PERSAMAAN KUADRAT DENGAN CARA PEMFAKTORAN

Postingan ini berkaitan dengan Persamaan Kuadrat: Pemfaktoran, 18 Contoh Soal & Pembahasan Ada tiga cara menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu:

1.Pemfaktoran
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
3. Rumus ABC

Bagian pertama ini akan menjelaskan faktor, pasangan faktor, rumus mencari akar-akar dan contoh soal persamaan kuadrat dengan koefisien $a = 1, a>1$ dan $ a<1$.

Sedangkan dua cara lainnya akan dibahas dalam dua artikel selanjutnya.

Persamaan Kuadrat Metode Pemfaktoran

“Carilah dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya = ac dan jika dijumlahkan hasilnya = b”.

Adalah kalimat yang sering digunakan bukan hanya dalam menjelaskan cara menyelesaikan persamaan kuadrat metode pemfaktoran. Tetapi juga digunakan dalam mencari akar pertidaksamaan kuadrat.

Kalimat yang membuat kita mencoba beberapa bilangan yang memenuhi syarat jumlah dan hasil kali serta menjadikan cara memfaktorkan tampak seperti tebak-tebakan.

Lalu adakah cara, rumus, atau metode sistematisnya? sehingga kita tidak perlu lagi mengira-ngira bilangan yang tepat.

Tentu saja ada, namanya “Pasangan Faktor” dan cara pencarian akar-akar $x_1$ dan $x_2$ ini bisa digunakan untuk semua jenis persamaan kuadrat, seperti:

Koefisien a = 1
Koefisien a > 1
Koefisien a < 0
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk umum: $ax^2 + bx + c = 0$ dengan a, b, c, ∈ R dan $a ≠ 0$.

Dimana
x = variabel
a = koefisien $x^2$
b = koefisien x
c = konstanta

Faktor

Faktor adalah bilangan yang membagi habis suatu bilangan lainnya.

Contoh:

Perkalian	Faktor Bilangan
2 = 1 × 2	1, 2
3 = 1 × 3	1, 3
6 = 1 × 6 6 = 2 × 3	1, 2, 3, 6
12 = 1 × 12 12 = 2 × 6 12 = 3 × 4	1, 2, 3, 4, 6, 12

Pasangan Faktor

Dalam pembahasan persamaan kuadrat, faktor dari suatu bilangan tidak hanya terbatas pada bilangan bulat positif.

Tetapi juga berkaitan dengan bilangan bulat negatif.

Kemudian apa maksud dari pasangan faktor? Perhatikan contoh berikut.

Perkalian	Pasangan Faktor
2 = 1 × 2 2 = -1 × -2	(1, 2) (-1, -2)
-2 = 1 × (-2) -2 = -1 × 2	(1, -2) (-1, 2)
4 = 1 × 4 4 = 2 × 2 4 = -1 × -4 4 = -2 × -2	(1, 4) (2, 2) (-1, -4) (-2, -2)
-6 = 1 × (-6) -6  = -1 × 6 -6 = 2 × (-3) -6 = -2 × 3	(1, -6) (-1, 6) (2, -3) (-2, 3)

Koefisien a = 1

Persamaan kuadrat a = 1, yaitu: $x^2 + bx + c = 0 $ dengan a, b, c, ∈ R dan a ≠ 0.
Kemudian difaktorkan menjadi bentuk $(x + m)(x + n) = 0$.
Jika dapat ditemukan pasangan $faktor~ (m, n)$ yang memenuhi rumus $m + n = b$ dan $m\times n = c$.

Note:

Sebenarnya rumus hasil kali persamaan kuadrat adalah m x n = ac. Namun, karena nilai a = 1 maka cukup menggunakan m x n = c.

Berdasarkan pengalaman penggunaan dua lambang alfa dan beta (α, β) sering membingungkan dan tertukar dengan koefisien a dan b. Maka dari itu, saya memilih menggunakan simbol m dan n. Ada beberapa kemungkinan nilai koefisien dan konstanta, seperti:
$\mapsto$ b dan c bilangan positif
$\mapsto$ b bilangan positif dan c bilangan negatif
$\mapsto$ b bilangan negatif dan b bilangan positif
$\mapsto$ b dan c bilangan negatif

 
Dibawah ini diberikan masing-masing dua contoh soal dan pembahasan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan untuk tiap kemungkinan.

b dan c bilangan positif

Contoh soal 1: $\boxed{x^2+3x+2=0}$ 

Penyelesaian:
b = 3 dan c = 2

Konstanta c	Pasangan Faktor	Jumlah Faktor
2 = 1 × 2 2 = -1 × (-2)	(1, 2) (-1, -2)	1 + 2 = 3 -1 + (-2) = -3

Pilih jumlah pasangan faktor = b = 3, maka m = 1 dan n = 2

$\begin{align}
& x^2+3 x+2=0 \\
& (x+m)(x+n)=0 \\
& (x+1)(x+2)=0 \\
& x+1=0 \mapsto x=-1 \\
& x+2=0 \mapsto x=-2
\end{align}$
Jadi, akar persamaan kuadrat x = -1 dan x = -2

Contoh soal 2:    $\boxed{x^2+6x+8=0}$

Penyelesaian:
b = 6 dan c = 8

Konstanta c	Pasangan Faktor	Jumlah Faktor
8 = 1 × 8 8 = 2 × 4 8 = -1 × (-8) 8 = -2 × (-4)	(1, 8) (2, 4) (-1, -8) (-2, -4)	1 + 8 = 9 2 + 4 = 6 -1 + (-8) = -9 -2 + (-4) = -6

Pilih jumlah pasangan faktor = b = 6, maka m = 2 dan n = 4

$\begin{aligned}
& x^2+6 x+8=0 \\
& (x+m)(x+n)=0 \\
& (x+2)(x+4)=0 \\
& x+2=0 \mapsto x=-2 \\
& x+4=0 \mapsto x=-4
\end{aligned}$
Jadi, akar persamaan kuadrat x = -2 dan x = -4

2. b bilangan positif dan c bilangan negatif

Contoh soal 3: $\boxed{x^2+3x-4=0}$ 

Penyelesaian:

 
b = 3 dan c = -4

Konstanta c	Pasangan Faktor	Jumlah Faktor
-4 = 1 × (-4) -4 = -1 × 4 -4 = -2 × 2	(1, -4) (-1, 4) (-2, 2)	1 + (-4) = -3 -1 + 4 = 3 -2 + 2 = 0

Pilih jumlah pasangan faktor = b = 3, maka m = -1 dan n = 4

$\begin{aligned}
& x^2+3 x-4=0 \\
& (x+m)(x+n)=0 \\
& (x-1)(x+4)=0 \\
& x-1=0 \mapsto x=1 \\
& x+4=0 \mapsto x=-4
\end{aligned}$
Jadi, akar persamaan kuadrat x = 1 dan x = -4

Contoh soal 4: $\boxed{x^2+x-6=0}$

Penyelesaian:
b = 1 dan c = -6

Konstanta c	Pasangan Faktor	Jumlah Faktor
-6 = 1 × (-6) -6 = -1 × 6 -6 = -2 × 3 -6 = 2 × (-3)	(1, -6) (-1, 6) (-2, 3) (2, -3)	1 + (-6) = -5 -1 + 6 = 5 -2 + 3 = 1 2 + (-3) = -1

Pilih jumlah pasangan faktor = b = 1, maka m = -2 dan n = 3

Jadi, akar persamaan kuadrat x = 2 dan x = -3

3. b bilangan negatif dan c bilangan positif

Contoh soal 5:
$\boxed{x^2-10x+9=0}$
Penyelesaian:
b = -10 dan c = 9

Konstanta c	Pasangan Faktor	Jumlah Faktor
9 = 1 × 9 9 = 3 × 3 9 = -1 × -9 9 = -3 × (-3)	(1, 9) (3, 3) (-1, -9) (-3, -3)	1 + 9 = 10 3 + 3 = 6 -1 + (-9) = -10 -3 + (-3) = -6

Pilih jumlah pasangan faktor = b = -10, maka m = -1 dan n = -9

Jadi, akar persamaan kuadrat x = 1 dan x = 9

Contoh soal 6:
$\boxed{x^2-7x+12=0}$

Penyelesaian:
b = -7 dan c = 12
Pilih jumlah pasangan faktor = b = -7, maka m = -3 dan n = -4

$\begin{align}
x^2-7x+12&=10\\
(x+m)(x+n)&=0\\
(x-3)(x-4)&=0\\
untuk~ {x-3=0 \mapsto x=3,}~~ dan ~~x-4 \mapsto x=4\\
Jadi, ~akar~ persamaan ~kuadrat~ x = 3 ~~dan~~ x = 4
\end{align}$

4. b dan c bilangan negatif

Contoh soal 7:
$\boxed {x^2-2x-3=0}$

Penyelesaian:
Pilih jumlah pasangan faktor, b = -2, maka m = 1 dan n = -3

$\begin{aligned}
x^2-2x-3&=0\\
(x+m)(x+n)&=0\\
(x+1)(x-3)&=0\\
x+1=0~\mapsto x=-1\\
x-3=0~\mapsto x=3\\
Jadi,~ akar~ persamaan~ kuadrat~ x = -1~ dan ~x = 3
\end{aligned}$

Contoh soal 8:

$\boxed{x^2-3x-10=0}$

Penyelesaian:
b = -3 dan c = -10

Konstanta c	Pasangan Faktor	Jumlah Faktor
-10 = 1 × (-10) -10 = 2 × (-5) -10 = -1 × 10 -10 = -2 × 5	(1, -10) (2, -5) (-1, 10) (-2, 5)	1 + (-10) = -9 2 + (-5) = -3 -1 + 10 = 9 -2 + 5 = 3

Pilih jumlah pasangan faktor = b = -3, maka m = 2 dan n = -5

Jadi, akar persamaan kuadrat x = -2 dan x = 5


Koefisien $a > 1$
Persamaan kuadrat dengan a > 1, yaitu:
$\boxed{ax^2+bx+c=0}$

Kemudian difaktorkan menjadi bentuk
$\boxed{a(x+\frac{m}{a})(x+\frac{n}{a})=0}$

Jika dapat ditemukan pasangan faktor (m, n) yang memenuhi rumus:
$m\times n=ac$         ;        $m+n=b$
Persamaan kuadrat dengan $a > 1$ memiliki lima kemungkinan nilai koefisien dan konstanta, yaitu:

• b dan c bilangan positif
• b bilangan positif dan c bilangan negatif
• b bilangan negatif dan c bilangan positif
• b, c bilangan negatif

Dibawah ini di berikan masing-masing dua contoh soal persamaan kuadrat dan penyelesaiannya.

1. b dan c bilangan positif

Contoh soal 9:   

$\boxed{2x^2+5x+3=0}$ 

Penyelesaian:
a = 2 b = 5 dan c = 3
a × c = 6

Hasil Kali ac	Pasangan Faktor	Jumlah Faktor
6 = 1 × 6 6 = 2 × 3 6 = -1 × (-6) 6 = -2 × (-3)	(1, 6) (2, 3) (-1, -6) (-2, -3)	1 + 6 = 7 2 + 3 = 5 -1 + (-6) = -7 -2 + (-3) = -5

 
Pilih jumlah pasangan faktor = b = 5, maka m = 2 dan n = 3

$\begin{align}
2x^2+5x+3&=0\\
a(x+\frac{m}{a})(x+\frac{n}{a})&=0\\
2(x+\frac{2}{2})(x+\frac{3}{2})&=0\\
2(x+1)(x+\frac{3}{2})&=0\\
x+1=0~\mapsto x=-1\\
x+\frac{3}{2}~\mapsto x=-\frac{3}{2}\\
\text{Jadi, akar persamaan kuadrat} x=-1~~dan~~x=-\frac{3}{2}
\end{align}$

Contoh soal 10:
$\boxed{3x^2+10x+3=0}$

Penyelesaian:
a = 3 b = 10 dan c = 3
a × c = 9

Pilih jumlah pasangan faktor : b = 10, maka m = 1 dan n = 9

$\begin{aligned}
& 3 x^2+10 x+3=0 \\
& a\left(x+\frac{m}{a}\right)\left(x+\frac{n}{a}\right)=0 \\
& 3\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{9}{3}\right)=0 \\
& 3\left(x+\frac{1}{3}\right)(x+3)=0 \\
& x+\frac{1}{3}=0 \mapsto x=-\frac{1}{3} \\
& x+3=0 \mapsto x=-3
\end{aligned}$

Jadi, akar persamaan kuadrat $x$ = $-\frac{1}{3}$ dan $x=-3$

2. b bilangan positif dan c bilangan negatif

Contoh soal 11.

 $\boxed{4x^2+x-5=0}$

Penyeelesaian :
a = 4 b = 1 dan c = -5
a × c = -20

Pilih jumlah pasangan faktor = b = 1, maka m = -4 dan n = 5

\begin{aligned}
& 4 x^2+x-5=0 \\
& a\left(x+\frac{m}{a}\right)\left(x+\frac{n}{a}\right)=0 \\
& 4\left(x+\frac{-4}{4}\right)\left(x+\frac{5}{4}\right)=0 \\
& 4(x-1)\left(x+\frac{5}{4}\right)=0 \\
& x-1=0 \mapsto x=1 \\
& x+\frac{5}{4}=0 \mapsto x=-\frac{5}{4}
\end{aligned}

Jadi, akar persamaan kuadrat $x=1$ dan $x =-\frac{5}{4}$

Contoh soal 12:
$\boxed{2x^2+7x-4}$

Penyelesaian:

a = 2 ; b = 7 dan c = -4
a × c = -8
Pilih jumlah pasangan faktor = b = 7, maka m = -1 dan n = 8

\begin{aligned}
& 2 x^2+7x-4=0 \\
& a\left(x+\frac{m}{a}\right)\left(x+\frac{n}{a}\right)=0 \\
& 2\left(x+\frac{-1}{2}\right)\left(x+\frac{8}{2}\right)=0 \\
& 2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+4\right)=0 \\
& x-\frac{1}{2}=0 \mapsto x=\frac{1}{2}\\
& x+4=0 \mapsto x=-4
\end{aligned}
Jadi, akar persamaan kuadrat $(x =\frac{1}{2}) ~ dan ~ ( x = -4 )$

3. b bilangan negatif dan c bilangan positif

Contoh soal 13:

$\boxed{3x^2-8x+4=0}$

Penyelesaian:
a = 3 b = -8 dan c = 4
a × c = 12

Hasil Kali ac	Pasangan Faktor	Jumlah Faktor
12 = 1 × 12 12 = 2 × 6 12 = 3 × 4 12 = -1 × (-12) 12 = -2 × (-6) 12 = -3 × (-4)	(1, 12) (2, 6) (3, 4) (-1, -12) (-2, -6) (-3, -4)	1 + 12 =13 2 + 6 = 8 3 + 4 = 7 -1 + (-12) = -13 -2 + (-6) = -8 -3 + (-4) = -7

Pilih jumlah pasangan faktor = b = -8, maka m = -2 dan n = -6

\begin{aligned}
& 3 x^2-8 x+4=0 \\
& a\left(x+\frac{m}{a}\right)\left(x+\frac{n}{a}\right)=0 \\
& 3\left(x+\frac{-2}{3}\right)\left(x+\frac{-6}{3}\right)=0 \\
& 3\left(x-\frac{2}{3}\right)(x-2)=0 \\
& x-\frac{2}{3}=0 \mapsto x=\frac{2}{3} \\
& x-2=0 \mapsto x=2
\end{aligned}
Jadi, akar persamaan kuadrat x= dan x = 2

Contoh soal 14 :

$\boxed{4x^2-10x+6=0}$

  

Penyelesaian:

a = 4 b = -10 dan c = 6
a × c = 24
$\begin{array}{|c|}
\hline
\text { Hasil Kali ac } & \text { Pasangan Faktor } & \text { Jumlah Faktor } \\
\hline
24=1 \times 24 & (1,24) & 1+24=25 \\
24=2 \times 12 & (2,12) & 2+12=14 \\
24=3 \times 8 & (3,8) & 3+8=11 \\
24=4 \times 6 & (4,6) & 4+6=10 \\
24=-1 \times(-24) & (-1,-24) & -1+(-24)=-25 \\
24=-2 \times(-12) & (-2,-12) & -2+(-12)=-14 \\
24=-3 \times(-8) & (-3,-8) & -3+(-8)=-11 \\
24=-4 \times(-6) & (-4,-6) & -4+(-6)=-10 \\
\hline
\end{array}$

Pilih jumlah pasangan faktor = b = -10, maka m = -4 dan n = -6

$\begin{aligned}
& 4 x^2-10 x+6=0 \\
& a\left(x+\frac{m}{a}\right)\left(x+\frac{n}{a}\right)=0 \\
& 4\left(x+\frac{-4}{4}\right)\left(x+\frac{-6}{4}\right)=0 \\
& 4(x-1)\left(x-\frac{3}{2}\right)=0 \\
& x-1=0 \mapsto x=1 \\
& x-\frac{3}{2}=0 \mapsto x=\frac{3}{2}
\end{aligned}$
Jadi, akar persamaan kuadrat $x = 1 ~ dan ~ x = \frac{3}{2}$

4. b dan c bilangan negatif
Contoh soal 15:
$\boxed{5x^2-2x-3}$

Penyelesaian:
a = 5 b = -2 dan c = -3
a × c = -15

Hasil Kali ac	Pasangan Faktor	Jumlah Faktor
-15 = 1 × (-15) -15 = 3 × (-5) -15 = -1 × 15 -15 = -3 × 5	(1, -15) (3, -5) (-1, 15) (-3, 5)	1 + (-15) = -14 3 + (-5) = -2 -1 + 15 = 14 -3 + 5 = 2

Pilih jumlah pasangan faktor = b = -2, maka m = 3 dan n = -5

$\begin{aligned}
& 5 x^2-2 x-3=0 \\
& a\left(x+\frac{m}{a}\right)\left(x+\frac{n}{a}\right)=0 \\
& 5\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x+\frac{-5}{5}\right)=0 \\
& 5(x+\frac{3}{5})\left(x+1)\right)=0 \\
& x+\frac{3}{5}=0 \mapsto x=-\frac{3}{5} \\
& x-1=0 \mapsto x=1
\end{aligned}$
Jadi, akar persamaan kuadrat $x=-\frac{3}5{} ~ dan ~x = 1$

Contoh soal 16 :
$\boxed{6x^2-x-1}$

Penyelesaian:
a = 6 b = -1 dan c = -1
a × c = -6

Hasil Kali ac	Pasangan Faktor	Jumlah Faktor
-6 = 1 × (-6) -6 = 2 × (-3) -6 = -1 × 6 -6 = -2 × 3	(1, -6) (2, -3) (-1, 6) (-2, 3)	1 + (-6) = -5 2 + (-3) = -1 -1 + 6 = 5 -2 + 3 = 1

Pilih jumlah pasangan faktor, $b = -1, ~maka~ m = 2 ~dan ~n = -3$
$\begin{aligned}
& 6 x^2- x-1=0 \\
& a\left(x+\frac{m}{a}\right)\left(x+\frac{n}{a}\right)=0 \\
& 6\left(x+\frac{2}{6}\right)\left(x+\frac{-3}{6}\right)=0 \\
& 6(x+\frac{1}{3})\left(x-\frac{1}{2})\right)=0 \\
& x+\frac{1}{3}=0 \mapsto x=-\frac{1}{3} \\
& x-\frac{1}{2}=0 \mapsto x=\frac{1}{2}
\end{aligned}$
Jadi, akar persamaan kuadrat $x=-\frac{1}{3} ~ dan ~x=\frac{1}{2}$

Koefisien a < 0

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien a bilangan negatif sama dengan cara persamaan kuadrat dengan koefisien a > 1.

Jadi, walaupun memiliki beberapa kemungkinan nilai koefisien a dan b serta konstanta c.
Berikut akan menjelaskan dua contoh soal saja.

Contoh soal 17:
$\boxed{-x^2+7x-6=0}$
Penyelesaian:
a = -1 b = 7 dan c = -6
a × c = 6

Hasil Kali ac	Pasangan Faktor	Jumlah Faktor
6 = 1 × 6 6 = 2 × 3 6 = -1 × (-6) 6 = -2 × (-3)	(1, 6) (2, 3) (-1, -6) (-2, -3)	1 + 6 = 7 2 + 3 = 5 -1 + (-6) = -7 -2 + (-3) = -5

Pilih jumlah pasangan faktor = b = 7, maka m = 1 dan n = 6
${\color{Blue} \begin{aligned}
-x^2+7x-6&=0 \\
a\left(x+\frac{m}{a}\right)\left(x+\frac{n}{a}\right)&=0 \\
-1\left(x+\frac{1}{-1}\right)\left(x+\frac{6}{-1}\right)&=0 \\
-1(x-1)(x-6)&=0 \\
x-1=0 \mapsto x=1 \\
x-6=0 \mapsto x=6
\end{aligned}}$
Jadi, akar persamaan kuadrat $x=1 ~ dan ~x=6$

Contoh soal 18:
$\boxed{-2x^2-6x+8=0}$

Penyelesaian:
a = -2 b = -6 dan c = 8
a × c = -16

Hasil Kali ac	Pasangan Faktor	Jumlah Faktor
-16 = 1 × -16 -16 = 2 × (-8) -16 = 4 × (-4) -16 = -1 × 16 -16 = -2 × 8	(1, -16) (2, -8) (4, -4) (-1, 16) (-2, 8)	1 + (-16) = -15 2 + (-8) = -6 4 + (-4) = 0 -1 + 16 = 15 -2 + 8 = 6

Pilih jumlah pasangan faktor = b = -6, maka m = 2 dan n = -8

${\color{Red}\begin{aligned}
-2 x^2-6 x+8=0 \\
a\left(x+\frac{m}{a}\right)\left(x+\frac{n}{a}\right)=0 \\
-2\left(x+\frac{2}{-2}\right)\left(x+\frac{-8}{-2}\right)=0 \\
-2(x-1)(x+4)=0 \\
x-1=0 \mapsto x=1 \\
x+4=0 \mapsto x=-4
\end{aligned}}$
Jadi, akar persamaan kuadrat x = 1 dan x = -4

Dari 18 contoh soal di atas, cara penyelesaian yang saya bahas sedikit lebih panjang dan tidak efisien.
Misalnya, untuk persamaan kuadrat dengan a, b, dan c bilangan positif sepertinya tidak perlu mencari dan menjumlahkan pasangan faktor bilangan negatif.
Tapi, tujuan menggunakan satu cara untuk semua kemungkinan nilai koefisien dan konstanta adalah agar kita hanya perlu mengingat satu cara saja.