Olimpiade Matematika (Mathematical Olympiad) di China merujuk pada serangkaian
kompetisi matematika tingkat tinggi yang diadakan di negara tersebut.
Olimpiade Matematika di China sangat dihormati dan dianggap sebagai salah satu
yang paling kompetitif di dunia.
Di China, ada beberapa tingkatan olimpiade matematika yang diadakan, mulai
dari tingkat sekolah dasar hingga perguruan tinggi. Olimpiade Matematika untuk
siswa sekolah dasar dikenal sebagai "Olimpiade Matematika Siswa Sekolah Dasar
China" (China Primary School Mathematics Olympiad), sedangkan untuk siswa
sekolah menengah pertama disebut "Olimpiade Matematika Siswa SMP China" (China
Junior High School Mathematics Olympiad).
Namun, yang paling terkenal dan prestisius adalah "Olimpiade Matematika China"
(China Mathematical Olympiad) yang diadakan untuk siswa sekolah menengah atas.
Acara ini diatur oleh Asosiasi Matematika dan Fisika China (China Mathematical
Society) dan telah ada sejak tahun 1986.Olimpiade Matematika China memiliki
dua tahap. Tahap pertama adalah Olimpiade Regional yang diadakan di berbagai
provinsi di seluruh China. Para siswa yang berhasil dalam tahap regional
kemudian dipilih untuk berkompetisi dalam tahap nasional, yang dikenal sebagai
Olimpiade Matematika China.
Olimpiade Matematika China sangat selektif dan hanya siswa-siswa dengan
kemampuan matematika luar biasa yang dapat mencapai tingkat ini. Acara ini
melibatkan serangkaian ujian dan tantangan matematika yang berbeda, dan
peserta yang berhasil dapat meraih penghargaan tingkat nasional.
Partisipasi dalam Olimpiade Matematika China memberikan prestise yang tinggi
kepada siswa dan dapat membuka pintu bagi mereka untuk melanjutkan studi
matematika di perguruan tinggi terkemuka di China atau di luar negeri. Selain
itu, keberhasilan dalam Olimpiade Matematika China juga dapat membantu siswa
membangun karir di bidang matematika atau sains secara umum.
CMO 2012
1. Let $x, y$ and $z$ be positive real numbers, show that $x^2+x y^2+x y z^2 \geq 4 x y z-4$.
2. For any positive integers $n$ and $k$, let $L(n, k)$ be the least common
multiple of the $k$ consecutive integers $n, n+1, \ldots, n+k-2$. Show that
for any integer $b$ there exist integers $n$ and $k$ such that $L(n, k)>b
L(n+1, k)$.
3. Let $A B C D$ be a convex quadrilateral and let $P$ be the point of intersection of $A C$ and $B D$. Suppose that $A C+A D=B C+B D$. Prove that the internal angle bisectors of $\angle A C B, \angle A D B$, and $\angle A P B$ meet at a common point.
3. Let $A B C D$ be a convex quadrilateral and let $P$ be the point of intersection of $A C$ and $B D$. Suppose that $A C+A D=B C+B D$. Prove that the internal angle bisectors of $\angle A C B, \angle A D B$, and $\angle A P B$ meet at a common point.
4. A number of robots are placed on the squares of a finite, rectangular grid of squares. A square can hold any number of robots. Every edge of the grid os classified as either possable or impassable. All edges on the boundary of the grid are impassable.
You can give any of the commands up, down, left, or right. All of the robots then simultaneously try to move in the specified direction. If the edge adjacent to a robot in that direction is passable, the robot moves across the edge and into the next square. Otherwise, the robot remains on its current square. You can the give another command of up, down, left, or rigth, the another, for as long as you want.
Suppose the fot any individual robot, and any square on the grid, there is a finite suquence of commands that will move that robot to the square. Prove tha you can also give a finite sequence of commands such that all of the robot end up on the same square at the same time.
5. A bookshelf contains $n$ volume, labelled 1 to $\mathrm{n}$ in some order. The librarian wishes to put them in the correct order as follows. The librarian selects a volume that is too far to the right, say the volume with label $k$, takes it out, and inserts it so that it is in the $k$-th place. For example, if the bookshelf contains the volumes $1,2,3,4$ in that order, the librarian could take out volume 2 and place it in the second positition. The books will then be in the correct order $1,2,3,4$.
a. Show that if this prosses is repeated, then, however the librarian makes the selections, all the volumes will eventually be in the correct order.
b. What is the largest number of steps that this procces can take?
--------------
0 Komentar