Buku online berjudul "Siap OSN Matematika SMP 2015" ini berisikan materi dasar OSN dan kumpulan soal lengkap olimpiade matematika SMP tingkat Kabupaten/Kota, Provinsi, dan Nasional berikut alternatif penyelesaiannya.-(Wahyu-Situbondo)
SELEKSI TINGKAT PROVINSI (BAGIAN A: SOAL ISIAN SINGKAT)
Jawab:
$A B=B C=A C=10 \mathrm{~cm}$
Jari-jari lingkaran $=A D=B D=B E=C E=C F=A F=E F=5 \mathrm{~cm}$
$A T=\frac{5}{2} \mathrm{~cm}$
Dapat dilihat bahwa segitiga $A B C$ bisa dibagi menjadi empat segitiga kecil yang sama.
Perhatikan segitiga kecil $A D F$ :
$$
\begin{aligned}
t_{\text {segitiga kecil}} & =\sqrt{A F^2-A T^2} \\
& =\sqrt{5^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2} \\
& =\sqrt{25-\frac{25}{4}} \\
& =\sqrt{\frac{100}{4}-\frac{25}{4}} \\
& =\sqrt{\frac{75}{4}} \\
& =\sqrt{\frac{3 \cdot 25}{4}}=\frac{5}{2} \sqrt{3} \\
L_{\text {arsiran}} & =2 \cdot L_{\text {tembereng }}+L_{\text {setengah lingkaran }} \\
& =2 \cdot\left(L_{\text {juring }} \text { DEF }+L_{\text {segitiga kecil }}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2\right) \\
& =2 \cdot\left(\frac{60}{360} \cdot \pi \cdot r^2-\frac{1}{2} \cdot E F \cdot t_{\text {segitiga kecil}}\right)+\left(\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 5^2\right) \\
& =2 \cdot\left(\frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 5^2-\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{5}{2} \sqrt{3}\right)+\left(\frac{25}{2} \cdot \pi\right) \\
& =\frac{25}{3} \cdot\left(\frac{5}{2} \pi-\sqrt{3}\right) \\
& \left.=\frac{125 \pi}{3}-\frac{25}{2} \cdot \pi-\frac{25}{4} \sqrt{3}\right)+\left(\frac{25}{2} \cdot \pi\right) \\
& =\frac{25 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{2}+\frac{25}{2} \pi
\end{aligned}
$$
Jadi, luas daerah di dalam lingkaran dan di luar segitiga adalah $\frac{25}{3}\left(\frac{5}{2} \pi-\sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^2$.
2. Rata-rata dari 25 siswa adalah 40 . Jika selisih rata-rata nilai 5 siswa terendah dan 20 siswa sisanya adalah 25 , maka rata-rata nilai 5 siswa terendah adalah ....
Jawab:
Misal:
$\bar{x}_a=$ rata-rata nilai 5 siswa terendah
$$
\begin{aligned}
& n_a=\text { banyaknya siswa pada } \bar{x}_a \\
& n_b=\text { rata-rata nilai } 20 \text { siswa lainnya } \\
& \bar{x}_b=\text { banyanya siswa pada } \bar{x}_b
\end{aligned}
$$
Diketahui:
$$
\begin{aligned}
& n=25 \\
& \bar{x}_{\text {gabungan}}=40 \\
& n_a=5 \text { dan } n_{\mathrm{b}}=20 \\
& \bar{x}_0-\bar{x}_a=25 \rightarrow \bar{x}_b=25+\bar{x}_a \\
& \bar{x}_{\text {gabungan}}=\frac{n_a \cdot \overline{x_a}+n_b \cdot \overline{x_b}}{n_a+n_b} \\
& 40=\frac{5 \cdot \overline{x_\alpha}+20 \cdot\left(25+\overline{x_\alpha}\right)}{5+20} \\
& 40=\frac{5 \overline{x_a}+20 \cdot\left(25+\overline{x_a}\right)}{25} \\
& 40=\frac{5 \overline{x_a}+500+200 \overline{x_a}}{25} \\
& 40 \cdot 25=25 \bar{x}_a+500 \\
& 1000=25 \bar{x}_a+500 \\
& 25 \bar{x}_a=1000-500 \\
& \bar{x}_a=\frac{500}{25}=20 \\
&
\end{aligned}
$$
Jadi, rata-rata nilai 5 siswa terendah adalah adalah 20 .
3. Dalam sebuah kotak terdapat beberapa bola dengan empat macam warna yakni: biru, merah, kuning, dan putih. Paling sedikit terdapat 10 bola untuk masing-masing warna. Bola diambil satu demi satu dari dalam kotak tersebut secara acak tanpa pengembalian. Banyak pengambilan yang harus dilakukan untuk memastikan mendapatkan 6 bola dengan wama sama adalah ...
Jawab:
Diketahui:
4 bola: biru, merah, kuning, putih $\rightarrow$ paling sedikit terdapat 10 bola sewarna
Dengan menggunakan Pigeon Hole Principle (Prinsip Sangkar Bunung), bisa diperoleh pernyataan:
Jika diambil 21 bola dengan 4 warna yang berbeda, maka paling tidak terdapat 6 bola yang sewama.
Jadi, banyak pengambilan yang harus dilakukan untuk memastikan mendapatkan 6 bola dengan warna sama adalah 21.
4. Jika $\frac{x^3+3 x^2 y}{x+3 y}-\frac{27 y^3+9 x y^2}{3 y+x}=x+3 y$, maka nilai $x=$
Jawab:
$$
\begin{array}{r}
\frac{x^3+3 x^2 y}{x+3 y}-\frac{27 y^3+9 x y^2}{3 y+x}=x+3 y \\
\frac{x^2(x+3 x y)}{x+3 x y}-\frac{9 y^2(3 y+x)}{3 y+x}=x+3 y \\
x^2-9 y^2=x+3 y \\
(x-3 y) \cdot(x+3 y)=x+3 y \\
x-3 y=\frac{x+3 y}{x+3 y} \\
x-3 y=1 \\
x=1+3 y
\end{array}
$$
Jadi, nilai $x=1+3 y$.
5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan di bawah adalah ...
$$
\frac{x^4-2 x^5-2 x^2-1}{x^2-1} \geq 1
$$
Jawab:
Pertidaksamaan $\frac{x^4-2 x^3-2 x^2-1}{x^2-1} \geq 1$ harus memenuhi:
Syarat I:
$$
\begin{aligned}
& x^2-1 \neq 0 \\
& (x+1) \cdot(x-1) \neq 0 \\
& x \neq-1 \text { atau } x \neq 1
\end{aligned}
$$
Syarat II:
$$
\begin{aligned}
& \frac{x^4-2 x^3-2 x^2-1}{x^2-1} \geq 1 \\
& \frac{(x+1) \cdot\left(x^3-3 x^2+x-1\right)}{(x+1) \cdot(x-1)} \geq 1 \\
& \frac{\left(x^3-3 x^2+x-1\right)}{(x-1)} \geq 1 \\
& x^3-3 x^2+x-1 \geq x-1 \\
& x^3-3 x^2+x-1-x+1 \geq 0 \\
& x^3-3 x^2 \geq 0 \\~~~~
& x^2 \cdot(x-3) \geq 0 \\
& x=0 \quad \text { atau } x=3 \
& \text { Hp }=\{x \leq 0 \text { atau } x \geq 3\}
\end{aligned}
$$
Pertidaksamaan $\frac{x^4-2 x^3-2 x^2-1}{x^2-1} \geq 1$ harus memenuhi syarat I dan syarat II, sehingga:
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaannya adalah $\{x \mid x \leq 0$ atau $x \geq 3$ dan $x \neq-1$ )
6. Jika nilai $100 B=100^2+99^2-98^2-97^2+96^2+95^2-94^2-93^2+\ldots+4^2+3^2$ $-2^2-1^2$, maka nilai $B$ adalah...
Jawab:
$$
\begin{aligned}
& 100 B=100^2+99^2-98^2-97^2+96^2+95^2-94^2-93^2+\ldots+4^2+3^2-2^2-1^2 \\
& 100 B=\left(100^2-98^2\right)+\left(99^2-97^2\right)+\left(96^2-94^2\right)+\left(95^2-93^2\right)+\ldots+\left(4^2-2^2\right) \\
& +\left(3^2-1^2\right) \\
& 100 B=(100-98) \cdot(100+98)+(99-97) \cdot(99+97)+(96-94) \cdot(96+94)+ \\
& (95-93) \cdot(95+93)+\ldots+(4-2) \cdot(4+2)+(3-1) \cdot(3+1) \\
& 100 B=2 \cdot 198+2 \cdot 196+2 \cdot 190+2 \cdot 188+\ldots+2 \cdot 6+2 \cdot 4 \\
& 100 B=2 \cdot(198+196+190+188+\ldots+6+4) \\
& \frac{100 B}{2}=(198+196+190+188+\ldots+6+4) \\
& 50 B=198+196+190+188+\ldots+6+4 \quad 50 \text { suku }
\end{aligned}
$$
Selanjutnya gunakan trik gauss:
$$
\begin{aligned}
50 B & =198+196+190+188+\ldots+6+4 \\
50 B & =4+6+12+14+\ldots+196+198+\ldots+202+202 \\
100 B & =202+202+202+202+\ldots \\
100 B & =50 \cdot 202 \\
B & =\frac{50 \cdot 202}{100}=101
\end{aligned}
$$
Jadi, nilai $B$ adalah 101 .
7. Sebuah drum berbentuk tabung yang berjari-jari $70 \mathrm{~cm}$ dan berisi air setinggi $40 \mathrm{~cm}$ (gunakan $\pi=\frac{22}{7}$ ). Seorang tukang pasang ubin memasukkan 110 buah ubin keramik ke dalam drum sehingga tinggi permukaan air bertambah $8 \mathrm{~cm}$. Jika permukaan setiap ubin keramik berukuran $40 \mathrm{~cm}$ x $40 \mathrm{~cm}$, berapakah tebal ubin keramik tersebut?
Jawab:
Diketahui:
$r=70 \mathrm{~cm}$
$$
\begin{aligned}
& t_{\text {air } \operatorname{mula-mula~}}=40 \mathrm{~cm} \\
& \pi=\frac{22}{7}
\end{aligned}
$$
110 buah ubin $\rightarrow$ ukuran permukaan $=40 \mathrm{~cm} \times 40 \mathrm{~cm}$
$$
t_{\text {air tambahan }}=8 \mathrm{~cm}
$$
V110 ubin $=\mathrm{V}$ air tambahan
$$
\begin{aligned}
110 \cdot 40 \cdot 40 \cdot t_{\text {ubin }} & =\pi \cdot r^2 \cdot t_{\text {air tambahan }} \\
110 \cdot 40 \cdot 40 \cdot t_{\text {ubin }} & =\frac{22}{7} \cdot 70^2 \cdot 8 \\
t_{\text {ubin }} & =\frac{\frac{22}{7} \cdot 70^2 \cdot 8}{110 \cdot 40 \cdot 40} \\
t_{\text {ubin}} & =0,7 \mathrm{~cm}
\end{aligned}
$$
Jadi, tebal ubin keramik tersebut adalah $0,7 \mathrm{~cm}$.
8. Diketahui $n$ bilangan bulat positif. Jika $n$ ditambahkan angka-angka pembentuknya menghasilkan 313 , maka semua nilai $n$ yang mungkin adalah
Jawab:
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline n=a b c & a+b+c & a b c+a+b+c \\
\hline 289 & 19 & 308 \\
\hline 295 & 16 & 311 \\
\hline 296 & 17 & 313 \\
\hline 305 & 8 & 313 \\
\hline 310 & 4 & 314 \\
\hline
\end{array}
Jadi, semua nilai $n$ yang mungkin adalah 296 dan 305 .
9. Diketahui dua buah himpunan $A$ dan $B$ dengan $A=\{(x, y) \mid
1987 \leq y \leq x \leq 2013$ dengan $x$ dan $y$ bilangan bulat $\}$ dan
$A=\{(x, y) \mid y \leq 2013-x$ dengan $x$ dan $y$ bilangan bulat $\}$.
Banyaknya anggota himpunan $A-B$ adalah ...
Jawab:
$A-B=\{(x, y)(x, y) \in A$ dan $(x, y) \notin A \cap B\}$
Mencari anggota A:
$$
\begin{aligned}
& A=\{(x, y) 1987 \leq y \leq x \leq 2013 \text { dengan } x \text { dan } y \text { bilangan bulat }\} \\
& =\{(1987,1988), \ldots,(1987,2013) \rightarrow 26 \text { anggota } \\
& (1988,1989), \ldots,(1988,2013) \rightarrow 25 \text { anggota } \\
& (1989,1990), \ldots,(1989,2013) \rightarrow 24 \text { anggota } \\
& (1989,2013)\} \quad \rightarrow \quad 1 \text { anggota } \\
& n(A)=1+2+3+\ldots+24+25+26 \rightarrow \text { deret aritmatika } \\
& =\frac{26}{2} \cdot(26+1) \\
& =13 \times 27=351 \\
&
\end{aligned}
$$
Mencari anggota $A \cap B$ :
$$
A \quad \rightarrow \quad 1987 \leq y<x \leq 2013
$$
$$
\begin{gathered}
A=\{(1987,1988), \ldots,(2012,2013)\} \\
B \quad \rightarrow \quad y \leq 2013-x \\
y+x \leq 2013
\end{gathered}
$$
untuk $x$ dan $y$ bilangan bulat positif pada $B$, maka diperoleh:
$$
B=\{(0,2013), \ldots,(1006,1007), \ldots\}
$$
Sehingga:
$$
\begin{aligned}
& A-B=\{(x, y)(x, y) \in A \text { dan }(x, y) \notin A \cap B\} \\
& A-B=A \\
& n(A-B)=n(A) \\
&=351
\end{aligned}
$$
Jadi, anyaknya anggota himpunan $A-B$ adalah 351 .
10. Tim sepakbola terdiri atas 25 orang, masing-masing diberi kaos bernomor 1 sampai dengan 25. Banyak cara memilih tiga pemain secara acak dengan syarat jumlah nomor kaos mereka habis dibagi tiga adalah ...
Jawab:
Hal yang perlu diperhatikan dalam pemilihan tiga pemain secara acak adalah:
1. Tidak memperhatikan urutan pemilihan
2. Tiga pemain yang dipilih, jumlah nomor kaosnya harus bisa dibagi tiga \{dengan demikian kemungkinan jumlahnya: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, $30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75$
3. Karena hanya ada satu kaos dari nomor 1 sampai 25. Jadi tidak bolah ada nomor yang sama.
\begin{array}{|c|c|}
\hline \text{Jumlah nomor kaos} & \text{Banyak penyusunan} \\
\hline 3 & 0 \\
\hline 6 & 1 \\
\hline 9 & 3 \\
\hline 12 & 7 \\
\hline 15 & 12 \\
\hline 18 & 19 \\
\hline 21 & 27 \\
\hline 24 & 37 \\
\hline 27 & 48 \\
\hline 30 & 59 \\
\hline 33 & 66 \\
\hline 36 & 71 \\
\hline 39 & 72 \\
\hline 42 & 71 \\
\hline 45 & 66 \\
\hline 48 & 59 \\
\hline 51 & 48 \\
\hline 54 & 37 \\
\hline 57 & 27 \\
\hline 60 & 19 \\
\hline 63 & 12 \\
\hline 66 & 7 \\
\hline 69 & 3 \\
\hline 72 & 1 \\
\hline 75 & 0 \\
\hline Jumlah & 772 \\
\hline
\end{array}
Jadi, banyak cara memilih tiga pemain secara acak dengan syarat jumlah nomor kaos mereka habis dibagi tiga adalah 772 .
Banyaknya anggota himpunan $A-B$ adalah ...
Jawab:
$A-B=\{(x, y)(x, y) \in A$ dan $(x, y) \notin A \cap B\}$
Mencari anggota A:
$$
\begin{aligned}
& A=\{(x, y) 1987 \leq y \leq x \leq 2013 \text { dengan } x \text { dan } y \text { bilangan bulat }\} \\
& =\{(1987,1988), \ldots,(1987,2013) \rightarrow 26 \text { anggota } \\
& (1988,1989), \ldots,(1988,2013) \rightarrow 25 \text { anggota } \\
& (1989,1990), \ldots,(1989,2013) \rightarrow 24 \text { anggota } \\
& (1989,2013)\} \quad \rightarrow \quad 1 \text { anggota } \\
& n(A)=1+2+3+\ldots+24+25+26 \rightarrow \text { deret aritmatika } \\
& =\frac{26}{2} \cdot(26+1) \\
& =13 \times 27=351 \\
&
\end{aligned}
$$
Mencari anggota $A \cap B$ :
$$
A \quad \rightarrow \quad 1987 \leq y<x \leq 2013
$$
$$
\begin{gathered}
A=\{(1987,1988), \ldots,(2012,2013)\} \\
B \quad \rightarrow \quad y \leq 2013-x \\
y+x \leq 2013
\end{gathered}
$$
untuk $x$ dan $y$ bilangan bulat positif pada $B$, maka diperoleh:
$$
B=\{(0,2013), \ldots,(1006,1007), \ldots\}
$$
Sehingga:
$$
\begin{aligned}
& A-B=\{(x, y)(x, y) \in A \text { dan }(x, y) \notin A \cap B\} \\
& A-B=A \\
& n(A-B)=n(A) \\
&=351
\end{aligned}
$$
Jadi, anyaknya anggota himpunan $A-B$ adalah 351 .
10. Tim sepakbola terdiri atas 25 orang, masing-masing diberi kaos bernomor 1 sampai dengan 25. Banyak cara memilih tiga pemain secara acak dengan syarat jumlah nomor kaos mereka habis dibagi tiga adalah ...
Jawab:
Hal yang perlu diperhatikan dalam pemilihan tiga pemain secara acak adalah:
1. Tidak memperhatikan urutan pemilihan
2. Tiga pemain yang dipilih, jumlah nomor kaosnya harus bisa dibagi tiga \{dengan demikian kemungkinan jumlahnya: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, $30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75$
3. Karena hanya ada satu kaos dari nomor 1 sampai 25. Jadi tidak bolah ada nomor yang sama.
\begin{array}{|c|c|}
\hline \text{Jumlah nomor kaos} & \text{Banyak penyusunan} \\
\hline 3 & 0 \\
\hline 6 & 1 \\
\hline 9 & 3 \\
\hline 12 & 7 \\
\hline 15 & 12 \\
\hline 18 & 19 \\
\hline 21 & 27 \\
\hline 24 & 37 \\
\hline 27 & 48 \\
\hline 30 & 59 \\
\hline 33 & 66 \\
\hline 36 & 71 \\
\hline 39 & 72 \\
\hline 42 & 71 \\
\hline 45 & 66 \\
\hline 48 & 59 \\
\hline 51 & 48 \\
\hline 54 & 37 \\
\hline 57 & 27 \\
\hline 60 & 19 \\
\hline 63 & 12 \\
\hline 66 & 7 \\
\hline 69 & 3 \\
\hline 72 & 1 \\
\hline 75 & 0 \\
\hline Jumlah & 772 \\
\hline
\end{array}
Jadi, banyak cara memilih tiga pemain secara acak dengan syarat jumlah nomor kaos mereka habis dibagi tiga adalah 772 .
Sumber :
WAHYU, Siap Olimpiade Matematika SMP, 2015
0 Komentar