Berikut adalah beberapa materi yang diujikan pada OSN Bidang Matematika untuk jenjang SMP:
- Sistem bilangan (desimal, biner, oktal, heksadesimal)
- Faktor bilangan, FPB dan KPK
- Bilangan prima dan komposit
- Bilangan rasional dan irasional
- Bangun datar (persegi, persegi panjang, segitiga, trapesium, lingkaran)
- Bangun ruang (kubus, balok, prisma, limas, tabung, kerucut, bola)
- Transformasi geometri (refleksi, rotasi, translasi)
- Trigonometri (sinus, kosinus, tangen)
- Persamaan linear satu variabel
- Persamaan kuadrat
- Sistem persamaan linear dua variabel
- Fungsi (grafik fungsi, fungsi invers)
- Pengumpulan data dan penyajian data (tabel, diagram, grafik)
- Ukuran pemusatan data (mean, median, modus)
- Ukuran penyebaran data (jangkauan, simpangan baku)
Logika dan kombinatorika:
- Logika proposisional (negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi)
- Kombinatorika dasar (faktorial, kombinasi, permutasi)
Soal dan Pembahasan Pra OSN-K Matematika SMP 2023 (*Soal pra OSK Matematika SMP Surya Institute)
Soal-soal yang diujikan pada olimpiade matematika secara umum adalah soal-soal yang tidak rutin sehingga jika mengharapkan hasil yang optimal tetapi persiapan sedikit, sepertinya tidak masuk akal. Untuk itu mempersiapkan diri lebih cepat adalah langkah awal yang baik jika mau jadi yang terbaik. Sebagai latihan awal kita coba berlatih dari soal seleksi pra olimpiade matematika tingkat SMP Kabupaten.
1. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Enam buah mata uang logam dilempar, peluang bahwa paling sedikit $2$ gambar muncul adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{57}{64} \\ (B)\ & \dfrac{37}{64} \\ (C)\ & \dfrac{27}{64} \\ (D)\ & \dfrac{7}{64}
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit tentang kaidah
pencacahan khususnya kombinasi yaitu $C(n,r)=\dfrac{n!}{r! \cdot
(n-r)!}$ dan teorema peluang yaitu:
Peluang kejadian dirumuskan $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
dimana $n(E)$ adalah banyak anggota kejadian yang diharapkan,
$n(S)$ adalah banyak anggota kejadian yang mungkin terjadi.
$S$: Enam buah uang logam dilempar maka hasil yang mungkin ada sebanyak
$n(S)=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=2^{6}=64$
$E$: Muncul gambar paling sedikit $2$ maka
$n(E)=C(6,6)+C(6,5)+C(6,4)+C(6,4)+C(6,3)+C(6,2)$ atau
$n(E)=64-C(6,1)-C(6,6)$.
$C(6,1)=\dfrac{6!}{1! \cdot (6-1)!}=\dfrac{6 \times 5!}{1! \cdot
(5)!}=6$
$C(6,6)=\dfrac{6!}{6! \cdot (6-6)!}=\dfrac{6 !}{6! \cdot (0)!}=1$
Sehingga $n(E)=64-6-1=57$
Peluang bahwa paling sedikit $2$ gambar muncul adalah
$\begin{align}
P(E) & = \frac{n(E)}{n(S)} \\ & = \frac{57}{64}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{57}{64}$
2. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Jika $(2x-10)^{x^{2}-36}=1$, banyaknya nilai $x$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit sifat bilangan
berpangkat untuk $a \neq 0$ berlaku $a^{0}=1$ dan sifat kedua yaitu Jika
$a^{m}=a^{n}$ maka $m=n$.
$\begin{align}
(2x-10)^{x^{2}-36} & = 1 \\ (2x-10)^{x^{2}-36} & = (2x-10)^{0}
\\ x^{2}-36 & = 0 \\ (x-6)(x+6) & = 0 \\ x=6\ & \text{atau}\
x=-6 \\ \hline 2x-10 & = 1 \\ 2x & = 11 \\ x & =
\dfrac{11}{2} \\ \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$
3. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Jumlah digit hasil dari $7+77+777+\cdots+\underset{7}{\underbrace{77\cdots777}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 43 \\ (B)\ & 42 \\ (C)\ & 41 \\ (D)\ & 40
\end{align}$
Untuk soal ini jika kurang paham bisa dengan sedikit penyederhanaan
soal, misal soal hanya
"Jumlah digit hasil dari $7+77$ adalah..."
$7+77=84$ jumlah digitnya adalah $8+4=12$
$\begin{align}
& 7+77+777+\cdots+7 777 777 \\ & =
7(1)+7(11)+7(111)+\cdots+7(1111111) \\ & = 7(1+11+111 +\cdots+
1111111) \\ & = 7(1234567) \\ & = 8641969 \\ & =
8+6+4+1+9+6+9 \\ & = 43
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 43$
4. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Jika $f(x+1)=2f(x)$ dan $f(1)=5$ maka nilai dari $f(7)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 80 \\ (B)\ & 160 \\ (C)\ & 240 \\ (D)\ & 320
\end{align}$
$\begin{align}
f(x+1) & = 2f(x) \\ \text{untuk}\ & x =1 \\ f(2) & = 2f(x)
\\ & = 2(5)=10 \\ \text{untuk}\ & x =2 \\ f(3) & = 2f(2) \\
& = 2(10)=20 \\ \text{untuk}\ & x =3 \\ f(4) & = 2f(3) \\
& = 2(20)=40 \\ \vdots
\end{align}$
$5,10,20,40,80,160,320,\cdots$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 320$
5. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Hasil dari $\dfrac{100.000.002^{2}-99.999.998^{2}}{10.001^{2}-9.999^{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9999 \\ (B)\ & 10.000 \\ (C)\ & 15.000 \\ (D)\ & 20.000
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit pemfaktoran
bilangan berpangkat yaitu $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.
$\begin{align}
& \dfrac{100.000.002^{2}-99.999.998^{2}}{10.001^{2}-9.999^{2}} \\
& = \dfrac{(100.000.002 +99.999.998)(100.000.002
-99.999.998)}{(10.001 +9.999)(10.001 -9.999)} \\ & =
\dfrac{(200.000.000)(4)}{(20.000)(2)} \\ & = \dfrac{800.000.000 }{
40.000 } \\ & = 20.000
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 20.000$
6. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
$\dfrac{175}{9}=p+\dfrac{1}{q+\dfrac{1}{r}}$ dan $p,q,r$ bilangan bulat positif. Nilai $p+q+r$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 23 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 25 \\ (D)\ & 30
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu sedikit catatan tentang
menyederhanakan pecahan.
$\begin{align}
\dfrac{175}{9} & = p+\dfrac{1}{q+\dfrac{1}{r}} \\ \dfrac{175}{9}
& = 19+\dfrac{4}{9} \\ & = 19+\dfrac{1}{\dfrac{9}{4}} \\ & =
19+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{4}} \\ p+q+r& = 19+2+4 \\ & = 25
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 20.000$
7. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Jika $(3ax+2y)(2x-by)=cx^{2}-14xy-6y^{2}$ maka nilai dari $10c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 100 \\ (B)\ & 120 \\ (C)\ & 140 \\ (D)\ & 160
\end{align}$
$\begin{align}
(3ax+2y)(2x-by) & = cx^{2}-14xy-6y^{2} \\ 6ax^{2}-3abxy+4xy-2by^{2}
& = cx^{2}-14xy-6y^{2} \\ 6ax^{2}-(3ab-4)xy-2by^{2} & =
cx^{2}-14xy-6y^{2}
\end{align}$
Kesimpulan yang dapat kita ambil dari persamaan di atas adalah:
- $-2b=-6$ maka $b=3$
- $-(3ab-4)=-14$ maka $ 9a -4 =14$, $a=\dfrac{18}{9}=2$
- $6a=c$ maka $c=12$ dan nilai $10c=120$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 120$
8. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Jika $x+1=y$ maka hasil dari $(y-x)^{2017}+(x-y)^{2016}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2
\end{align}$
pada soal disampaikan bahwa $x+1=y$ sehingga $x-y=-1$ atau $y-x=1$
$\begin{align}
& (y-x)^{2017}+(x-y)^{2016} \\ & = (1)^{2017}+(-1)^{2016} \\
& = 1+1=2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2$
9. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Luas sebuah persegi panjang adalah $3^{20}\ cm^{2}$ dan panjangnya $3^{22}\ cm$, maka lebar persegi panjang adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{6} \\ (C)\ & \dfrac{1}{9} \\ (D)\ & \dfrac{1}{17}
\end{align}$
Luas persegi panjang adalah $L=p \times l$ sehingga
$\begin{align}
l & = \dfrac{L}{p} \\ & = \dfrac{3^{20}}{3^{22}} \\ & =
3^{20-22} \\ & = 3^{-2} \\ & = \dfrac{1}{3^{2}} =
\dfrac{1}{9}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{9}$
10. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku dengan panjang sisi $a,b,c$. Jika diketahui $a+b=18\ cm$, $b+c=17\ cm$, $c+a=25\ cm$, maka luas segitiga $ABC$ adalah...$cm^{2}$
$\begin{align}
(A)\ & 30 \\ (B)\ & 68 \\ (C)\ & 153 \\ (D)\ & 169
\end{align}$
$ABC$ adalah segitiga siku-siku dan $a+b=18\ cm$, $b+c=17\ cm$, $c+a=25\
cm$
$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 18 & \\ b+c = 17 & \\ c+a = 25 & + \\ \hline
2a+2b+2c = 60 \\ a+ b+ c = 30
\end{array} $
- Karena $a+ b+ c = 30$ dan $a+b=18$ maka $c=12$
- Karena $a+ b+ c = 30$ dan $b+c=17$ maka $a=13$
- Karena $a+ b+ c = 30$ dan $b+c=25$ maka $b=5$
$\begin{align}
[ABC] & = \dfrac{1}{2} \times b \times c \\ & = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 12 \\ & = 30
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 30$
11. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Koefisien dari $x^{2}$ pada $(3x-2)^{7}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6048 \\ (B)\ & 1344 \\ (C)\ & -1344 \\ (D)\ & -6048
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu kita ingat sedikit tentang kaidah
pencacahan khususnya kombinasi yaitu binom newton.
$(a+b)^{n}= \begin{pmatrix}
n\\0
\end{pmatrix} a^{n}+\begin{pmatrix}
n\\1
\end{pmatrix} a^{n-1}b^{1}+\begin{pmatrix}
n\\2
\end{pmatrix} a^{n-2}b^{2}+\cdots+\begin{pmatrix}
n\\n-1
\end{pmatrix} a^{1}b^{n-1}+\begin{pmatrix}
n\\n
\end{pmatrix} b^{n}$
$=\begin{pmatrix}
n\\r
\end{pmatrix}=C(n,r)=\dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$
Koefisien dari $x^{2}$ pada $(3x-2)^{7}$ kita peroleh saat
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
7\\2
\end{pmatrix} (3x)^{2}(-2)^{5} & = \dfrac{7!}{2! \cdot (7-2)!}
9x^{2}(-32) \\ & = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot (5)!}
9x^{2}(-32) \\ & = \dfrac{7 \cdot 6 }{2} 9x^{2}(-32) \\ & = 21
\times 9x^{2}(-32) \\ & = -6048 x^{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6048$
12. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Barisan simbol berulang $O,S,N,M,A,T,E,M,A,T,I,K,A,$$G,R,O,B,O,G,A,N,2,0,1,7,\cdots$ Urutan ke-2017 akan muncul simbol...
$\begin{align}
(A)\ & A \\ (B)\ & B \\ (C)\ & T \\ (D)\ & M
\end{align}$
Susunan huruf akan berulang kembali sampai seterusnya
$O,S,N,M,A,T,E,M,A,T,I,K,A,$$G,R,O,B,O,G,A,N,2,0,1,7,\cdots$ dan susunan
huruf terdiri dari $25$ huruf. Ini menunjukkan bahwa setiap susunan
huruf urutan $1-25$ sama dengan $26-50$, $51-75$ dan seterusnya...
Konsep yang dipakai sama dengan mencari hari lahir atau $1000$ lagi hari
apa, yaitu dengan modulo atau sisa hasil bagi.
$2017 \div 25= 80~~\text{sisa }\ 17$
Sehingga pengulangan susunan huruf urutan ke-2017 sama dengan urutan
ke-17 yaitu $B$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ B$
13. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Diketahui $\sqrt{10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}}}=20$, nilai dari $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 38 \\ (B)\ & 37 \\ (C)\ & 35 \\ (D)\ & 30
\end{align}$
Untuk mencoba menyelesaikan soal bentuk akar ini, kita coba dengan
mengkuadratkan ruas kiri dan ruas kanan, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
\sqrt{10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}}} & = 20 \\
10a+\sqrt{10a+\sqrt{10a+\cdots}} & = (20)^{2} \\ 10a+20 & = 400
\\ 10a & = 400-20 \\ a & = \dfrac{380}{10}=38
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 38$
14. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Sisa dari $2^{7}+0^{6}+1^{5}+7^{4}$ dibagi $7$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3
\end{align}$
Untuk mencoba menyelesaikan soal sisa pemabgian di atas bisa dikerjakan
dengan manual yaitu dengan menghitung langsung (*karena masih
memungkinkan) atau
menggunakan modulo.
Sisa $2^{7}$ dibagi $7$ adalah...
$\begin{align}
\left( 2 \right )^{7} & = \left( 2^{3} \right)^{2} \cdot 2^{1} \\
& = \left( 8 \right)^{2} \cdot 2^{1} \\ & \equiv \left( 1
\right)^{2} \cdot 2^{1}\ mod\ \left ( 7 \right ) \\
& \equiv 1 \cdot 2\ mod\ \left ( 7 \right ) \\ & \equiv 2\ mod\
\left ( 7 \right )
\end{align}$
- Sisa $2^{7}$ dibagi $7$ adalah $2$
- Sisa $0^{6}$ dibagi $7$ adalah $0$
- Sisa $1^{5}$ dibagi $7$ adalah $1$
- Sisa $7^{4}$ dibagi $7$ adalah $0$
- Sisa dari $2^{7}+0^{6}+1^{5}+7^{4}$ dibagi $7$ adalah $2+0+1+0=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$
15. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Diketahui $P=10^{5}+10^{6}+10^{7}+\cdots+10^{2017}$ jumlah semua digit dari $P$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2012 \\ (B)\ & 2013 \\ (C)\ & 2014 \\ (D)\ & 2015
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal di atas, masalah coba kita sederhanakan
hanya
$P=10^{5}+10^{6}+10^{7}$ jumlah semua digit dari $P$ adalah
$\begin{align}
10^{5} & = 100.000 \\ 10^{6} & = 1.000.000 \\ 10^{7} & =
10.000.000 \\ (P)\ & =11.100.000
\end{align}$
Jumlah digit $P$ adalah $1+1+1+0=3$ atau ekuivalen dengan $7-5+1=3$.
Sehingga untuk soal $P=10^{5}+10^{6}+10^{7}+\cdots+10^{2017}$
Jumlah digit $P$ adalah $2017-5+1=2013$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2013$
16. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Rata-rata usia tiga mahasiswa S2 adalah $26$ tahun, usia mereka tidak lebih darai $30$ tahun. Usia terendah yang mungkin dari mahasiswa tersebut adalah...tahun
$\begin{align}
(A)\ & 26 \\ (B)\ & 24 \\ (C)\ & 20 \\ (D)\ & 18
\end{align}$
Rata-rata untuk tiga mahasiswa kita tuliskan dalam bentuk sebagai
berikut:
$\begin{align}
\overline{x} & = \dfrac{a+b+c}{3} \\ 26 & = \dfrac{a+b+c}{3} \\
78 & = a+b+c
\end{align}$
Jumlah usia ketiga mahasiswa adalah $78$ dan usia mereka tidak lebih
dari $30$.
Untuk mencari usia terendah yang mungkin maka kita anggap dua mahasiswa
usianya adalah $30$ sehingga $30+30+c=78$, $c=18$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 18$
17. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Panjang hipotenusa nya $8\ cm$ dan $a+b=\sqrt{108}$. Luas segitiga $ABC$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 11 \\ (B)\ & 22 \\ (C)\ & 33 \\ (D)\ & 44
\end{align}$
Segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C$ sehingga sisi $c=8$ dan
sisi $a$ dan $b$ adalah sisi-sisi siku yang dapat kita jadikan sebagai
alas atau tinggi segitga.
Teorema Pythagoras juga dapat kita terapkan pada segitiga siku-siku
$ABC$.
c^{2} & = a^{2}+b^{2} \\ 8^{2} & = \left( a+b \right)^{2} -2ab \\ 64 & = \left( \sqrt{108} \right)^{2} -2ab \\ 64 & = 108 -2ab \\ 2ab & = 108 - 64 \\ 2ab & = 44 \\ ab & = 22 \\ [ABC] & = \dfrac{1}{2} ab \\ & = \dfrac{1}{2} 22 \\ & = 11
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 11$
18. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Hasil dari $201.720.172.017$$ \times 201.720.172.017-$$201.720.172.016\times$$201.720.172.018$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2
\end{align}$
Soal diatas adalah dua perkalian bilangan yang sangat besar, sehingga
tidak mungkin kita kerjakan secara manual.
Bentuk soal sedikit kita modifikasi dengan memisalkan
$A=201.720.172.017$
$\begin{align}
& A \times A - (A-1) \times (A+1) \\ & =A^{2} - \left( A^{2}-1
\right) \\ & =A^{2} - A^{2}+1 \\ & = 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
19. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Jika $x^{2}=8y+89$ dan $y^{2}=8x+89$ maka nilai $xy$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 25 \\ (B)\ & 17 \\ (C)\ & -17 \\ (D)\ & -25
\end{align}$
$\begin{align}
x^{2} - y^{2} & = (8y+89) - (8x+89) \\ (x+y)(x-y) & = 8y+89 -
8x-89 \\ (x+y)(x-y) & = 8(y - x) \\ (x+y)(x-y) & = -8(x - y) \\
(x+y) & = -8 \\ (x+y)^{2} & = (-8)^{2} \\ x^{2}+y^{2}+2xy &
= 64 \\ 8y+89 + 8x+89+2xy & = 64 \\ 8(y+x)+ 2xy & = 64-178 \\
8(-8)+ 2xy & = -114 \\ 2xy & = -114+64 \\ xy & =
\dfrac{-50}{2}=-25
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -25$
20. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Diketahui sebuah bola berada di dalam sebuah kubus. Kulit bola menyentuh seluruh sisi kubus, jika panjang diagonal ruang kubus $\sqrt{192}\ cm$, maka luas kulit bola yang terdapat di dalam kubus tersebut adalah...$cm^{2}$
$\begin{align}
(A)\ & 144\ \pi \\ (B)\ & 108\ \pi \\ (C)\ & 64\ \pi \\ (D)\ & 36\ \pi
\end{align}$
Panjang diagonal ruang kubus adalah $\sqrt{192}=8\sqrt{3}$ maka panjang
rusuk kubus adalah $8\ cm$.
Dikatakan bahwa kulit bola menyentuh sisi kubus, sehingga diameter bola
sama dengan panjang rusuk kubus yaitu $8\ cm$.
Untuk diameter $8$ maka $r=4$, Luas kulit bola adalah...
$\begin{align}
L_{bola} & = 4\ \pi\ \ r^{2} \\ & = 4\ \pi\ 4^{2} \\ & = 4\
\pi\ 16 \\ & = 64\ \pi
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 64\ \pi$
21. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Suatu garis lurus melalui titik $(a,-9)$ dan $(7,a)$. Jika gradien garis tersebut nilainya sama dengan $a$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & -3
\end{align}$
Gradien Persamaan Garis jika melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan
$(x_{2},y_{2})$ maka $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
Garis lurus melalui titik $(a,-9)$ dan $(7,a)$
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ a & = \dfrac{a-(-9)}{7-a} \\ a
& = \dfrac{a+9}{7-a} \\ a(7-a) & = a+9 \\ 7a-a^{2} & = a+9
\\ a^{2}-6a+9 & = 0 \\ (a-3)(a-3) & = 0 \\ a=3\ &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 3$
22. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Pada sebuah mesin terdapat roda gigi $A$, $B$ dan $C$ yang saling mengkait dan masing-masing berturut-turut memiliki $45$ gigi, $15$ gigi dan $30$ gigi. Jika roda gigi $B$ berputar $42$ kali, maka selisih banyaknya putaran roda gigi $A$ dan $C$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 7 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 13
\end{align}$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $3 \times$ maka roda $A: 1 \times$ dan $C: 1,5 \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $6 \times$ maka roda $A: 2 \times$ dan $C: 3 \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $9 \times$ maka roda $A: 3 \times$ dan $C: 4,5 \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $12 \times$ maka roda $A: 4 \times$ dan $C: 6 \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $a \times$ maka roda $A: \dfrac{a}{3} \times$ dan $C: \dfrac{a}{2} \times$
- Jika Roda $B$ adalah $15$ gigi berputar $42 \times$ maka roda $A: \dfrac{42}{3}=14 \times$ dan $C: \dfrac{42}{2}=21 \times$
Selisih banyaknya putaran roda gigi $A$ dan $C$ adalah $21-14=7$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7$
23. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Slamet mempunyai $20$ lembar uang di dompetnya dalam bentuk pecahan $10$ ribu, $20$ ribu, dan $50$ ribu. Total jumlah uangnya adalah $500.000$, jika dia memiliki pecahan $50$ ribu lebih banyak dari pecahan $10$ ribu. Banyaknya uang pecahan $10$ ribu yang dimiliki Slamet adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5
\end{align}$
Misal banyak lembaran: $10.000=a$, $20.000=b$, $50.000=c$
$\begin{array}{c|c|cc}
10.000a+20.000 b+50.000c = 500.000 & \\ a+b+c = 20 & \\ \hline
a+2b+5c = 50 &\\ 2a+ 2b+ 2c = 40 & (-) \\ \hline
-a+3c=10
\end{array} $
Karena $3c-a=10$ dan $c \geq a$ maka nilai $a$ dan $c$ yang mungkin
adalah $c=4$ dan $a=2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$
24. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Dua botol yang berukuran sama berisi penuh dengan larutan garam. Rasio kandungan garam dan air pada botol pertama adalah $4:9$ dan pada botol kedua adalah $3:7$. Jika isi kedua botol tersebut dicampurkan, maka rasio kandungan garam dan air hasil campurannya adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{75}{181} \\ (B)\ & \dfrac{79}{181} \\ (C)\ & \dfrac{80}{181} \\ (D)\ & \dfrac{84}{181}
\end{align}$
Perbandingan Garam dan Air pada kedua botol kita misalkan:
Botol I: $\dfrac{G}{A}=\dfrac{4x}{9x}$;
Botol II: $\dfrac{G}{A}=\dfrac{3y}{7y}$;
Karena ukuran dan isi kedua botol adalah sama maka jumlah garam dan air
pada kedua botol adalah sama, sehingga berlaku:
$\begin{align}
4x+9x & = 3y+7y \\ 13x & = 10y \\ x & = \dfrac{10y}{13}
\end{align}$
Setelah kedua isi botol dicampurkan sehingga perbandingannya menjadi:
$\begin{align}
\dfrac{G}{A} & = \dfrac{4x+3y}{9x+7y} \\ & = \dfrac{4\left(
\dfrac{10y}{13} \right)+3y}{9 \left( \dfrac{10y}{13} \right)+7y} \\
& = \dfrac{ \dfrac{40y}{13}+3y}{\dfrac{90y}{13}+7y} \\ & =
\dfrac{
\dfrac{40y}{13}+\dfrac{39y}{13}}{\dfrac{90y}{13}+\dfrac{91y}{13}} \\
& = \dfrac{ \dfrac{79y}{13}}{\dfrac{181y}{13}} \\ & =
\dfrac{79y}{ 181y}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{79}{181} $
25. Soal Pra OSN-K Matematika SMP 2022
Sebuah kantong terdiri dari $4$ bola merah, $5$ bola putih dan $6$ bola hijau, akan diambil $3$ bola secara bersamaan. Banyaknya cara terambil tiga bola berwarna tidak sama adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 434 \\ (B)\ & 423 \\ (C)\ & 421 \\ (D)\ & 410
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal ini perlu sedikit memakai
kaidah pencacahan khususnya kombinasi
yaitu $C(n,r)=\dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$.
Akan dipilih $3$ dari $15$ sehingga banyak cara memilihnya
$C(15,3)=\dfrac{15!}{3! \cdot 12!}=455$.
Diantara yang $455$ itu ada yang termabil dan ketiga warnanya sama,
yaitu:
- Banyak kemungkinan $3$ merah dari $4$ merah yaitu $C(4,3)=\dfrac{4!}{3! \cdot 1!}=4$
- Banyak kemungkinan $3$ merah dari $5$ putih yaitu $C(5,3)=\dfrac{5!}{3! \cdot 2!}=10$
- Banyak kemungkinan $3$ merah dari $6$ hijau yaitu $C(6,3)=\dfrac{6!}{3! \cdot 3!}=20$
Banyaknya cara terambil tiga bola berwarna tidak sama adalah banyak kemungkinan terambil tiga bola, dan dikurangi yang terambil tiga bola warna sama yaitu $455-4-10-20=421$😊
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 421 $
0 Komentar