Soal Relasi dan Fungsi SMA

Materi relasi dan fungsi di SMA adalah salah satu konsep dasar dalam matematika. Berikut adalah penjelasan singkat tentang keduanya:

Relasi:
Relasi adalah koneksi atau hubungan antara dua himpunan (set) yang mengaitkan anggota dari himpunan pertama dengan anggota himpunan kedua.
Relasi dapat digambarkan dengan berbagai cara, seperti tabel, diagram Venn, atau pasangan terurut.
Contoh relasi termasuk relasi kesetaraan, relasi orde, dan relasi fungsi.

Fungsi:
Fungsi adalah jenis relasi khusus di mana setiap anggota dari himpunan pertama memiliki tepat satu anggota yang sesuai dalam himpunan kedua.
Fungsi dapat digambarkan sebagai aturan yang memetakan elemen-elemen satu himpunan ke himpunan lain.
Contoh fungsi termasuk fungsi linier, fungsi kuadrat, dan fungsi eksponensial.

Siswa di SMA akan mempelajari konsep-konsep ini untuk memahami bagaimana hubungan antara elemen-elemen dua himpunan dapat dijelaskan dan dianalisis menggunakan matematika. Mereka juga akan belajar berbagai teknik untuk memahami, mendefinisikan, dan menggambar relasi dan fungsi, serta menerapkan konsep ini dalam berbagai konteks matematika.

Soal No. 1

Relasi pada diagram di bawah ini yang bukan fungsi adalah ….

(A) i, ii, dan iii
(B) i dan iii
(C) ii dan iv
(D) iv saja
(E) i, ii, iii dan iv

Pembahasan:
i), ii), dan iii) merupakan fungsi, yaitu memasangkan semua anggota domain dengan tepat satu anggota pada kodomain.
iv) bukan fungsi, sebab ada anggota domain (1 dan 3) yang tidak dipasangkan pada kodomain, atau ada domain yang dipasangkan lebih dari satu kali pada anggota kodomain {(2,a), (2,b), (2,c)}.
Jawaban: D

Soal No. 2

Relasi pada diagram di bawah ini yang merupakan fungsi adalah ….

(A) i, ii, dan iii
(B) i dan iii
(C) ii dan iv
(D) iv saja
(E) i, ii, iii dan iv

Pembahasan:
i) bukan fungsi, karena ada domain yang dipasangkan lebih dari satu kali, yaitu {(1,a), (1,b), (1,c)}.
ii) dan iv) merupakan fungsi, sebab semua anggota domain dipasangkan dengan tepat satu anggota pada kodomain.
iii) bukan fungsi, sebab ada anggota domain yang dipasangkan lebih dari satu kali yaitu {(1,a), (1,b)}.
Jawaban: C

Soal No. 3

Misal $x$ menyatakan anggota A dan $y$ menyatakan anggota B dan $(x,y)$ merupakan pasangan yang menyatakan relasi dari A ke B. Jika A = {a, b, c} dan B = {p, q} maka pasangan terurut berikut yang merupakan fungsi adalah ….
(A) {(a, p), (a, q)}
(B) {(a, p), (b, p), (c, p)}
(C) {(a,p), (a,q), (b,p), (b,q), (c,p), (c,q)}
(D) {(a,p), (a,q), (b,q), (c,q)}
(E) {(a, b, c), (p,q)}

Pembahasan:
TIPS: Pada soal ini yang merupakan domain adalah himpunan A = {a, b, c}. Perhatikan setiap opsi, a, b, c hanya boleh muncul satu kali itulah fungsi dan yang memenuhi adalah opsi B.
Jawaban: B

Soal No. 4

Relasi dari A ke B disebut fungsi apabila ….
(A) setiap anggota B dipasangkan dengan tepat satu anggota A.
(B) setiap anggota B mempunyai pasangan di A.
(C) setiap anggota A mempunyai pasangan di B.
(D) setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
(E) setiap anggota A tidak mempunyai pasangan di B.

Pembahasan:
Jawaban: D (sangat jelas)

Soal No. 5

Jika $f(x)=3x+4$ maka $f(5)$ = ….
(A) 7
(B) 10
(C) 13
(D) 16
(E) 19

Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= 3x+4 \\ f(5) &= 3.5+4 \\ & =15+4 \\ f(5) &= 19 \end{align}$
Jawaban: E

Soal No. 6

Jika $g(x)=-2x+7$ maka $g(6)$ = ….
(A) $-7$
(B) $-5$
(C) $-3$
(D) $-1$
(E) 1

Pembahasan:
$\begin{align} g(x) &= -2x+7 \\ g(6) &= -2.6+7 \\ & =-12+7 \\  g(6) &= -5 \end{align}$
Jawaban: B

Soal No. 7

Jika $f(x)=5{{x}^{2}}-4$ maka $f(3)$ = ….
(A) 40
(B) 41
(C) 39
(D) 38
(E) 37

Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &=5{{x}^{2}}-4 \\ f(3) &= {{5.3}^{2}}-4 \\ & =5.9-4 \\ & =45-4 \\ f(3) &= 41 \end{align}$
Jawaban: B

Soal No. 8

Jika $g(x)=2{{x}^{2}}-x$ dan $g(x+1)$ = ….
(A) $2{{x}^{2}}+3x+3$
(B) $2{{x}^{2}}-4x+2$
(C) $2{{x}^{2}}-5x+2$
(D) $2{{x}^{2}}-5x+1$
(E) $2{{x}^{2}}+3x+1$

Pembahasan:
$\begin{align} g(x) &=2{{x}^{2}}-x \\ g(x+1) &= 2{{(x+1)}^{2}}-(x+1) \\ & =2({{x}^{2}}+2x+1)-x-1 \\ & =2{{x}^{2}}+4x+2-x-1 \\  g(x+1) &= 2{{x}^{2}}+3x+1 \end{align}$
Jawaban: E

Soal No. 9

Jika $f(x)=x+1$, maka $f({{x}^{2}}+2)$ = …
(A). ${{x}^{2}}+2x+3$
(B). ${{x}^{2}}+x+3$
(C). ${{x}^{2}}+2x+1$
(D). ${{x}^{2}}+2$
(E). ${{x}^{2}}+3$

Pembahasan:
$\begin{align} f(x) &= x+1 \\ f({{x}^{2}}+2) &=({{x}^{2}}+2)+1 \\ & ={{x}^{2}}+3 \end{align}$
Jawaban: E

Soal No. 10

Jika $f(3x)=2x+1$ maka $f(6)$ = …
(A) 5
(B) 7
(C) 9
(D) 11
(E) 13

Pembahasan:
$f(3x)=2x+1$
Misalkan: $3x=6\to x=2$
untuk $x=2$ maka:
$\begin{align} f(3x) &= 2x+1 \\ f(3.2) &= 2.2+1 \\ f(6) &= 5 \end{align}$
Jawaban: A

Soal No. 11

Daerah hasil fungsi $f(x)=5-2{{x}^{2}}$ dengan daerah asal $\{2,3,4,5\}$ adalah ….
(A) $\{9,23,37,55\}$
(B) $\{21,41,68,105\}$
(C) $\{-3,-13,-37,-54\}$
(D) $\{-3,-13,-27,-45\}$
(E) $\{1,-1,-3,-5\}$

Pembahasan:
$x=2 \to f(2)=5-{{2.2}^{2}}=-3$
$x=3 \to f(2)=5-{{2.3}^{2}}=-13$
$x=4 \to f(4)=5-{{2.4}^{2}}=-27$
$x=5 \to f(5)=5-{{2.5}^{2}}=-45$
$Rf=\{-3,-13,-27,-45\}$
Jawaban: D

Soal No. 12

Suatu fungsi $f(x)=-2{{x}^{2}}+4x-1$ dengan daerah asal $\{-1,0,1\}$ maka daerah hasilnya adalah ….
(A) $\{-1,5,9\}$
(B) $\{-7,-1,9\}$
(C) $\{-7,-1,1\}$
(D) $\{-1,1,5\}$
(E) $\{1,-1,-3\}$

Pembahasan:
$f(x)=-2{{x}^{2}}+4x-1$
$x=-1 \to f(-1)=-2{{(-1)}^{2}}+4(-1)-1=-7$
$x=0 \to f(0)=-{{2.0}^{2}}+4.0-1=-1$
$x=1 \to f(1)=-{{2.1}^{2}}+4.1-1=1$
$Rf=\{-7,-1,1\}$
Jawaban: C

Soal No. 13

Diketahui fungsi kuadrat $f(x)=-2{{x}^{2}}+4x+3$ dengan daerah asal $\{x|-2 \le x \le 3,x \in R\}$. Daerah hasil fungsi adalah ….
(A) $\{y|-3 \le y \le 5,x \in R\}$
(B) $\{y|-3 \le y \le 3,x \in R\}$
(C) $\{y|-13 \le y \le -3,x \in R\}$
(D) $\{y|-13 \le y \le 3,x \in R\}$
(E) $\{y|-13 \le y \le 5,x \in R\}$

Pembahasan:
$f(x)=-2{{x}^{2}}+4x+3$
Sumbu simetri:
$\begin{align} x &=\frac{-b}{2a} \\ & =\frac{-4}{2(-2)} \\ x &=1 \end{align}$
$x=-2 \to f(-2)=-2{{(-2)}^{2}}+4(-2)+3=-13$
$x=1 \to f(1)=-{{2.1}^{2}}+4.1+3=5$
$x=3 \to f(3)=-{{2.3}^{2}}+4.3+3=-3$
maka daerah hasil berada pada interval nilai minimum dan nilai maksimum, yaitu:
$Rf=\{y|-13 \le y \le 5,x \in R\}$.
Jawaban: E

Soal No. 14

Jika $f(x)={{x}^{2}}+2x+1$ maka domain fungsi $f$ adalah ….
(A) $-\infty < x < \infty $
(B) $0 < x < \infty $
(C) $0 < x < 1$
(D) $-1 < x < 1$
(E) $-1 < x < 0$

Pembahasan:
$f(x)={{x}^{2}}+2x+1$
$Df=\{x|-\infty < x < \infty ,x \in R\}$, sebab fungsi terdefinisi untuk semua nilai $x\in R$.
Jawaban: A

Soal No. 15

Jika $f:A\to B$ dengan $f(x)=2x+1$ dan $A=\{x|-5 \le x \le 5\}$ maka range (daerah hasil) dari fungsi $f(x)$ adalah ….
(A) $0 \le y \le 11$
(B) $0 \le y \le 9$
(C) $-9 \le y \le 11$
(D) $-9 \le y \le 0$
(E) $-11 \le y \le 9$

Pembahasan:
$Df=\{x|-5 \le x \le 5\}$ karena $f(x)=2x+1$ adalah fungsi linear maka untuk menentukan daerah hasilnya kita cukup substitusi anggota domain minimum dan anggota domain maksimum, maka diperoleh:
$\begin{matrix} -5 \le x \le 5 \\ f(-5) \le y \le f(5) \\ 2(-5)+1 \le y \le 2.5+1 \\ -9 \le y \le 11 \\ \end{matrix}$
$Rf=\{y|-9 \le y\le 11,y \in R\}$
Jawaban: C

Soal No. 16

Domain dari fungsi $f(x)=\frac{x}{x-4}$ adalah ….
(A) $x=4$
(B) $x\ne 4$
(C) $x\ne 0$
(D) $x=0$
(E) $x\ne -4$

Pembahasan:
$f(x)=\frac{x}{x-4}$ adalah fungsi rasional, agar fungsi $f(x)$ terdefinisi maka penyebut tidak boleh bernilai nol.
$x-4 \ne 0\Leftrightarrow x \ne 4$
$Df=\{x|x\in R,x \ne 4\}$
Jawaban: B

Soal No. 17

Agar $f(x)=\sqrt{2x-4}$ terdefinisi maka domain dan range dari fungsi $f$ adalah ….
(A) $\{x|x > 2\}$ dan $\{y|y > 0\}$
(B) $\{x|x \ge 2\}$ dan $\{y|y \ge 0\}$
(C) $\{x|x < 2\}$ dan $\{y|y < 0\}$
(D) $\{x|x \le 2\}$ dan $\{y|y \le 0\}$
(E) $\{x|-2 \le x \le 2\}$ dan $\{y|y \ge 0\}$

Pembahasan:
$f(x)=\sqrt{2x-4}$ terdefinisi untuk:
$\begin{align} 2x-4 & \ge 0 \\ 2x & \ge 4 \\ x & \ge 2 \end{align}$
maka domain fungsi $f$ adalah $Df=\{x|x\ge 2,x\in R\}$
dan range fungsi $f$ adalah $Rf=\{y|y\ge 0,y\in R\}$
Jawaban: B

Soal No. 18

Misal $f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}$. Agar $f(x)$ terdefinisi maka nilai $x$ haruslah ….
(A) $-1 \le x \le 0$
(B) $x \le -1\,\text{atau}\,x \ge 0$
(C) $x < -1 \,\text{atau}\,x \ge 0$
(D) $x < -1 \,\text{atau}\,x > 0$
(E) $0 < x < 1$

Pembahasan:
$f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}$ terdefinisi untuk:
$\frac{x}{x+1}\ge 0$
$x < -1 \,\text{atau}\,x \ge 0$
Jawaban: C