kombinatorika(combinatorics)-FAKTORIAL

Faktorial dalam Matematika Olimpiade adalah operasi matematika yang digunakan untuk menghitung hasil perkalian dari semua bilangan bulat positif dari 1 hingga suatu bilangan bulat positif tertentu. Simbol yang digunakan untuk merepresentasikan faktorial adalah tanda seru (!).Misalnya, faktorial dari bilangan bulat positif n, ditulis sebagai n!, didefinisikan sebagai:
n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1

Contoh penghitungan faktorial:
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
3! = 3 x 2 x 1 = 6
1! = 1

Faktorial sering digunakan dalam Matematika Olimpiade untuk menghitung kombinasi, permutasi, dan peluang.

FAKTORIAL
A. ATURAN PERKALIAN

Jika terdapat $k$ unsur yang tersedia, dengan:
$n_1=$ banyak cara untuk menyusun unsur pertama
$n_2=$ banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun
$n_3=$ banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun
$n_k=$ banyak cara untuk menyusun unsur ke- $k$ setelah objek unsur sebelumnya tersusun
Maka banyak cara untuk menyusun $k$ unsur yang tersedia adalah:
$$
n_1 \times n_2 \times n_3 \times \ldots \times n_k
$$
Contoh
1. Dari kota $\mathrm{A}$ ke kota $\mathrm{B}$ dapat ditempuh dengan 4 jalur, dari kota $\mathrm{A}$ ke kota $\mathrm{C}$ dapat ditempuh dengan 3 jalur, dari kota $\mathrm{B}$ maupun $\mathrm{C}$ ke kota $\mathrm{D}$ dapat ditempuh dengan 3 jalur, dan dari kota $B$ ke kota $C$ terhubung dengan 1 jalur. Tentukan banyak pilihan jalur dari kota $\mathrm{A}$ ke kota $\mathrm{D}$.

Jawab:
Jika dari kota A ke kota D melalui jalur B, maka banyak pilihan jalur adalah: $(4 \times 1 \times 3)+(4 \times 3)=24$ cara
Jika dari kota A ke kota D memilih jalur C, maka banyak pilihan jalur adalah: $(3 \times 1 \times 3)+(3 \times 3)=18$ cara
Jadi, banyak pilihan jalur dari kota $A$ ke kota D adalah 42 jalur.

2. Seorang manager supermarket ingin menyusun barang berdasarkan nomor seri barang. Dia ingin menyusun nomor seri dimulai dari nomor 3000 sampai dengan 8000 dan tidak memuat angka yang sama. Tentukan banyak nomor seri yang disusun dari angka $1,2,3,4,5,6,7,8$.

Jawab:
- Setiap bilangan yang berada diantara 3000 dan 8000 pastilah memiliki banyak angka yang sama yakni 4 angka:
- Untuk mengisi angka ribuan hanya dapat diisi angka $3,4,5,6,7$. Artinya terdapat 5 cara mengisi ribuan.
- Untuk mengisi ratusan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 7 kemungkinan (mengapa?)
- Untuk mengisi puluhan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 6 angka yang mungkin (mengapa?)
- Untuk mengisi satuan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 5 angka yang mungkin (mengapa?)
- Dengan demikian, banyak angka yang dapat mengisi keempat posisi tersebut adalah sebagai berikut:
\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline 5 & 7 & 6 & 5 \\
\hline
\end{array}
Banyak susunan nomor seri yang diperoleh adalah $5 \times 7 \times 6 \times 5=1.050$ cara.

B. N FAKTORIAL
Jika $n$ bilangan asli maka $n$ ! (dibaca " $n$ faktorial") didefinisikan dengan:
$$
\begin{array}{r}
n !=n \times(n-1) \times(n-2) \times(n-3) \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1 \\
n !=1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times(n-3) \times(n-2) \times(n-1) \times n
\end{array}
$$
$$
0 !=1
$$
Contoh
1. Hitunglah:
$$
\begin{aligned}
& 1 !=1 \\
& 2 !=2 \cdot 1=2 \\
& 3 !=3 \cdot 2 \cdot 1=6 \\
& 4 !=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24 \\
& 5 !=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24
\end{aligned}
$$

Soal dan Pembahasan

1. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk faktorial.

a. $7 \times 6=\dfrac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}=\dfrac{7 !}{5 !}$
b. $(6$ !) $\times 7 \times 8=8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=8$ !

2. Hitunglah:
a. $\dfrac{7 !}{4 !}=\dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 !}{4 !}=210$
b. $\dfrac{(n+2) !}{n !}=\dfrac{(n+2)(n+1) n !}{n !}=(n+2)(n+1)$
c. $\dfrac{(n-2) !}{(n+1) !}=\dfrac{(n-2) !}{(n+1)(n)(n-1)(n-2) !}=\dfrac{1}{(n+1)(n)(n-1)}$

3. Diketahui $\dfrac{14 \cdot(n-1) !(n-4) !}{5 \cdot n !(n-5) !}=\dfrac{4 !}{120}$, tentukanlah nilai $n, n$ merupakan bilangan asli.
Jawab:
$$
\begin{aligned}
\frac{14 \cdot(n-1) !(n-4) !}{5 \cdot n ! \cdot(n-5) !}=\frac{4 !}{120} & \Leftrightarrow \frac{14 \cdot(n-1) ! \cdot(n-4) !}{5 \cdot n !(n-1) ! \cdot(n-5)(n-4) !}=\frac{4 !}{120} \\
& \Leftrightarrow \frac{14}{5 \cdot n \cdot(n-5)}=\dfrac{4 !}{120} \\
& \Leftrightarrow \quad \dfrac{14}{n \cdot(n-5)}=\dfrac{5 !}{120} \\
& \Leftrightarrow \quad n^2-5 n-14=0 \\
& \Leftrightarrow \quad(n-7)(n+2)=0
\end{aligned}
$$
Diperoleh:
$n=7$ atau $n=-2$
Jadi, nilai $n$ yang memenuhi adalah 7 .

4. Nilai $\dfrac{1}{8 !}-\dfrac{2}{9 !}+\dfrac{3}{10 !}=$
Jawab:
$$
\begin{aligned}
\dfrac{1}{8 !}-\dfrac{2}{9 !}+\dfrac{3}{10 !} & =\dfrac{1 \cdot 9 \cdot 10}{10 \cdot 9 \cdot 8 !}-\dfrac{2 \cdot 10}{10 \cdot 9 !}+\dfrac{3}{10 !} \\
& =\dfrac{90}{10 !}-\dfrac{20}{10 !}+\dfrac{3}{10 !}=\dfrac{73}{10 !}
\end{aligned}
$$
Jadi, nilai $\dfrac{1}{8 !}-\dfrac{2}{9 !}+\dfrac{3}{10 !}=\dfrac{73}{10 !}$.

5. Hasil penjumlahan $1 !+2 !+3 !+\ldots+2011 !$ adalah suatu bilangan yang angka satuannya adalah ...
Jawab:
$$
\begin{aligned}
& 1 !=1 \\
& 2 !=2 \times 1 \\
& 3 !=3 \times 2 \times 1=6 \\
& 4 !=4 \times 3 \times 2 \times 1=24 \\
& 5 !=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120 \\
& 6 !=6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=720 \\
& 7 !=7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=840 \\
& \vdots \\
& 2011 !=2011 \times 2010 !=\ldots \ldots .0
\end{aligned}
$$
Dengan demikian:
$$
\begin{aligned}
& 1 !+2 !+3 !+4 !+5 !+6 !+7 !+\ldots+2011 ! \\
& \Leftrightarrow 1+2+6+24+\ldots 0+\ldots 0+\ldots 0 \\
& \Leftrightarrow 33
\end{aligned}
$$

Jadi, satuan dari hasil penjumlahan $1 !+2 !+3 !+\ldots+2011 !$ adalah 3 .