\text{cm}^3}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 14
Jika panjang jari-jari suatu bola adalah $x~\text{cm}$, maka perbandingan
luas permukaan bola padat utuh, setengah bola padat, dan seperempat bola
padat itu adalah $\cdots \cdot$
A. $6 : 3 : 2$
B. $4 : 3 : 2$
C. $4 : 3 : 1$
D. $4 : 2 : 1$
E. $3 : 2 : 1$
Luas permukaan bola padat (pejal) utuh adalah $$L_{\oplus} = 4\pi r^2.$$Luas
permukaan setengah bola padat adalah penjumlahan dari luas kulit ditambah
dengan luas lingkaran dalamannya (ditandai dengan warna
abu-abu pada gambar), yaitu $$L_{\frac12 \oplus} = 2\pi r^2 +
\pi r^2 = 3\pi r^2.$$Luas permukaan seperempat bola padat adalah penjumlahan
dari luas kulit ditambah 2 kali luas setengah lingkaran dalamannya, yaitu
$$L_{\frac14 \oplus} = \pi r^2 + \dfrac12 \pi r^2 + \dfrac12 \pi r^2 = 2\pi
r^2.$$Jadi, perbandingan luas permukaan bola padat utuh, setengah bola padat,
dan seperempat bola padat itu adalah :
$$\begin{aligned} L_{\oplus} : L_{\frac12 \oplus} : L_{\frac14 \oplus}
& = 4\color{red}{\pi r^2} : 3\color{red}{\pi r^2} : 2\color{red}{\pi
r^2} \\ & = 4 : 3 : 2 \end{aligned}$$(Jawaban B)
BAGIAN URAIAN
Soal Nomor 1
Jika masing-masing rusuk sebuah kubus bertambah $50\%$, hitunglah
persentase pertambahan untuk:
a. luas permukaan kubus;
b. volume kubus.
Jawaban a)
Mula-mula luas permukaan kubus adalah $L = 6s$. Luas permukaan kubus setelah pemanjangan panjang rusuk dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L’ & = 6s’ \\ & = 6(150\%s) \\ & = 150\%(6s) \\ & = 150\%L \end{aligned}$$Jadi, persentase pertambahan luas permukaan kubus adalah $\boxed{50\%}$
Jawaban b)
Mula-mula volume kubus adalah $V = s^3$. Volume setelah pemanjangan panjang rusuk dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} V’ & = (s’)^3 \\ & = (150\%s)^3 \\ & = 337,5\%s^3 \end{aligned}$$Jadi, persentase pertambahan volume kubus adalah $\boxed{237,5\%}$
Soal Nomor 2
Jika $V$ merupakan volume dan $S$ merupakan luas permukaan balok yang berukuran $a \times b \times c$, buktikan bahwa $\dfrac{1}{V} = \dfrac{2}{S}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right).$
$$\begin{aligned} V & = abc \\ S & = 2(ab + ac + bc) \end{aligned}$$Akan dibuktikan bahwa $\dfrac{1}{V} = \dfrac{2}{S}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$ dimulai dari ruas kanan.
$$\begin{aligned} \dfrac{2}{S}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right) & = \dfrac{2}{2(ab + ac + bc)}\left(\dfrac{bc}{abc} + \dfrac{ac}{abc} + \dfrac{ab}{abc}\right) \\ & = \dfrac{1}{\cancel{ab + ac + bc}} \cdot \dfrac{\cancel{ab + ac + bc}}{abc} \\ & = \dfrac{1}{abc} \\ & = \dfrac{1}{V} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\boxed{\dfrac{1}{V} = \dfrac{2}{S}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)}$
Soal Nomor 3
Gambar berikut menunjukkan pelat besi yang berbentuk kotak persegi panjang
dengan salah satu bidangnya $FDCBGE$ dapat bergerak buka-tutup.
Lengkungan $FG$ merupakan seperempat dari keliling lingkaran yang pusatnya di $E$. Diketahui $KF = 1,5~\text{cm}$, $HK = 5~\text{cm}$, $HI = 1,5~\text{cm}$, dan $AI = 8~\text{cm}$. Hitunglah:
- luas $HKFGI$,
- volume pelat besi,
- luas selimut $FDBG$, dan
- massa benda itu apabila massa jenis besi $9.040~\text{kg/m}^3 (\pi = 3,14).$
Luas $HKFGI$ sama dengan luas persegi panjang $HFEI$ dikurangi luas seperempat lingkaran $FEG$.
$$\begin{aligned} L_{HKFGI} & = L_{HFEI}-L_{FEG} \\ & = (HF \cdot FE)-\left(\dfrac14 \cdot \pi \cdot EF^2\right) \\ & = (6,5 \cdot 1,5)-\left(\dfrac14 \cdot 3.14 \cdot 1,5^2\right) \\ & = 9,75-1,76625 \\ & = 7,98375~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas $HKFGI$ adalah $\boxed{7,98375~\text{cm}^2}$
Jawaban b)
Volume pelat besi sama dengan volume balok $HFDJ.IECA$ dikurangi volume seperempat tabung $FEG.DCB$.
$$\begin{aligned} V_{\text{pelat besi}} & = V_{HFDJ.IECA}-V_{FEG.DCB} \\ & = (HF \cdot HI \cdot AI)-\left(\dfrac14 \cdot \pi \cdot EF^2 \cdot EC\right) \\ & = (6,5 \cdot 1,5 \cdot 8)-\left(\dfrac14 \cdot 3,14 \cdot 1,5^2 \cdot 8\right) \\ & = 78-14,13 \\ & = 63,87~\text{cm}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume pelat besi adalah $\boxed{63,87~\text{cm}^3}$
Jawaban c)
Luas selimut $FDBG$ sama dengan luas persegi panjang $FDCE$ ditambah luas persegi panjang $ECBG$.
$$\begin{aligned} L_{FDBG} & = L_{FDCE} + L_{ECBG} \\ & = (FD \cdot DC) + (GE \cdot EC) \\ & = (8 \cdot 1,5) + (1,5 \cdot 8) \\ & = 12 + 12 = 24~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas selimut $FDBG$ adalah $\boxed{24~\text{cm}^2}$
Jawaban d)
Karena volume pelat besi adalah $V = 63,87~\text{cm}^3$ dan diketahui bahwa $\rho = 9.040~\text{kg/m}^3 = 9,04~\text{g/cm}^3$ maka massa pelat besi dapat kita tentukan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \rho & = \dfrac{m}{V} \\ m & = \rho \cdot V \\ & = 9,04 \cdot 63,87 \\ & = 577,3848~\text{g} \end{aligned}$$Jadi, massa pelat besi adalah $\boxed{577,3848~\text{g}}$
Soal Nomor 4
Struktur sebuah tempat pembuangan rokok terlihat seperti gambar berikut.
Diketahui:
$$\begin{aligned} AB & = PQ = 90~\text{cm} \\ ED & = TS =
120~\text{cm} \\ AE & = PT = 220~\text{cm} \\ CD & = RS =
180~\text{cm} \\ AP & = BQ = CR = DS = ET = 200~\text{cm}
\end{aligned}$$Hitunglah:
- panjang $BC$,
- luas $ABCDE$, dan
- volume tempat rokok tersebut dalam satuan meter kubik.
$$\begin{aligned} BO & = AO-AB = 120-90 = 30~\text{cm} \\ OC & = OD-CD = 220-180 = 40~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus Phytagoras, diperoleh
$$\begin{aligned} BC & = \sqrt{BO^2 + OC^2} \\ & = \sqrt{30^2 + 40^2} \\ & = 50~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, paniang $\boxed{BC = 50~\text{cm}}$
Jawaban b)
Luas segilima $ABCDE$ sama dengan luas persegi panjang $AEDO$ dikurangi luas segitiga siku-siku $BOC$.
$$\begin{aligned} L_{ABCDE} & = L_{AEDO}-L_{\triangle BOC} \\ & = (AE \cdot ED)-\left(\dfrac12 \cdot BO \cdot OC\right) \\ & = (220 \cdot 120)-\left(\dfrac12 \cdot 30 \cdot 40\right) \\ & = 26.400-600 \\ & = 25.800~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas $ABCDE$ adalah $\boxed{25.800~\text{cm}^2}$
Jawaban c)
Volume benda tersebut sama dengan volume balok utuh dikurangi volume prisma segitiga siku-siku hasil potongan.
$$\begin{aligned} V_{\text{benda}} & = V_{\text{balok}}-V_{\text{prisma}} \\ & = (ED \cdot AE \cdot AP)-\left(L_{\triangle BOC} \cdot BQ\right) \\ & = (120 \cdot 220 \cdot 200)-\left(600 \cdot 200\right) \\ & = 5.160.000~\text{cm}^3 \end{aligned}$$Jadi, volume tempat pembuangan rokok tersebut adalah $\boxed{5.160.000~\text{cm}^3}$
Soal Nomor 5
Jika panjang jari-jari alas sebuah tabung bertambah $50\%$ dan tingginya berkurang dengan rasio $4 : 9$, bagaimana volume tabung itu sekarang?
$$\begin{aligned} r’ & = 150\%r = \dfrac32r \\ t’ & = \dfrac49t \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} V’ & = \pi (r’)^2 t’ \\ & = \pi \left(\dfrac32r\right)^2 \cdot \dfrac49t \\ & = \pi \cdot \dfrac94r^2 \cdot \dfrac49t \\ & = \pi r^2 t \\ & = V \end{aligned}$$Jadi, dapat disimpulkan bahwa volume tabung sekarang sama dengan volume tabung mula-mula (tetap/tidak berubah).
Diketahui sebuah tabung dengan keliling alas = volume tabung = $n$. Tentukan luas permukaan tabung tersebut bila dinyatakan dalam $n$.
$$\begin{aligned} 2\pi r & = \pi r^2 t = n && (\cdots 1) \\ \Rightarrow 2 & = rt && (\cdots 2)\end{aligned}$$Dari persamaan $2\pi r = n$, kita peroleh $r = \dfrac{n}{2\pi}$. Dari persamaan $(2)$, didapat $t = \dfrac{2}{r} = 2 \cdot \dfrac{2\pi}{n} = \dfrac{4\pi}{n}.$
Selanjutnya, kita akan peroleh luas permukaan tabung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} L_p & = 2\pi r(r + t) \\ & = n\left(\dfrac{n}{2\pi} + \dfrac{4\pi}{n}\right) \\ & = \dfrac{n^2}{2\pi} + 4\pi \end{aligned}$$Jadi, luas permukaaan tabung tersebut bila dinyatakan dalam $n$ adalah $\boxed{L_p = \dfrac{n^2}{2\pi} + 4\pi}$
Soal Nomor 7
Jika $t, s$, dan $v$ berturut-turut menyatakan tinggi, luas selimut, dan volume kerucut, tentukan nilai $(3\pi vt^3-s^2t^2 + 9v^2).$
$$\begin{aligned} t & = \text{tinggi kerucut} \\ r & = \text{panjang jari-jari alas kerucut} \\ s’ & = \text{panjang garis pelukis} \\ s & = \text{luas selimut kerucut} = \pi r s’ \\ v & = \text{volume kerucut} = \dfrac13\pi r^2 t \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh $(s’)^2 = r^2+t^2$. Oleh karena itu, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} 3\pi vt^3-s^2t^2 + 9v^2 & = 3\pi\left(\dfrac13\pi r^2t\right)t^3-(\pi r s’)^2t^2 + 9\left(\dfrac13\pi r^2t\right)^2 \\ & = \pi^2r^2t^4-\pi^2r^2(r^2+t^2)t^2 + 9 \cdot \dfrac19\pi^2 r^4t^2 \\ & = \color{red}{\pi^2r^2t^4}\color{blue}{-\pi^2r^4t^2}\color{red}{-\pi^2r^2t^4}+ \color{blue}{\pi^2 r^4t^2} \\ & = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{3\pi vt^3-s^2t^2 + 9v^2 = 0}$
Soal Nomor 8
Sebuah kerucut yang terbuat dari kayu jati dipotong horizontal menjadi tiga
bagian dengan masing-masing potongan mempunyai tinggi yang sama, seperti
yang terlihat pada gambar.
Tinggi kerucut sebelum dipotong adalah $42~\text{cm}$ dan panjang jari-jari
alas sebelum dipotong adalah $r_1 = 18~\text{cm}$.
Hitunglah:
- perbandingan volume masing-masing bagian, dan
- nilai $x$ dan $y$.
Selanjutnya, akan dicari panjang jari-jari kerucut sedang dan kecil dengan menggunakan konsep kesebangunan.
Mencari nilai $r_2$:
$$\begin{aligned} \dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{t_1}{t_2} \Rightarrow \dfrac{18}{r_2} & = \dfrac{42}{28} \\ \dfrac{18}{r_2} & = \dfrac{3}{2} \\ r_2 & = 12~\text{cm} \end{aligned}$$Mencari nilai $r_3$:
$$\begin{aligned} \dfrac{r_1}{r_3} = \dfrac{t_1}{t_3} \Rightarrow \dfrac{18}{r_3} & = \dfrac{42}{14} \\ \dfrac{18}{r_3} & = 3 \\ r_3 & = 6~\text{cm} \end{aligned}$$Perbandingan volume kerucut besar, sedang, dan kecil dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V_{\text{besar}} : V_{\text{sedang}} : V_{\text{kecil}} & = \color{blue}{\dfrac13} \pi r_1^2 t_1 : \color{blue}{\dfrac13} \pi r_2^2 t_2 : \color{blue}{\dfrac13} \pi r_3^2 t_3 \\ & = r_1^2 t_1 : r_2^2 t_2 : r_3^2 t_3 \\ & = (18)^2(42) : \left(12\right)^2 (28) : \left(6\right)^2 (14) \\ & = 9(3) : 4(2) : 1(1) \\ & = 27 : 8 : 1 \end{aligned}$$Jawaban b)
Misalkan panjang garis pelukis kerucut besar, sedang, dan kecil berturut-turut adalah $s_1, s_2$, dan $s_3$ sehingga
$$\begin{aligned} x & = s_2-s_3 \\ & = \sqrt{r_2^2 + t_2^2}-\sqrt{r_3^2+t_3^2} \\ & = \sqrt{12^2 + 28^2}-\sqrt{6^2 + 14^2} \\ & = 4\sqrt{58}-2\sqrt{58} \\ & = 2\sqrt{58} \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} y & = s_1-s_2 \\ & = \sqrt{r_1^2 + t_1^2}-\sqrt{r_2^2+t_2^2} \\ & = \sqrt{18^2 + 42^2}-\sqrt{12^2 + 28^2} \\ & = 6\sqrt{58}-4\sqrt{58} \\ & = 2\sqrt{58} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{x = y = 2\sqrt{58}}$
Soal Nomor 9
Sebuah tabung dimasukkan setengah bola dan di dalam setengah bola
dimasukkan lagi sebuah kerucut seperti tampak pada gambar.
Tentukan rasio volume tabung, setengah bola, dan kerucut tersebut.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} & V_{\text{tabung}} : V_{\text{1/2 bola}} : V_{\text{kerucut}} \\ & = \pi r^2 t : \dfrac12 \cdot \dfrac43\pi r^3 : \dfrac13 \pi r^2 t \\ & = \pi r^2 (r) : \dfrac12 \cdot \dfrac43\pi r^3 : \dfrac13 \pi r^2 (r) \\ & = \color{red}{\pi r^3} : \dfrac23 (\color{red}{\pi r^3}) : \dfrac13 (\color{red}{\pi r^3}) \\ & = 1 : \dfrac23 : \dfrac13 \\ & = 3 : 2 : 1 && (\text{Dikali 3}) \end{aligned}$$Jadi, rasio volume tabung, setengah bola, dan kerucut tersebut adalah $\boxed{3 : 2 : 1}$
Soal Nomor 10
Hitunglah volume bola terbesar yang dapat dimasukkan ke dalam kotak yang berukuran $70~\text{cm} \times 20~\text{cm} \times 58~\text{cm}$, dengan asumsi $\pi = 3,14.$
$$\begin{aligned} V & = \dfrac43 \pi r^3 \\ & = \dfrac43 \cdot 3,14 \cdot (10)^3 \\ & = \dfrac43 \cdot 314 = \dfrac{1.256}{3} \end{aligned}$$Jadi, volume bola terbesar yang dimaksud adalah $\boxed{\dfrac{1.256}{3}~\text{cm}^3}$
 Soal dan Pembahasan){kind=link}
0 Komentar