Singapore Mathematical Society, Singapore Matematical Olympiad (SMO) 2013
Saturday,
29 June 2013, 09.30 - 12.30
SMO 2013 Junior Section, Round 2, Saturday,
29 June 2013, 09.30-12.30
2. In the triangle $A B C$, points $D, E, F$ are on the sides $B C, C A$ and $A B$ respectively such that $F E$ is parallel to $B C$ and $D F$ is parallel to $C A$. Let $P$ be the intersection of $B E$ and $D F$, and $Q$ the intersection of $F E$ and $A D$. Prove that $P Q$ is parallel to $A B$.
3. Find all primes that can be written both as a sum of two primes and as a difference of two primes.
4. Let $a$ and $b$ be positive integers with $a>b>2$. Prove that $\frac{2^a+1}{2^b-1}$ is not an integer.
5. Six musicians gathered at a chamber music festival. At each scheduled concert some of the musicians played while the others listened as members of the audience. What is the least number of such concerts which would need to be scheduled so that for every two musicians each must play for the other in some concert?
Indonesian Version :
- Diketahui $a<b<c<d<e$ adalah bilangan real. Dari 10 jumlah pasangan angka-angka ini, tiga yang terkecil adalah 32, 36, dan 37 sementara dua yang terbesar adalah 48 dan 51. Temukan semua nilai mungkin dari $e$.
- Pada segitiga $ABC$, titik-titik $D, E, F$ berada pada sisi-sisi $BC, CA$, dan $AB$ secara berturut-turut, sedemikian rupa sehingga $FE$ sejajar dengan $BC$ dan $DF$ sejajar dengan $CA$. Biarkan $P$ menjadi titik potong antara $BE$ dan $DF$, dan $Q$ titik potong antara $FE$ dan $AD$. Buktikan bahwa $PQ$ sejajar dengan $AB$.
- Temukan semua bilangan prima yang dapat ditulis baik sebagai penjumlahan dua bilangan prima maupun sebagai selisih dua bilangan prima.
- Biarkan $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat positif dengan $a>b>2$. Buktikan bahwa $\frac{2^a+1}{2^b-1}$ bukan merupakan bilangan bulat.
- Enam musisi berkumpul di sebuah festival musik kamar. Pada setiap konser yang dijadwalkan, beberapa musisi tampil sementara yang lain mendengarkan sebagai anggota penonton. Berapa jumlah minimum konser yang perlu dijadwalkan sehingga setiap dua musisi harus tampil untuk yang lain dalam salah satu konser?
JUNIOR SECTION, ROUND 2 SOLUTION
1. We have 37 is either $a+d$ or $b+c$ and$$
a+b=32, \quad a+c=36, \quad c+e=48, \quad d+e=51
$$
Thus $c-b=4, d-c=3$ and $d-b=7$. Therefore $(a+b)+(d-b)=a+d=39$. Hence $b+c=37$. We thus have $a=15.5, b=16.5, c=20.5, d=23.5$ and $e=27.5$.
2. Since $F E$ is parallel to $B C$ and $D F$ is parallel to $C A$, we have the triangles $P F E$, $P D B$ and $E C B$ are similar. Also the triangles $A F Q$ and $A B D$ are similar, $F B D$ and $A B C$ are similar. It follows that
$$
\frac{D P}{P F}=\frac{B P}{P E}=\frac{B D}{D C}=\frac{B F}{F A}=\frac{D Q}{Q A}
$$
so that $P Q$ is parallel to $A B$.
------------------------------------------------------
Jika $p$ merupakan bilangan prima, maka $p>2$ dan oleh karena itu bilangan
ganjil. Untuk, $p=q-2=r+2$ di mana $q$ dan $r$ adalah bilangan prima. Jika $r
\equiv 1 \quad(\bmod 3)$, maka $p \equiv 0 \quad(\bmod 3)$ dan karena itu $p=3$
dan $r=1$ yang tidak mungkin. Jika $r \equiv 2(\bmod 3)$, maka $q \equiv 0
\quad(\bmod 3)$ dengan demikian $q=3$ dan $p=1$, jadi tidak mungkin.
Sehingga, $r \equiv 0 \quad(\bmod 3)$, yang berarti $r=3$ maka $p=5$ dan $q=7$.
Dengan demikian, $p=5$ adalah satu-satunya bilangan prima.
4. We have $a=b m+r$ where $m=\lfloor a / b\rfloor$ and $0 \leq r<b$.
Thus
$$
\frac{2^a+1}{2^b-1}=\frac{2^a-2^r}{2^b-1}+\frac{2^r+1}{2^b-1}
$$
Note that $2^a-2^r=2^r\left(2^{a-r}-1\right)=2^r\left(2^{b m}-1\right)$, and
$$
2^{b m}-1=\left(2^b\right)^m-1=\left(2^b-1\right)\left[\left(2^b\right)^{m-1}+\left(2^b\right)^{m-2}+\cdots+1\right] .
$$
Therefore $\frac{2^a-2^r}{2^b-1}$ is an integer.
Observe that if $b>2$, then $2^{b-1}(2-1)>2$, i.e.,
$$
2^r+1 \leq 2^{b-1}+1<2^b-1
$$
Therefore $\frac{2^r+1}{2^b-1}$ is not an integer. Thus $\frac{2^a+1}{2^b-1}$ is not an integer.
5. Let the musicians be $A, B, C, D, E, F$. We first show that four concerts are sufficient. The four concerts with the performing musicians: $\{A, B, C\},\{A, D, E\},\{B, D, F\}$ and $\{C, E, F\}$ satisfy the requirement. We shall now prove that 3 concerts are not sufficient. Suppose there are only three concerts. Since everyone must perform at least once, there is a concert where two of the musicians, say $A, B$, played. But they must also play for each other. Thus we have $A$ played and $B$ listened in the second concert and vice versa in the third. Now $C, D, E, F$ must all perform in the second and third concerts since these are the only times when $A$ and $B$ are in the audience. It is not possible for them to perform for each other in the first concert. Thus the minimum is 4 .
----------------------------
Diketahui musisi-musisi tersebut adalah $A, B, C, D, E, F$. Pertama, akan ditunjukkan bahwa empat konser sudah cukup. Empat konser dengan musisi-musisi yang tampil adalah : ${A, B, C},{A, D, E},{B, D, F}$, dan ${C, E, F}$ memenuhi persyaratan tersebut. Akan dibuktikan bahwa tiga konser tidak cukup. Anggap saja ada hanya tiga konser. Karena setiap orang harus tampil setidaknya sekali, ada sebuah konser di mana dua musisi, katakanlah $A$ dan $B$, tampil. Tetapi mereka juga harus tampil untuk satu sama lain. Dengan demikian, $A$ tampil dan $B$ mendengarkan dalam konser kedua dan sebaliknya dalam konser ketiga. Sekarang, $C, D, E, F$ semua harus tampil dalam konser kedua dan ketiga karena itulah satu-satunya kali ketika $A$ dan $B$ menjadi penonton. Tidak mungkin bagi mereka untuk tampil satu sama lain dalam konser pertama. Oleh karena itu, jumlah minimumnya adalah 4.
$$
\frac{2^a+1}{2^b-1}=\frac{2^a-2^r}{2^b-1}+\frac{2^r+1}{2^b-1}
$$
Note that $2^a-2^r=2^r\left(2^{a-r}-1\right)=2^r\left(2^{b m}-1\right)$, and
$$
2^{b m}-1=\left(2^b\right)^m-1=\left(2^b-1\right)\left[\left(2^b\right)^{m-1}+\left(2^b\right)^{m-2}+\cdots+1\right] .
$$
Therefore $\frac{2^a-2^r}{2^b-1}$ is an integer.
Observe that if $b>2$, then $2^{b-1}(2-1)>2$, i.e.,
$$
2^r+1 \leq 2^{b-1}+1<2^b-1
$$
Therefore $\frac{2^r+1}{2^b-1}$ is not an integer. Thus $\frac{2^a+1}{2^b-1}$ is not an integer.
5. Let the musicians be $A, B, C, D, E, F$. We first show that four concerts are sufficient. The four concerts with the performing musicians: $\{A, B, C\},\{A, D, E\},\{B, D, F\}$ and $\{C, E, F\}$ satisfy the requirement. We shall now prove that 3 concerts are not sufficient. Suppose there are only three concerts. Since everyone must perform at least once, there is a concert where two of the musicians, say $A, B$, played. But they must also play for each other. Thus we have $A$ played and $B$ listened in the second concert and vice versa in the third. Now $C, D, E, F$ must all perform in the second and third concerts since these are the only times when $A$ and $B$ are in the audience. It is not possible for them to perform for each other in the first concert. Thus the minimum is 4 .
----------------------------
Diketahui musisi-musisi tersebut adalah $A, B, C, D, E, F$. Pertama, akan ditunjukkan bahwa empat konser sudah cukup. Empat konser dengan musisi-musisi yang tampil adalah : ${A, B, C},{A, D, E},{B, D, F}$, dan ${C, E, F}$ memenuhi persyaratan tersebut. Akan dibuktikan bahwa tiga konser tidak cukup. Anggap saja ada hanya tiga konser. Karena setiap orang harus tampil setidaknya sekali, ada sebuah konser di mana dua musisi, katakanlah $A$ dan $B$, tampil. Tetapi mereka juga harus tampil untuk satu sama lain. Dengan demikian, $A$ tampil dan $B$ mendengarkan dalam konser kedua dan sebaliknya dalam konser ketiga. Sekarang, $C, D, E, F$ semua harus tampil dalam konser kedua dan ketiga karena itulah satu-satunya kali ketika $A$ dan $B$ menjadi penonton. Tidak mungkin bagi mereka untuk tampil satu sama lain dalam konser pertama. Oleh karena itu, jumlah minimumnya adalah 4.
--------------------------
0 Komentar