Terdapat beberapa bentuk persamaan garis lurus yang umum digunakan, yaitu:
Bentuk umum ini dapat digunakan untuk menentukan letak suatu garis relatif terhadap sumbu-x dan sumbu-y.
Persamaan garis lurus dalam bentuk slope-intercept: $y = mx + b$, di mana m adalah kemiringan (slope) dan b adalah titik potong sumbu-y (y-intercept). Bentuk ini sangat umum digunakan dalam matematika dan fisika.
Persamaan garis lurus dalam bentuk point-slope: $y - y_1 = m(x - x_1)$, di mana m adalah kemiringan garis dan $(x_1, y_1)$ adalah titik yang terletak pada garis tersebut. Bentuk ini sering digunakan dalam geometri analitik untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik yang diketahui.
Persamaan garis lurus dalam bentuk slope-normal: x cos θ + y sin θ = p, di mana θ adalah sudut antara garis dan sumbu-x positif dan p adalah jarak garis ke titik asal. Bentuk ini umumnya digunakan dalam trigonometri (untuk materi jenjang berikutnya). Dalam bentuk umum dan point-slope, persamaan garis lurus juga dapat digunakan untuk menentukan jarak antara suatu titik dengan garis, serta sudut antara dua garis yang saling berpotongan.
A. PERSAMAAN GARIS
Persamaan garis merupakan persamaan linear yang mengandung satu atau dua variabel.
Bentuk umum persamaan garis lurus: $$\boxed{y=m x+c}$$
Di mana $\mathrm{m}$ adalah koefisien dari $\mathrm{x}$ (gradient) dan $\mathrm{c}$ adalah konstanta.
Persamaan garis yang melalui titik $(0,0)$ dan titik $(a, b)$ :
$$
\boxed{y=\frac{b}{a} x}
$$
B. GRADIEN
Gradien suatu garis adalah derajat kemiringan suatu garis terhadap sumbu $\mathrm{X}$ pada diagram Kartesius. Notasi gradien $=\mathrm{m}$.
a. Garis dengan Gradien Positif
Garis dengan gradien positif memiliki kemiringan dari dasar kiri menuju puncak kanan yang naik dengan kenaikan yang tetap.
b. Garis dengan Gradien Negatif
Garis dengan gradien negatif memiliki kemiringan dari puncak kiri menuju dasar kanan yang turun dengan penurunan yang tetap.
Contoh:
c. Gradien Suatu Garis yang Melalui Pusat O[0, 0] dan Titik $A\left[x_1, y_1\right]$ $m=\dfrac{y_1}{x_1}$
Contoh :
Tentukan gradien garis yang melalui pangkal koordinat$\mathrm{O}(0,0)$ dan titik $\mathrm{A}(-3,9)$.
Jawab:
$$m_{OA}=\frac{9}{-3}=-3$$
d. Gradien Suatu Garis yang Melalui Dua Titik $A\left[x_1, y_1\right]$ dan $B\left[x_2, y_2\right]$
$$\boxed{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}
$$
Contoh :
Tentukan gradien garis yang melalui titik $(3,3)$ dan $(9,-3)$.
Jawab:
$$
\begin{aligned}
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}&=\frac{(-3-3)}{(9-3)} \\
&=\frac{-6}{6} \\
&=-1 \end{aligned}
$$
e. Gradien Garis $a x+b y+c=0$
$$
\boxed{m=-\frac{a}{b}}
$$
Contoh:
Tentukan gradien dari garis $2 x+6 y-8=0$.
Jawab:
$$
\begin{aligned}
& 2x+6y-8=0 \\
\text {maka nilai dari}\, a&=2, b=6, \text { dan } c=-8 \\
m&=-\frac{a}{b}\\
&=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}
\end{aligned}
$$
C. KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS
a. Berimpit : Dua garis dikatakan berimpit apabila:
$$
\boxed{\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}}
$$
Dua garis yang berimpit mempunyai gradien yang sama atau $m_1=$ $m_2$
Contoh:
Tentukanlah nilai b agar garis $2 x+b y+6=0$ berimpit dengan garis $3 x+6 y+9=0$.
Jawab:
Kedua garis akan disebut berimpit jika memenuhi syarat:
$$
\dfrac{2}{3}=\dfrac{b}{6}=\dfrac{6}{9}
$$
Maka: $\dfrac{2}{3}=\dfrac{b}{6} \rightarrow 3 \times b=2 \times 6$
$$
\begin{aligned}
3 b & =12 \\
b & =4
\end{aligned}
$$
b. Sejajar : Dua garis dikatakan sejajar apabila:
$$
\boxed{\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}}
$$
Dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama atau $m_1=$ $\mathrm{m}_2$
Contoh:
Tentukanlah gradien garis $k$ yang sejajar dengan persamaan garis $3 x+y+7=0$.
Jawab:
Misal persamaan $3 x+y+7=0$ adalah garis $l$, maka:
$$
\begin{aligned}
3 x+y+7&=0 \\
y&=-3 x-7
\end{aligned}
$$
maka, $\mathrm{m}=-3$.
Karena garis $\mathrm{l} / / \mathrm{k}$, maka $m_{\mathrm{k}}=m_1=-3$.
c. Tegak Lurus :
Dua garis dikatakan saling tegak lurus jika memenuhi:
$$\boxed{a_1 a_2+b_1 b_2=0}$$
Pada dua garis yang saling tegak lurus, perkalian gradien kedua garis sama dengan -1.
$$m_1 \times m_2=-1$$
Contoh:
Tentukan nilai $p$ jika garis $x+2 y=8$ tegak lurus dengan garis $p x+$ $(2 p-5) y=12$.
Jawab:
Garis $x+2 y=8 \rightarrow 2y=-x+8$
$$y=\frac{-x+8}{2}=-\frac{1}{2} x+4$$ $$m_1=-\frac{1}{2}$$
Garis $p x+(2 p-5) y=12$, maka $m_2=\dfrac{-p}{2 p-5}$
Karena garis $x+2 y=8$ tegak lurus terhadap garis $p x+(2 p-5) y=$ 12, maka:
$$
\begin{aligned}
m_1\times m_2&=-1 \\
\left(-\frac{1}{2}\right) \times\left(\frac{-p}{2 p-5}\right) &=-1 \\
\frac{p}{4 p-10} &=-1 \\
p&=-4 p+10 \\
5 p&=10 \\
p&=2
\end{aligned}
$$
d.Berpotongan
Dua garis dikatakan saling berpotongan apabila:
$$\boxed{\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}}$$
Dua garis yang saling berpotongan mempunyai gradien yang tidak sama.
$$\boxed{m_1 \neq m_2}$$
Contoh:
Apakah garis $2 x-y-1=0$ dan garis $4 x-y-5=0$ berpotongan? Jika berpotongan, carilah titik potongnya.
Jawab:
$$
\begin{gathered}
2 x-y-1=0 \\
\left.4 x-y-5=0 \rightarrow \frac{2}{4} \neq \frac{-1}{-1}\right\} \text { berpotongan } \\
2 x-y-1=0 \rightarrow 2 x-y=1 \\
4 x-y-5=0 \rightarrow 4 x-y=5 \\
-2 x=-4 \\
x=2
\end{gathered}
$$
Substitusikan nilai $x=2$ ke salah satu persamaan, misal ke persamaan
$$
\begin{aligned}
& 2 x-y-1=0 \text { diperoleh } \\
& 2 x-y-1=0 \\
& 2(2)-y-1=0 \\
& 4-y=1 \\
& -y=-3 \\
& y=3
\end{aligned}
$$
Jadi, titik potong kedua persamaan tersebut adalah $(2,3)$.
D. MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS LURUS
a. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Titik $\left[x_1, y_1\right]$ dan Gradien ${m}$
$$y-y_1=m\left(x-x_1\right)
$$
Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik $(3,4)$ dengan gradien $m=1$.
Jawab:
$$
\begin{aligned}
y-y_1 & =m\left(x-x_1\right) \\
y-4 & =1(x-3) \\
y-4 & =x-3 \\
y & =x+1
\end{aligned}
$$
b. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Titik $\left[x_1, y_1\right]$ dan $\left[x_2\right.$, $\left.y_2\right]$
Persamaan Garis :$\boxed{\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}}$
Gradien :$\quad\quad$ $\boxed{m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$
Contoh:
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $A(2,3)$ dan $B(3$, 4).
Jawab:
$$
\begin{aligned}
& \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\
& \frac{y-3}{4-3}=\frac{x-2}{3-2} \\
& \frac{y-3}{1}=\frac{x-2}{1} \\
& 1(y-3)=1(x-2) \\
& y-3=x-2 \\
& y=x+1
\end{aligned}
$$
c. Persamaan Garis Lurus yang Sejajar dengan Garis Lain dan Melalui Sebuah
Titik A$(x_1,y_1)$
$$\boxed{y-y_1=m\left(x-x_1\right)}$$Contoh:
Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis $y=-2 x+$ 3 dan melalui titik $A(4,2)$.
Jawab:
Garis $y=-2 x+3$ mempunyai gradien $m=-2$
Karena garis yang dicari sejajar dengan garis $y=-2 x+3$, maka $m=$ $-2$.
Persamaan garis dengan $\mathrm{m}=-2$ dan melalui titik $\mathrm{A}(4,2)$ adalah: $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$
d. Persamaan Garis Lurus yang Tegak Lurus dengan Garis Lain dan Melalui Sebuah Titik A$(x_1, y_1)$
$$\boxed{y-y_1=-\frac{1}{m}\left(x-x_1\right)}
$$
Contoh:
Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis $\mathrm{y}=$ $x+3$ dan melalui titik $A(2,5)$.
Jawab:
Garis $y=x+3$ mempunyai gradien $m=1$.
Garis yang dicari tegak lurus dengan garis $y=x+3$ dan melalui titik $(2,5)$, maka:
$$
\begin{aligned}
y-y_1&=-\frac{1}{m}\left(x-x_1\right) \\
y-5&=-\frac{1}{1}(x-2) \\
y-5&=-1(x-2) \\
y-5&=-x+2 \\
y&=-x+7
\end{aligned}
$$
0 Komentar