Padahal sudah dipahami rumus, cara menghitung, menyelesaikan, mengerjakan, atau mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran. Lalu mengapa?
Masalahnya terletak pada persamaan kuadrat yang tidak bisa diselesaikan dengan cara faktorisasi, tapi “mungkin” saja bisa diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.
Cara Penyelesaian
Konsep dasar dari metode melengkapkan persamaan kuadrat sempurna adalah merubah persamaan kuadrat: $ax^2 + bx + c = 0$.
Menggunakan dua sifat utama kuadrat sempurna: $x^2 + 2dx + d^2 = (x+d)^2 = 0$ dan $x^2 – 2dx + d^2 =(x – d)^2 = 0$.
Menjadi bentuk umum melengkapkan persamaan kuadrat sempurna:
$(x + p)^2 = q$, atau $(x – p)^2 = q$, untuk $q ≥ 0$.
Berikut ini prosedur menentukan akar-akar persamaan kuadrat cara melengkapi bentuk kuadrat sempurna.
$\begin{aligned}
ax^2+bx+c=0\;(\div a)\\
\frac{a}{a}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}\\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{c}{a}=0-\frac{c}{a}\\
x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2=-\frac{c}{a}+(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2\\ x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\\
Jika; ~(\frac{b}{2a})=p\\
maka; ~x^2+2px+p^2=-\frac{c}{a}+p^2\\
Jika~ -\frac{c}{a}+p^2=q,
maka~~(x+p)^2=q\\
\sqrt{(x+p)^2}=\pm\sqrt{q}\\
x+p=\sqrt{q}\mapsto x=-p+\sqrt{q}\\
x+p=-\sqrt{q}\mapsto x=-p-\sqrt{q}
\end{aligned}$
Dari prosedut tersebut, jika diuraikan maka cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna:
$\bullet$ Dibagi koefisien a
$\bullet$ Konstanta $\frac{c}{a}$ pindah ruas
$\bullet$ Ditambah konstanta $p^2$
$\bullet$ Sifat utama
$\bullet$ Diakar pangkatkan
$\bullet$ Akar $x_1$ dan $ x_2$
Semua persamaan kuadrat yang bisa diselesaikan dengan cara memfaktorkan, juga bisa diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, seperti contoh 4 dibawah.
Akan tetapi, akar-akar persamaan kuadrat yang diperoleh dari melengkapkan kuadrat sempurna belum tentu bisa dicari dengan cara pemfaktoran.
Misalnya tiga contoh soal pertama persamaan kuadrat dengan koefisien a=1, a>1, dan a<1 berikut ini.
1. Dibagi Koefisien a
Persamaan kuadrat dengan koefisien a=1 maka langkah dilanjutkan ke langkah (2) konstanta $\frac{c}{a}$ pindah ruas.
$x^2+bx+c= 0\mapsto langkah\;2$
Contoh:
Koefisien a=1
$x^2-10x+7=0\mapsto langkah\;2$
Dan jika koefisien a>1 atau a<1, maka persamaan kuadrat dibagi dengan koefisien a.
$\begin{aligned}
x^2+bx+c= 0\;(\div a)\\
\frac{a}{a}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}\\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
\end{aligned}$
Contoh:
Koefisien a>1
$\begin{aligned}
2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\
\frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\
x^2+ \frac{7}{2}x - 2 = 0
\end{aligned}$
Koefisien a<1
$\begin{aligned}
-3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\
\frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3} \\
x^2-\frac{8}{3}x+1= 0
\end{aligned}$
2. Konstanta $\frac{c}{a}$ pindah ruas
Prosedur sebenarnya adalah menambahkan kedua ruas dengan konstanta $-\frac{c}{a}$
Hanya saja langkah ini akan lebih mudah dipahami dengan cara memindahkan konstanta $\frac{c}{a}$ dari ruas kiri ke ruas kanan.
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\quad \text { Kedua Ruas } & \text { Pindah Ruas } \\
\hline
x^2+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}-\frac{c}{a}=0-\frac{c}{a} & x^2+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}=0 \\
\hline
x^2+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a} & x^2+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}\\
\hline
\end{array}
Seperti yang terlihat hasil akhirnya sama, namun cara “Pindah Ruas” jauh lebih mudah dari cara “Kedua Ruas”.
Untuk koefisien a=1, maka konstanta c yang pindah ke ruas kanan.
$x^2+bx+c= 0$
$x^2+bx= -c$
Contoh:
Koefisien a=1
$x^2-10x+7=0$
$x^2-10x=-7$
Sedangkan untuk koefisien a>1 atau a<1, maka konstanta $\frac{c}{a}$ pindah ke ruas kanan.
$\begin{aligned}
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\
x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}
\end{aligned}$
Contoh:
Koefisien a>1
$\begin{aligned}
2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\
\frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\
x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\
x^2+ \frac{7}{2}x=2
\end{aligned}$
Koefisien a<1
$\begin{aligned}
-3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\
\frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3} \\
x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\
x^2-\frac{8}{3}x=-1
\end{aligned}$
3. Ditambah konstanta $p^2$
Rumus mencari nilai $p^2$ untuk koefisien a=1, yaitu:
$p^2=(\frac{1}{2}(b))^2=(\frac{b}{2})^2$
Dan menambahkan nilai $p^2$ kedua ruas, sehingga ruas kiri persamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat sempurna.
$x^2+bx=-c$
$x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=-c+(\frac{b}{2})^2$
$ x^2+bx+p^2=-c+p^2$
Contoh:
Koefisien a=1
$\begin{aligned}
x^2-10x+7=0\\
x^2-10x=-7\\
b=-10\mapsto p^2=(\frac{b}{2})^2=(\frac{-10}{2})^2=(-5)^2\\
x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2
\end{aligned}$
Kemudian rumus nilai $p^2$ untuk koefisien a>1 dan a<1:
$p^2=(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2=(\frac{b}{2a})^2$
Tambahkan nilai $p^2$ ke ruas kiri dan kanan.
$\begin{aligned}
x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \\
x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \\
x^2+\frac{b}{a}x+p^2=-\frac{c}{a}+p^2
\end{aligned}$
Contoh:
Koefisien a>1
$\begin{aligned}
2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\
\frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\
x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\
x^2+ \frac{7}{2}x=2\\
a=2,\;b=7\\
p^2=(\frac{b}{2a})^2=(\frac{7}{2(2)})^2=(\frac{7}{4})^2\\
x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2
\end{aligned}$
Koefisien a<1
$\begin{aligned}
\ -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\
\frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\
x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\
x^2-\frac{8}{3}x=-1\\
a=-3,\;b=8\\
p^2=(\frac{b}{2a})^2=(\frac{8}{2(-3)})^2=(-\frac{8}{6})^2\\
x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2
\end{aligned}$
4. Sifat utama
Dua sifat utama melengkapi persamaan kuadrat sempurna, yaitu:
$x^2 + 2px + p^2 = (x + p)^2 = q, q ≥ 0$ … Sifat (1)
$x^2 + 2(-p)x + (-p)^2 = (x – p)^2 = q, q ≥ 0$ ….. Sifat (2)
Namun, jika cara tersebut membingungkan maka khusus untuk koefisien $a=1$ bisa menggunakan cara pemfaktoran.
Contoh koefisien a=1
Prosedur Sifat Utama
$\begin{aligned}
x^2-10x+7=0\\
x^2-10x=-7\\
x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ p=-5\mapsto 2p=2(-5)=-10\\
x^2+ 2(-p)x+(-p)^2=(x-p)^2=q\\
x^2+2(-5)x+(-5)^2=-7+25\\ (x-5)^2=18
\end{aligned}$
Prosedur Pemfaktoran
$\begin{aligned}
x^2-10x+7=0\\
x^2-10x=-7\\
x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\
x^2-10x+25=-7+25\\
(x-5)(x-5)=18\\
(x-5)^2=18
\end{aligned}$
Sedangkan untuk koefisien a>1 dan a<1, sebaiknya gunakan sifat utama.
Contoh:
Koefisien a>1
$\begin{aligned}
2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\
\frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\
x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\
x^2+ \frac{7}{2}x=2\\
x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2\\
p=\frac{7}{4}\mapsto 2p=2(\frac{7}{4})=\frac{7}{2}\\
x^2+ 2px+p^2=(x+p)^2=q\\
x^2+ 2(\frac{7}{4})x+(\frac{7}{4})^2=2+\frac{49}{16}\\
(x+\frac{7}{4})^2=\frac{32}{16}+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}
\end{aligned}$
Koefisien a<1
$\begin{aligned}
-3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\
\frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\
x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\
x^2-\frac{8}{3}x=-1\\
x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2\\
p=-\frac{8}{6}\mapsto 2p=2(-\frac{8}{6})=-\frac{8}{3}\\
x^2+ 2(-p)x+(-p)^2=(x-p)^2=q\\
x^2+2(-\frac{8}{6})x+(-\frac{8}{6})^2=-1+\frac{64}{36}\\
(x-\frac{8}{6})^2=-\frac{36}{36}+\frac{64}{36}=\frac{28}{36}
\end{aligned}$
5. Akar pangkatkan kedua ruas
Mengakar pangkatkan kedua ruas:
ax^2+bx+c=0\;(\div a)\\
\frac{a}{a}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}\\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{c}{a}=0-\frac{c}{a}\\
x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2=-\frac{c}{a}+(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2\\ x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\\
Jika; ~(\frac{b}{2a})=p\\
maka; ~x^2+2px+p^2=-\frac{c}{a}+p^2\\
Jika~ -\frac{c}{a}+p^2=q,
maka~~(x+p)^2=q\\
\sqrt{(x+p)^2}=\pm\sqrt{q}\\
x+p=\sqrt{q}\mapsto x=-p+\sqrt{q}\\
x+p=-\sqrt{q}\mapsto x=-p-\sqrt{q}
\end{aligned}$
Dari prosedut tersebut, jika diuraikan maka cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna:
$\bullet$ Dibagi koefisien a
$\bullet$ Konstanta $\frac{c}{a}$ pindah ruas
$\bullet$ Ditambah konstanta $p^2$
$\bullet$ Sifat utama
$\bullet$ Diakar pangkatkan
$\bullet$ Akar $x_1$ dan $ x_2$
Semua persamaan kuadrat yang bisa diselesaikan dengan cara memfaktorkan, juga bisa diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, seperti contoh 4 dibawah.
Akan tetapi, akar-akar persamaan kuadrat yang diperoleh dari melengkapkan kuadrat sempurna belum tentu bisa dicari dengan cara pemfaktoran.
Misalnya tiga contoh soal pertama persamaan kuadrat dengan koefisien a=1, a>1, dan a<1 berikut ini.
1. Dibagi Koefisien a
Persamaan kuadrat dengan koefisien a=1 maka langkah dilanjutkan ke langkah (2) konstanta $\frac{c}{a}$ pindah ruas.
$x^2+bx+c= 0\mapsto langkah\;2$
Contoh:
Koefisien a=1
$x^2-10x+7=0\mapsto langkah\;2$
Dan jika koefisien a>1 atau a<1, maka persamaan kuadrat dibagi dengan koefisien a.
$\begin{aligned}
x^2+bx+c= 0\;(\div a)\\
\frac{a}{a}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}\\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
\end{aligned}$
Contoh:
Koefisien a>1
$\begin{aligned}
2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\
\frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\
x^2+ \frac{7}{2}x - 2 = 0
\end{aligned}$
Koefisien a<1
$\begin{aligned}
-3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\
\frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3} \\
x^2-\frac{8}{3}x+1= 0
\end{aligned}$
2. Konstanta $\frac{c}{a}$ pindah ruas
Prosedur sebenarnya adalah menambahkan kedua ruas dengan konstanta $-\frac{c}{a}$
Hanya saja langkah ini akan lebih mudah dipahami dengan cara memindahkan konstanta $\frac{c}{a}$ dari ruas kiri ke ruas kanan.
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\quad \text { Kedua Ruas } & \text { Pindah Ruas } \\
\hline
x^2+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}-\frac{c}{a}=0-\frac{c}{a} & x^2+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}=0 \\
\hline
x^2+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a} & x^2+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}\\
\hline
\end{array}
Seperti yang terlihat hasil akhirnya sama, namun cara “Pindah Ruas” jauh lebih mudah dari cara “Kedua Ruas”.
Untuk koefisien a=1, maka konstanta c yang pindah ke ruas kanan.
$x^2+bx+c= 0$
$x^2+bx= -c$
Contoh:
Koefisien a=1
$x^2-10x+7=0$
$x^2-10x=-7$
Sedangkan untuk koefisien a>1 atau a<1, maka konstanta $\frac{c}{a}$ pindah ke ruas kanan.
$\begin{aligned}
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\
x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}
\end{aligned}$
Contoh:
Koefisien a>1
$\begin{aligned}
2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\
\frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\
x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\
x^2+ \frac{7}{2}x=2
\end{aligned}$
Koefisien a<1
$\begin{aligned}
-3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\
\frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3} \\
x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\
x^2-\frac{8}{3}x=-1
\end{aligned}$
3. Ditambah konstanta $p^2$
Rumus mencari nilai $p^2$ untuk koefisien a=1, yaitu:
$p^2=(\frac{1}{2}(b))^2=(\frac{b}{2})^2$
Dan menambahkan nilai $p^2$ kedua ruas, sehingga ruas kiri persamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat sempurna.
$x^2+bx=-c$
$x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=-c+(\frac{b}{2})^2$
$ x^2+bx+p^2=-c+p^2$
Contoh:
Koefisien a=1
$\begin{aligned}
x^2-10x+7=0\\
x^2-10x=-7\\
b=-10\mapsto p^2=(\frac{b}{2})^2=(\frac{-10}{2})^2=(-5)^2\\
x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2
\end{aligned}$
Kemudian rumus nilai $p^2$ untuk koefisien a>1 dan a<1:
$p^2=(\frac{1}{2}(\frac{b}{a}))^2=(\frac{b}{2a})^2$
Tambahkan nilai $p^2$ ke ruas kiri dan kanan.
$\begin{aligned}
x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \\
x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \\
x^2+\frac{b}{a}x+p^2=-\frac{c}{a}+p^2
\end{aligned}$
Contoh:
Koefisien a>1
$\begin{aligned}
2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\
\frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\
x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\
x^2+ \frac{7}{2}x=2\\
a=2,\;b=7\\
p^2=(\frac{b}{2a})^2=(\frac{7}{2(2)})^2=(\frac{7}{4})^2\\
x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2
\end{aligned}$
Koefisien a<1
$\begin{aligned}
\ -3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\
\frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\
x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\
x^2-\frac{8}{3}x=-1\\
a=-3,\;b=8\\
p^2=(\frac{b}{2a})^2=(\frac{8}{2(-3)})^2=(-\frac{8}{6})^2\\
x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2
\end{aligned}$
4. Sifat utama
Dua sifat utama melengkapi persamaan kuadrat sempurna, yaitu:
$x^2 + 2px + p^2 = (x + p)^2 = q, q ≥ 0$ … Sifat (1)
$x^2 + 2(-p)x + (-p)^2 = (x – p)^2 = q, q ≥ 0$ ….. Sifat (2)
Namun, jika cara tersebut membingungkan maka khusus untuk koefisien $a=1$ bisa menggunakan cara pemfaktoran.
Contoh koefisien a=1
Prosedur Sifat Utama
$\begin{aligned}
x^2-10x+7=0\\
x^2-10x=-7\\
x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ p=-5\mapsto 2p=2(-5)=-10\\
x^2+ 2(-p)x+(-p)^2=(x-p)^2=q\\
x^2+2(-5)x+(-5)^2=-7+25\\ (x-5)^2=18
\end{aligned}$
Prosedur Pemfaktoran
$\begin{aligned}
x^2-10x+7=0\\
x^2-10x=-7\\
x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\
x^2-10x+25=-7+25\\
(x-5)(x-5)=18\\
(x-5)^2=18
\end{aligned}$
Sedangkan untuk koefisien a>1 dan a<1, sebaiknya gunakan sifat utama.
Contoh:
Koefisien a>1
$\begin{aligned}
2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\
\frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\
x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\
x^2+ \frac{7}{2}x=2\\
x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2\\
p=\frac{7}{4}\mapsto 2p=2(\frac{7}{4})=\frac{7}{2}\\
x^2+ 2px+p^2=(x+p)^2=q\\
x^2+ 2(\frac{7}{4})x+(\frac{7}{4})^2=2+\frac{49}{16}\\
(x+\frac{7}{4})^2=\frac{32}{16}+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}
\end{aligned}$
Koefisien a<1
$\begin{aligned}
-3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\
\frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\
x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\
x^2-\frac{8}{3}x=-1\\
x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2\\
p=-\frac{8}{6}\mapsto 2p=2(-\frac{8}{6})=-\frac{8}{3}\\
x^2+ 2(-p)x+(-p)^2=(x-p)^2=q\\
x^2+2(-\frac{8}{6})x+(-\frac{8}{6})^2=-1+\frac{64}{36}\\
(x-\frac{8}{6})^2=-\frac{36}{36}+\frac{64}{36}=\frac{28}{36}
\end{aligned}$
5. Akar pangkatkan kedua ruas
Mengakar pangkatkan kedua ruas:
$(x+p)^2=q$
$\sqrt{(x+p)^2}=\sqrt{q}$
$x+p=\sqrt{q}$
Contoh:
Koefisien a=1
$$
\begin{aligned}
x^2-10x+7&=0\\
x^2-10x&=-7\\
x^2-10x+(-5)^2&=-7+(-5)^2\\
x^2+2(-5)x+(-5)^2&=-7+25\\
(x-5)^2&=18\\
\sqrt{(x-5)^2}&=\sqrt{18}\\
x-5&=\pm\;3\sqrt{2}
\end{aligned}
$$
Koefisien a>1
$$
\begin{aligned}
2x^2+ 7x - 4 &= 0\;(\div\;2)\\
\frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}&= \frac{0}{2} \\
x^2+ \frac{7}{2}x-2&=0\\
x^2+ \frac{7}{2}x&=2\\
x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2&=2+(\frac{7}{4})^2\\
x^2+ 2(\frac{7}{4})x+(\frac{7}{4})^2&=2+\frac{49}{16}\\
(x+\frac{7}{4})^2&=\frac{32}{16}+\frac{49}{16} \\
(x+\frac{7}{4})^2&=\frac{81}{16}\\
\sqrt{(x+\frac{7}{4})^2} &=\sqrt{\frac{81}{16}}\\
x+\frac{7}{4}&=\pm\;\frac{9}{4}
\end{aligned}
$$
Koefisien a=1
$$
\begin{aligned}
x^2-10x+7&=0\\
x^2-10x&=-7\\
x^2-10x+(-5)^2&=-7+(-5)^2\\
x^2+2(-5)x+(-5)^2&=-7+25\\
(x-5)^2&=18\\
\sqrt{(x-5)^2}&=\sqrt{18}\\
x-5&=\pm\;3\sqrt{2}
\end{aligned}
$$
Koefisien a>1
$$
\begin{aligned}
2x^2+ 7x - 4 &= 0\;(\div\;2)\\
\frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}&= \frac{0}{2} \\
x^2+ \frac{7}{2}x-2&=0\\
x^2+ \frac{7}{2}x&=2\\
x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2&=2+(\frac{7}{4})^2\\
x^2+ 2(\frac{7}{4})x+(\frac{7}{4})^2&=2+\frac{49}{16}\\
(x+\frac{7}{4})^2&=\frac{32}{16}+\frac{49}{16} \\
(x+\frac{7}{4})^2&=\frac{81}{16}\\
\sqrt{(x+\frac{7}{4})^2} &=\sqrt{\frac{81}{16}}\\
x+\frac{7}{4}&=\pm\;\frac{9}{4}
\end{aligned}
$$
Koefisien a<1
$\begin{aligned}
-3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\
\frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\
x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\
x^2-\frac{8}{3}x=-1\\
x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2\\
x^2+2(-\frac{8}{6})x+(-\frac{8}{6})^2=-1+\frac{64}{36}\\
(x-\frac{8}{6})^2=-\frac{36}{36}+\frac{64}{36}=\frac{28}{36}\\
\sqrt{(x-\frac{8}{6})^2}=\sqrt{\frac{28}{36}}=\pm\;\frac{2}{6}\sqrt{7}
\end{aligned}$
6. Akar $x_1$ dan $x_2$
Cara menghitung akar $x_1$ dan $x_2$:
$\begin{aligned}
x+p=\pm\;\sqrt{q}\\
Akar\;x_{1}\\
x+p=\sqrt{q}\mapsto x=-p+\sqrt{q}\\
Akar\;x_{2}\\
x+p=-\sqrt{q} \mapsto x=-p-\sqrt{q}
\end{aligned}$
Contoh:
Koefisien a=1
$\begin{aligned}
x^2-10x+7=0\\ x^2-10x=-7\\ x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ x^2+2(-5)x+(-5)^2=-7+25\\ (x-5)^2=18\\ \sqrt{(x-5)^2}=\sqrt{18}\\ x-5=\pm\;3\sqrt{2}\\ Akar\;x_{1}\\ x-5=3\sqrt{2}\mapsto x=5+3\sqrt{2}\\ Akar\;x_{2}\\ x-5=-3\sqrt{2}\mapsto x=5-3\sqrt{2}
\end{aligned}$
Koefisien a>1
$\begin{aligned}
2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ x^2+ \frac{7}{2}x=2\\ x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2\\ x^2+ 2(\frac{7}{4})x+(\frac{7}{4})^2=2+\frac{49}{16}\\ (x+\frac{7}{4})^2=\frac{32}{16}+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}\\ \sqrt{(x+\frac{7}{4})^2}=\sqrt{\frac{81}{16}}\\ x+\frac{7}{4}=\pm\;\frac{9}{4}\\ Akar\;x_{1}\\ x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4}\mapsto x=\frac{9}{4}-\frac{7}{4}=\frac{1}{2}\\ Akar\;x_{2}\\ x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}\mapsto x=-\frac{9}{4}-\frac{7}{4}=-4
\end{aligned}$
Koefisien a<1
$\begin{aligned}
-3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\ x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ x^2-\frac{8}{3}x=-1\\ x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2\\ x^2+2(-\frac{8}{6})x+(-\frac{8}{6})^2=-1+\frac{64}{36}\\ (x-\frac{8}{6})^2=-\frac{36}{36}+\frac{64}{36}=\frac{28}{36}\\ \sqrt{(x-\frac{8}{6})^2}=\sqrt{\frac{28}{36}}=\pm\;\frac{2}{6}\sqrt{7}\\ Akar\;x_{1}\\ x-\frac{8}{6}=\frac{2}{6}\sqrt{7}\mapsto x=\frac{8}{6}+\frac{2}{6}\sqrt{7}=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{7}\\ Akar\;x_{2}\\ x-\frac{8}{6}=-\frac{2}{6}\sqrt{7}\mapsto x=\frac{8}{6}-\frac{2}{6}\sqrt{7}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{7}
\end{aligned}$
Contoh soal (4) berikut ini bisa diselesaikan dengan pemfaktoran dan melengkapkan kuadrat sempurna.
$4x^2 + x – 5 = 0$
Penyelesaian:
$\begin{aligned}
4x^2+x-5 &= 0\;(\div\;4)\\
\frac{4x^2}{4}+\frac{x}{4} -\frac{5}{4}&= \frac{0}{4} \\
x^2+\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}&= 0\\
x^2+\frac{1}{4}x&=\frac{5}{4}\\
x^2+\frac{1}{4}x+(\frac{1}{8})^2&=\frac{5}{4}+(\frac{1}{8})^2\\ x^2+2(\frac{1}{8})x+(\frac{1}{8})^2&=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}\\
(x+\frac{1}{8})^2=\frac{80}{64}+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}\\
\sqrt{(x+\frac{1}{8})^2}=\sqrt{\frac{81}{64}}\\ x+\frac{1}{8}=\pm\;\frac{9}{8}\\
Akar\;x_{1}\\
x+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}\mapsto x=\frac{9}{8}-\frac{1}{8}=1\\
Akar\;x_{2}\\
x+\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}\mapsto x=-\frac{9}{8}-\frac{1}{8}=-\frac{5}{4}
\end{aligned}$
Ada cara lebih praktis selain metode pemfaktoran dan melengkapi kuadrat sempurna. Cara ini bisa digunakan untuk hampir seluruh persamaan kuadrat yaitu Rumus ABC.
$\begin{aligned}
-3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\
\frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\
x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\
x^2-\frac{8}{3}x=-1\\
x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2\\
x^2+2(-\frac{8}{6})x+(-\frac{8}{6})^2=-1+\frac{64}{36}\\
(x-\frac{8}{6})^2=-\frac{36}{36}+\frac{64}{36}=\frac{28}{36}\\
\sqrt{(x-\frac{8}{6})^2}=\sqrt{\frac{28}{36}}=\pm\;\frac{2}{6}\sqrt{7}
\end{aligned}$
6. Akar $x_1$ dan $x_2$
Cara menghitung akar $x_1$ dan $x_2$:
$\begin{aligned}
x+p=\pm\;\sqrt{q}\\
Akar\;x_{1}\\
x+p=\sqrt{q}\mapsto x=-p+\sqrt{q}\\
Akar\;x_{2}\\
x+p=-\sqrt{q} \mapsto x=-p-\sqrt{q}
\end{aligned}$
Contoh:
Koefisien a=1
$\begin{aligned}
x^2-10x+7=0\\ x^2-10x=-7\\ x^2-10x+(-5)^2=-7+(-5)^2\\ x^2+2(-5)x+(-5)^2=-7+25\\ (x-5)^2=18\\ \sqrt{(x-5)^2}=\sqrt{18}\\ x-5=\pm\;3\sqrt{2}\\ Akar\;x_{1}\\ x-5=3\sqrt{2}\mapsto x=5+3\sqrt{2}\\ Akar\;x_{2}\\ x-5=-3\sqrt{2}\mapsto x=5-3\sqrt{2}
\end{aligned}$
Koefisien a>1
$\begin{aligned}
2x^2+ 7x - 4 = 0\;(\div\;2)\\ \frac{2x^2}{2}+ \frac{7x}{2} - \frac{4}{2}= \frac{0}{2} \\ x^2+ \frac{7}{2}x-2=0\\ x^2+ \frac{7}{2}x=2\\ x^2+ \frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=2+(\frac{7}{4})^2\\ x^2+ 2(\frac{7}{4})x+(\frac{7}{4})^2=2+\frac{49}{16}\\ (x+\frac{7}{4})^2=\frac{32}{16}+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}\\ \sqrt{(x+\frac{7}{4})^2}=\sqrt{\frac{81}{16}}\\ x+\frac{7}{4}=\pm\;\frac{9}{4}\\ Akar\;x_{1}\\ x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4}\mapsto x=\frac{9}{4}-\frac{7}{4}=\frac{1}{2}\\ Akar\;x_{2}\\ x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}\mapsto x=-\frac{9}{4}-\frac{7}{4}=-4
\end{aligned}$
Koefisien a<1
$\begin{aligned}
-3x^2+ 8x - 3 = 0\;(\div\;-3)\\ \frac{-3x^2}{-3}+ \frac{8x}{-3} - \frac{3}{-3}= \frac{0}{-3}\\ x^2-\frac{8}{3}x+1= 0\\ x^2-\frac{8}{3}x=-1\\ x^2-\frac{8}{3}x+(-\frac{8}{6})^2=-1+(-\frac{8}{6})^2\\ x^2+2(-\frac{8}{6})x+(-\frac{8}{6})^2=-1+\frac{64}{36}\\ (x-\frac{8}{6})^2=-\frac{36}{36}+\frac{64}{36}=\frac{28}{36}\\ \sqrt{(x-\frac{8}{6})^2}=\sqrt{\frac{28}{36}}=\pm\;\frac{2}{6}\sqrt{7}\\ Akar\;x_{1}\\ x-\frac{8}{6}=\frac{2}{6}\sqrt{7}\mapsto x=\frac{8}{6}+\frac{2}{6}\sqrt{7}=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{7}\\ Akar\;x_{2}\\ x-\frac{8}{6}=-\frac{2}{6}\sqrt{7}\mapsto x=\frac{8}{6}-\frac{2}{6}\sqrt{7}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{7}
\end{aligned}$
Contoh soal (4) berikut ini bisa diselesaikan dengan pemfaktoran dan melengkapkan kuadrat sempurna.
$4x^2 + x – 5 = 0$
Penyelesaian:
$\begin{aligned}
4x^2+x-5 &= 0\;(\div\;4)\\
\frac{4x^2}{4}+\frac{x}{4} -\frac{5}{4}&= \frac{0}{4} \\
x^2+\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}&= 0\\
x^2+\frac{1}{4}x&=\frac{5}{4}\\
x^2+\frac{1}{4}x+(\frac{1}{8})^2&=\frac{5}{4}+(\frac{1}{8})^2\\ x^2+2(\frac{1}{8})x+(\frac{1}{8})^2&=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}\\
(x+\frac{1}{8})^2=\frac{80}{64}+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}\\
\sqrt{(x+\frac{1}{8})^2}=\sqrt{\frac{81}{64}}\\ x+\frac{1}{8}=\pm\;\frac{9}{8}\\
Akar\;x_{1}\\
x+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}\mapsto x=\frac{9}{8}-\frac{1}{8}=1\\
Akar\;x_{2}\\
x+\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}\mapsto x=-\frac{9}{8}-\frac{1}{8}=-\frac{5}{4}
\end{aligned}$
Ada cara lebih praktis selain metode pemfaktoran dan melengkapi kuadrat sempurna. Cara ini bisa digunakan untuk hampir seluruh persamaan kuadrat yaitu Rumus ABC.
0 Komentar