Dalam teori peluang, suatu peristiwa dinyatakan dalam istilah probabilitas, yang mengindikasikan kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut. Probabilitas biasanya diukur dalam skala 0 hingga 1, di mana 0 menunjukkan bahwa suatu peristiwa tidak mungkin terjadi sedangkan 1 menunjukkan bahwa suatu peristiwa pasti terjadi.
Teori peluang memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, termasuk ilmu sosial, keuangan, fisika, dan teknik. Dalam kehidupan sehari-hari, teori peluang digunakan untuk memprediksi kemungkinan terjadinya suatu peristiwa tertentu, seperti cuaca, kemenangan dalam permainan, dan risiko kesehatan.
Materi peluang yang diajarkan pada tingkat SMP meliputi konsep dasar tentang peluang, ruang sampel, peristiwa, dan peluang suatu peristiwa. Berikut adalah penjelasan singkat tentang materi-materi tersebut:
Konsep dasar tentang peluang: Peluang merupakan kemungkinan suatu peristiwa terjadi. Peluang dinyatakan dalam bentuk pecahan atau desimal dari 0 sampai 1.
Ruang sampel: Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu eksperimen. Contohnya, jika kita melempar sebuah dadu enam sisi, maka ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Peristiwa: Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Contohnya, jika kita ingin mencari peluang munculnya angka genap pada dadu, maka peristiwa tersebut adalah {2, 4, 6}.
Peluang suatu peristiwa: Peluang suatu peristiwa dinyatakan dengan rumus P(A) = n(A) / n(S), di mana P(A) adalah peluang peristiwa A terjadi, n(A) adalah banyaknya hasil yang memenuhi peristiwa A, dan n(S) adalah banyaknya hasil pada ruang sampel.
Selain itu, di tingkat SMP juga diajarkan tentang cara menghitung peluang gabungan, peluang komplementer, dan peluang acak. Peluang gabungan adalah peluang terjadinya dua peristiwa atau lebih pada waktu yang sama. Peluang komplementer adalah peluang terjadinya suatu peristiwa A tidak terjadi. Sedangkan, peluang acak adalah peluang terjadinya suatu peristiwa tanpa pengaruh dari peristiwa sebelumnya.
Dalam pembelajaran peluang di tingkat SMP, siswa biasanya diberikan latihan soal dan permainan untuk mengasah kemampuan mereka dalam menghitung peluang.
Soal matematika dasar teori peluang untuk SMP kita pilih dari soal-soal yang sudah pernah diujikan pada soal Ujian Sekolah matematika SMP, soal Ujian Nasional matematika SMP, atau soal ujian seleksi lainnya.
LANGKAH-LANGKAH MENENTUKAN PELUANG SUATU KEJADIAN
- Daftar himpunan semua hasil yang mungkin (ruang sampel) dari percobaan $(S)$, kemudian tentukan banyak anggota ruang sampel $n(S)$
- Daftar himpunan semua hasil yang diharapkan dari sebuah kejadian $(E)$, kemudian tentukan banyak anggota $n(E)$
-
Hitung Peluang kejadian $E$
$P(E)\ = \dfrac{n(E)}{n(S)}$
KISARAN NILAI PELUANG
\begin{array} \\ 0 \leq n(E) \leq n(S) & \\ \dfrac{0}{n(S)} \leq
\dfrac{n(E)}{n(S)} \leq \dfrac{n(S)}{n(S)} & \\ 0 \leq P(E) \leq 1
& \\ \end{array}
Nilai peluang kejadian $E$ saat $P(E)=0$ menunjukkan bahwa suatu kejadian tidak akan pernah terjadi, sedangkan nilai peluang kejadian $E$ saat $P(E)=1$ menunjukkan bahwa suatu kejadian pasti akan terjadi.
PELUANG KEJADIAN KOMPLEMEN
Suatu kejadian $E$ dan kejadian komplemennya $E'$ memenuhi persamaan $P(E)+P(E')=1$ atau $P(E')=1-P(E)$
FREKUENSI HARAPAN PELUANG KEJADIAN
$f_{h}(E)= n\ \cdot P(E) $
dengan:
💢 $f_{h}(E)$: Frekuensi harapan kejadian $E$
💢 $ P(E)$: Peluang kejadian $E$
💢 $ n$: Banyak percobaan
PENJUMLAHAN PELUANG
-
Dua kejadian $A$ dan $B$ saling lepas jika tidak ada satupun
elemen $A$ sama dengan elemen $B$.
Untuk dua kejadian saling lepas, peluang salah satu $A$ atau $B$ terjadi ditulis $P(A \cup B)$, dimana $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$. -
Dua kejadian $A$ dan $B$ tidak saling lepas jika ada elemen $A$
sama dengan elemen $B$.
Untuk dua kejadian tidak saling lepas, peluang salah satu $A$ atau $B$ terjadi ditulis $P(A \cup B)$, dimana $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.
PERKALIAN PELUANG
-
Dua kejadian $A$ dan $B$ saling bebas jika munculnya kejadian $A$
tidak mempengaruhi peluang kejadian $B$. Untuk $A$ dan $B$ saling bebas,
peluang bahwa $A$ dan $B$ terjadi bersamaan ditulis $P(A \cap B)$,
dimana $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$.
Jika dua kejadian $A$ dan $B$ tidak saling bebas maka $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$.
SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP
1. Soal UNBK SMP 2019
Pada pengundian dua dadu secara bersamaan, peluang muncul mata dadu berjumlah $9$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & \dfrac{1}{9}
\end{align}$
Hasil yang diharapkan muncul jumlah mata dadu $9$, $(3,6), (4,5),
(5,4), (6,3)$ sehingga $n(E)=4$.
Peluang terjadi jumlah mata dadu $9$
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{4}{36}= \dfrac{1}{9} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{1}{9}$
2. Soal UNBK SMP 2019
Dalam suatu acara untuk memperingati Hari Kemerdekaan, ketua RT mengadakan undian berhadiah dengan hadiah utama sebuah sepeda. Jika dalam undian tersebut terdapat $300$ kupon. Andi ingin mendapatkan hadiah utama dengan memiliki $15$ kupon. Peluang Andi untuk mendapatkan sepeda adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{10} \\
(B)\ & \dfrac{1}{6} \\
(C)\ & \dfrac{1}{20} \\
(D)\ & \dfrac{2}{5}
\end{align}$
Banyak kupon Andi untuk mendapatkan satu buah sepeda adalah $15$
kupon, sehingga yang diharapkan terpilih kupon diantara $15$ yang
dimiliki Andi, $n(A)=15$.
Banyak kupon keseluruhan adalah $300$, ini adalah banyak kemungkinan
yang terpilih $n(S)=300$
$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{15}{300}=\dfrac{1}{20}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{20}$
3. Soal Simulasi UNBK SMP 2019
Dalam sebuah kotak terdapat $10$ bola yang diberi nomor $1$ sampai $10$. Diambil $3$ bola satu persatu tanpa pemgembalian. Pengambilan pertama dan kedua terambil nomor ganjl. Peluang terambil bola bernomor genap pada pengambilan ketiga adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{8} \\
(B)\ & \dfrac{5}{10} \\
(C)\ & \dfrac{3}{8} \\
(D)\ & \dfrac{3}{10}
\end{align}$
Dalam sebuah kotak terdapat $10$ bola yang diberi nomor $1$ sampai
$10$, sehingga ada $5$ bola bernomor ganjil $(1,3,5,7,9)$ dan $5$ bola
bernomor genap $(2,4,6,8,10)$;
Karena pada pengambilan pertama dan kedua sudah dianggap terambil
bernomor ganjil maka bola bernomor ganjil tinggal $3$ bola dan genap
tetap $5$ bola.
Peluang pada pengambilan ketiga nomor genap;
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{5}{8}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{5}{8}$
4. Soal UNBK SMP 2018
Dalam sebuah kotak terdapat $15$ bola yang diberi nomor $1$ sampai $15$. Jika diambil $1$ bola bernomor ganjil dan tidak dikembalikan, kemudian diambil lagi $1$ bola bernomor genap juga tidak dikembalikan. Pengambilan ketiga diambil satu bola secara acak. Peluang terambil bola bernomor genap pada pengambilan ketiga adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{7}{15} \\
(B)\ & \dfrac{6}{15} \\
(C)\ & \dfrac{6}{13} \\
(D)\ & \dfrac{7}{12}
\end{align}$
Dalam sebuah kotak terdapat $15$ bola yang diberi nomor $1$ sampai $15$, lalu diambil sebuah bola genap dan sebuah bola ganjil sehingga di dalam kotak sisa $13$ bola yang terdiri dari $7$ bola ganjil dan $6$ bola genap.
Kejadian $(E)$ yang diharapkan adalah terambil bola bernomor genap,
maka $n(E)=6$ dan seluruh bola dalam kotak adalah $n(S)=13$.
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{6}{13}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{6}{13}$
5. Soal Simulasi UNBK SMP 2018
Roni diperbolehkan ibunya untuk mengambil satu permen dari sebuah kantong. Dia tidak dapat melihat warna permen tersebut. Banyaknya permen dengan masing-masing warna dalam kantong tersebut ditunjukkan dalam grafik berikut...
Berapaka peluang Roni mengambil sebuah permen warna merah?
$\begin{align}
(A)\ & 10\% \\ (B)\ & 20\% \\ (C)\ & 25\% \\ (D)\ & 50\%
\end{align}$
Untuk menghitung peluang terambil permen warna merah, pertama kita
hitung keseluruhan permen yang ada, yaitu $6+5+3+3+2+4+2+5=30$.
Banyak permen warna merah adalah $6$
Peluang terambil sebuah permen warna merah dari $30$ permen dan $6$
permen berwarna merah adalah;
$P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
$P(E)=\dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5}$
Hasil akhir $\dfrac{1}{5}=20\%$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 20\%$
6. Soal UN SMP 2018
Dalam kantong terdapat tiga bola berwarna merah diberi nomor $1-3$, lima bola berwarna kuning diberi nomor $4-8$ dan empat bola berwarna hijau diberi nomor $9-12$. Tiga bola diambil satu persatu secara acak dari dalam kantong. Pengambilan pertama muncul bola merah bernomor genap dan tidak dikembalikan. Pengambilan kedua muncul bola hijau bernomor prima dan tidak dikembalikan. Peluang terambil bola bernomor ganjil pada pengambilan ketiga adalah...
$\begin{align} (A)\ & 30 \% \\ (B)\ & 40 \% \\ (C)\ & 50 \% \\ (D)\ & 60 \% \end{align}$
- Pengambilan pertama muncul bola merah bernomor genap dan tidak dikembalikan, sehingga yang terambil adalah bola merah nomor $2$ maka $n(S)=11$.
- Pengambilan kedua muncul bola hijau bernomor prima dan tidak dikembalikan, sehingga yang terambil adalah bola hijau nomor $11$ maka $n(S)=10$.
-
Pengambilan ketiga, peluang terambil bola bernomor ganjil adalah:
$n(S)=10$ terdiri dari $\text{merah}\ \left(1,3 \right)$, $\text{kuning}\ \left(4,5,6,7,8 \right)$, dan $\text{hijau}\ \left(9,10,12\right)$.
$n(E)=5$ terdiri dari $\text{merah}\ \left(1,3 \right)$, $\text{kuning}\ \left( 5, 7 \right)$, dan $\text{hijau}\ \left( 9 \right)$ $\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{5}{10}=50\% \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 50\%$
7. Soal UN SMP 2017
Sebuah dadu dilambungkan sekali. Peluang munculnya mata dadu genap adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Pada pelemparan sebuah dadu, hasil yang mungkin adalah $1, 2, 3, 4,5,6$ sehingga $n(S)=6$
Hasil yang diharapkan muncul mata dadu genap, hasil yang diharapkan adalah $2, 4, 6$ sehingga $n(E)=3$.
Peluang muncul mata dadu genap adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{2}$
8. Soal UN SMP 2017
Sebuah bola diambil dari sebuah kantong yang berisi $4$ bola berwarna putih, $6$ bola berwarna hijau, dan $5$ bola berwarna merah. Peluang terambilnya bola berwarna merah adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\
(B)\ & \dfrac{4}{15} \\
(C)\ & \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & \dfrac{3}{5}
\end{align}$
Berdasarkan informasi pada soal, banyak bola keseluruhan adalah $4+6+5=15$ bola sehingga $n(S)=15$.
Bola yang diharapkan terambil adalah berwarna merah sehingga $n(E)=5$.
Peluang terambilnya bola berwarna merah adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{5}{15}= \dfrac{1}{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{3}$
9. Soal UN SMP 2016 |
Dua buah dadu dilambungkan bersamaan. Peluang muncul mata dadu berjumlah $4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{12} \\
(B)\ & \dfrac{1}{8} \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Pada pelemparan dua buah dadu, hasil yang mungkin adalah $n(S)=36$
Hasil yang diharapkan muncul jumlah mata dadu $4$, $(1,3), (2,2), (3,1)$
sehingga $n(E)=3$.
Peluang terjadi jumlah mata dadu $4$
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{12}$
10. Soal UN SMP 2015 |
Dalam kegiatan gerak jalan santai yang diikuti oleh $150$ peserta, panitia menyediakan hadiah $3$ buah sepeda. Peluang setiap peserta untuk mendapatkan hadiah adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0,02 \\
(B)\ & 0,03 \\
(C)\ & 0,20 \\
(D)\ & 0,30
\end{align}$
Berdasarkan informasi pada soal, peserta yang mungkin dapat sepeda adalah $150$ peserta sehingga $n(S)=150$.
Sepeda yang diharapkan dapat ada $3$ sepeda sehingga $n(E)=3$.
Peluang setiap peserta dapat sepeda adalah: $\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{3}{150} = \dfrac{1}{50} = 0,02 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0,02$
11. Soal UN SMP 2014 |
Dalam sebuah kantong terdapat delapan bola yang diberi nomor $1$ sampai dengan $8$. Akan diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambilnya bola bernomor lebih dari $6$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{8} \\
(B)\ & \dfrac{3}{8} \\
(C)\ & \dfrac{4}{8} \\
(D)\ & \dfrac{5}{8}
\end{align}$
Berdasarkan informasi pada soal, banyak bola keseluruhan adalah $8$ bola sehingga $n(S)=8$.
Bola yang diharapkan terambil adalah bola bernomor lebih dari $6$ yaitu
$7,8$ sehingga $n(E)=2$.
Peluang terambilnya bola bernomor lebih dari $6$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{2}{8} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{2}{8}$
12. Soal UN SMP 2013 |
Tiga keping uang logam dilempar bersama-sama. Peluang muncul ketiganya gambar adalah ....
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{8} \\ (B)\ & \dfrac{1}{3} \\ (C)\ & \dfrac{3}{8} \\ (D)\ & \dfrac{2}{3} \end{align}$
Ruang sampel dari pelambungan tiga buah koin dapat kita tuliskan seperti berikut ini:
Banyak keseluruhan hasil yang mungkin dari pelambungan tiga uang logam sejenis adalah $\left(AAA \right)$, $\left(AAG \right)$, $\left(AGA \right)$, $\left(AGG \right)$, $\left(GAA \right)$, $\left(GAG \right)$, $\left(GGA \right)$, atau $\left(GGG \right)$, sehingga $n(S)=8$.
Hasil yang diharapkan muncul ketiganya gambar $\left( GGG \right)$,
sehingga $n(E)=1$.
Peluang muncul ketiganya gambar adalah:
$ \begin{align} P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\ & = \dfrac{1}{8}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{8} $
13. Soal UN SMP 2012
Sebuah dadu dilambungkan satu kali. Peluang munculnya mata dadu kurang dari $4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{6} \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$
Pada pelemparan sebuah dadu, hasil yang mungkin adalah $1, 2, 3, 4,5,6$ sehingga $n(S)=6$
Hasil yang diharapkan muncul mata dadu kurang dari $4$, hasil yang diharapkan adalah $1,2,3$ sehingga $n(E)=3$.
Peluang muncul mata dadu kurang dari $4$ adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}$
14. Soal UN SMP 2012 |
Dalam satu kelas dilakukan pendataan peserta ekstrakurikuler. Didapat hasil sebagai berikut:
$9$ siswa memilih pramuka
$12$ siswa memilih volly
$7$ siswa memilih PMR
$8$ siswa memilih KIR
Dipilih seorang siswa secara acak untuk dijadikan koordinator ekstrakurikuler, kemungkinan yang terpilih siswa dari cabang volly adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{12} \\
(B)\ & \dfrac{1}{6} \\
(C)\ & \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & \dfrac{2}{2}
\end{align}$
Koordinator yang diharapkan terpilih adalah siswa yang memilih volly, sehingga
$n(E)=12$,
peluang koordinator ekstrakurikuler terpilih siswa dari cabang volly
adalah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{12}{36}= \dfrac{1}{3} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{3}$
15. Soal
Seorang ibu dan anaknya bermain tebak warna dengan cara mengambil bola dari sebuah kotak $A$ dan memasukkannya kembali ke kotak $B$. Kotak $A$ beirisi $5$ bola merah, $7$ bola kuning dan $3$ bola biru, sedangkan kotak $B$ berisi $3$ bola merah, $5$ bola kuning dan $3$ bola biru. Aturan permainannya adalah pada pengambilan pertama ibu akan mengambil bola dari kotak $a$ dan memasukkanya ke kotak $B$, dilanjutkan dengan pada pengambilan kedua si anak akan mengambil satu bola dari kotak $B$ dan memasukkanya ke kotak $A$. Peluang kejadian terambilnya bola warnanya sama pada setiap pengambilan bola adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{37}{90} \\
(B)\ & \dfrac{38}{90} \\
(C)\ & \dfrac{39}{90} \\
(D)\ & \dfrac{37}{90} \\
\end{align}$
Untuk mencoba menyelesaikan soal teori peluang diatas, kita coba
menuliskan hasil yang mungkin untuk hasil warna yang sama, yaitu Merah (A)
dan Merah (B) atau Kuning (A) dan Kuning (B) atau Biru (A) dan Biru
(B).
Peluang untuk kejadian diatas kita coab kerjakan satu persatu:
-
Peluang Merah (A) dan Merah (B)
$P(E_{1})=\dfrac{5}{15} \cdot \dfrac{4}{12}=\dfrac{20}{180}$ -
Peluang Kuning (A) dan kuning (B)
$P(E_{2})=\dfrac{7}{15} \cdot \dfrac{6}{12}=\dfrac{42}{180}$ -
Peluang Biru (A) dan Biru (B)
$P(E_{3})=\dfrac{3}{15} \cdot \dfrac{4}{12}=\dfrac{12}{180}$
Jika kita gabung peluang tiga kemungkinan kejadian di atas adalah $\dfrac{20}{180}+\dfrac{42}{180}+\dfrac{12}{180}=\dfrac{74}{180}=\dfrac{37}{90}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{37}{90}$
16. Soal
Sebuah keluarga ingin mempunyai $4$ orang anak. Peluang bahwa keluarga tersebut memiliki paling banyak $2$ orang anak laki-laki adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{16} \\
(B)\ & \dfrac{11}{16} \\
(C)\ & \dfrac{14}{16} \\
(D)\ & \dfrac{15}{16} \\
\end{align}$
- $4$ laki-laki: $LLLL$
- $3$ laki-laki dan $1$ perempuan: $LLLP$; $LLPL$; $LPLL$; $PLLL$;
- $2$ laki-laki dan $2$ perempan: $LLPP$; $LPLP$; $PLLP$; $LPPL$; $PLPL$; $PPLL$;
- $1$ laki-laki dan $3$ perempuan: $PPPL$; $PPLP$; $PLPP$; $LPPP$;
- $4$ perempuan: $PPPP$
Paling banyak dua orang anak lelaki ada $11$ kemungkinan, maka peluang keluarga tersebut memiliki paling banyak $2$ orang anak laki-laki adalah $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{11}{16}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{11}{16}$
17. Soal
Diberikan gambar berikut (lingkaran di dalam lingkaran).
Jika diambil sebuah titik secara acak, peluang terambilnya titik dari daerah yang tidak diarsir adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0,12 \\
(B)\ & 0,36 \\
(C)\ & 0,42 \\
(D)\ & 0,64 \end{align}$
$\begin{align}
n(S)\ &= L_{b} \\ &= \pi \cdot r^{2} \\
&= \pi \cdot 10^{2} \\
&= \pi \cdot 100 \\
&= 100 \pi \end{align}$
Jika titik yang diharapkan terambil dari daerah yang tidak diarsir, maka
daerah yang diharapkan $n(E)$ adalah luas daerah lingkaran yang besar
dikurangi luas daerah lingkaran yang kecil, yaitu:
$\begin{align}
L_{k}\ &= \pi \cdot r^{2} \\
L_{k}\ &= \pi \cdot 6^{2} \\
L_{k}\ &= \pi \cdot 36 \\
L_{k}\ &= 36 \pi \\ \hline n(E) &= L_{b}-L_{k} \\ n(E) &= 100
\pi-36 \pi \\ n(E) &= 64 \pi \end{align}$
Peluang kejadian yang diharapkan, terambilnya titik dari daerah yang tidak
diarsir adalah:
$\begin{align}
P \left( E \right) \ &= \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
P \left( E \right) \ &= \dfrac{64 \pi}{100 \pi} \\
&= 0,64 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 0,64$
18. Soal
Dua buah dadu dilambungkan bersamaan. Peluang munculnya dua mata dadu berbeda adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{6} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{3}{4} \\
(D)\ & \dfrac{5}{6}
\end{align}$
Hasil yang diharapkan muncul dua mata dadu berbeda, $(1,2), (1,3), \cdots,
(6,5)$ sehingga $n(E)=30$.
Peluang terjadi muncul dua mata dadu berbeda:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{30}{36} = \dfrac{5}{6} \end{align}$
Sebagai alternatif lain dapat juga dihitung dari komplemen peluang mata dadu
sama.
Hasil yang diharapkan muncul dua mata dadu berbeda, merupakan komplemen dari
$(1,1,), (2,2), \cdots, (6,6)$ sehingga $n(E)=6$.
Peluang terjadi muncul dua mata dadu sama:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \end{align}$
Peluang terjadi muncul dua mata dadu berbeda:
$\begin{align}
P(E') & = 1 - P(E) \\
& = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{12}$
19. Soal
Babak perempat final Liga Champion $2021$ diikuti oleh $8$ tim $\text{A,B,C,D,E,F,G, dan H}$ yang berlaga dan ditentukan dengan hasil undian sebagai berikut.
Setiap tim memiliki peluang $\dfrac{1}{2}$ untuk melaju ke babak selanjutnya. Peluang $B$ bertemu $F$ di babak final dan $F$ menjadi juara adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & \dfrac{1}{16} \\
(D)\ & \dfrac{1}{32}
\end{align}$
-
Agar tim $B$ masuk final, maka harus menang pada pertandingan pertama dan
menang pada pertandingan kedua.
Sehingga peluang tim $B$ masuk final adalah $P(B)=P_{B}(I) \cdot P_{B}(I) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$. -
Agar tim $F$ masuk final harus menang pada pertandingan pertama dan menang
pada pertandingan kedua.
Sehingga peluang tim $F$ masuk final adalah $P(F)=P_{F}(I) \cdot P_{F}(I) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$. -
Agar tim $F$ menjadi juara harus menang pada saat pertandingan final.
Sehingga peluang tim $F$ menang pada saat final adalah $P(F)= \dfrac{1}{2}$.
Agar tim $B$ bertemu $F$ di babak final dan $F$ menjadi juara harus terjadi
tim $B$ masuk final dan tim $F$ masuk final dan tim $F$ jadi juara.
Peluangnya adalah $P(E)=P(1) \cdot P (2) \cdot P (3) = \dfrac{1}{4} \cdot
\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{16}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{16}$
20. Soal
Seorang siswa mempunyai tiga buah celana berwarna biru, hitam dan abu-abu, tiga buah kemeja berwarna putih, hijau dan kuning serta dua pasang sepatu berwarna hitam dan coklat. Banyak kombinasi pakaian dan sepatu yang bisa digunakan siswa tersebut adalah .... kombinasi.
$\begin{align}
(A)\ & 12 \\
(B)\ & 15 \\
(C)\ & 18 \\
(D)\ & 24
\end{align}$
Contoh kombinasi atau susunan yang mungkin adalah siswa tersebut berpakaian
dengan memakai, (biru-putih-hitam), (biru-putih-coklat), ... ,
(abu-kuning-hitam).
Dalam matematika ini disebut dengan Aturan Perkalian, Apabila kegiatan
1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan
ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi
sebanyak $n_{1} \times n_{2} \times \cdots \times n_{k}$.
Banyak susunan celana, kemeja, dan sepatu yang mungkin dipakai siswa tersebut
adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{Celana} & \text{Kemeja} & \text{Sepatu} \\ \hline
(3) & (3) & (2) \end{array} $
Banyak susunan yang mungkin adalah $3 \times 3 \times 2 = 18$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 18$
21. Contoh Soal
Dua dadu bermata $6$ dilempar sekali secara secara bersamaan, peluang muncul mata dadu berjumlah $7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{6} \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$
Hasil yang diharapkan muncul jumlah mata dadu $7$, $(1,6), (2,5), (3,4),
(4,3), (5,2), (6,1)$ sehingga $n(E)=6$.
Peluang terjadi jumlah mata dadu $9$
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{6}{36}= \dfrac{6}{36} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{6}$
22. Contoh Soal Masuk SMA
Dalam sebuah peti terdapat $7$ bola kuning bernomor $1-7$, dan $5$ bola merah bernomor $a-e$. Jika seseorang mengambil sebuah bola dari dalam peti secara acak, peluang terambilnya bola kuning bernomor ganjil atau bola merah dengan huruf vokal adalah ....
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \\
(D)\ & \dfrac{1}{12}
\end{align}$
Hasil yang diharapkan muncul terambilnya bola kuning bernomor ganjil atau bola
merah adalah $1,3,5,7,a,e$ sehingga $n(E)=6$.
Peluang terambilnya bola kuning bernomor ganjil atau bola merah:
$\begin{align}
P(E) & = \dfrac{n(E)}{n(S)} \\
& = \dfrac{6}{12}= \dfrac{1}{2} \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \dfrac{1}{2}$
23. Model Soal
Sebuah dadu dilambungkan sebanyak $120$ kali. Frekuensi harapan munculnya mata dadu bilangan prima adalah ....
$\begin{align}
(A)\ & 60\ \text{kali} \\ (B)\ & 40\ \text{kali} \\ (C)\ & 30\ \text{kali} \\ (D)\ & 20\ \text{kali} \end{align}$
$E$ = Kejadian yang diharapkan Muncul mata dadu bilangan prima maka $n(E) = 3$
$S$ = Kejadian yang mungkin terjadi dari satu dadu, maka $n(S) = 6$
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $
Aturan untuk menghitung frekuensi harapan adalah $ f_{h}(E)= n\ \cdot P(E) $
dengan $n$ adalah banyak percobaan.
$\begin{align} f_{h}(E) &= n\ \cdot P(E) \\ &= 120\ \cdot \dfrac{1}{2}
\\ &= \dfrac{120}{2} \\ &= 60 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 60\ \text{kali}$
0 Komentar