Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna

📌Apa Itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Bentuk umumnya adalah:
ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0
dengan $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta bilangan real dan $a \neq 0$.

Contoh: $x^2 - 4x + 3 = 0$

2. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Melengkapkan kuadrat sempurna adalah teknik mengubah bentuk $ax^2 + bx + c$ menjadi bentuk $(x + p)^2 = q$ untuk memudahkan penyelesaian.

Ide Dasar: Memanipulasi aljabar sehingga suku-suku variabel $x$ membentuk kuadrat dari suatu binomial.

---

3. Algoritma Penyelesaian

Langkah-langkah umum untuk metode ini dapat divisualisasikan sebagai berikut:

Algoritma Melengkapkan Kuadrat Sempurna:

1. Pastikan Koefisien Kuadrat adalah 1:

   • Persamaan sekarang berbentuk: $x^2 + bx + c = 0$

   • Jika koefisien $a$ dari $x^2$ bukan 1, bagi seluruh persamaan dengan $a$.

2. Pisahkan Konstanta:

   • Pindahkan konstanta $c$ ke ruas kanan persamaan.

   • Persamaan menjadi: $x^2 + bx = -c$

3. Cari Bilangan Pelengkap:

   • Ambil koefisien $b$ dari $x$, bagi dengan 2, lalu kuadratkan hasilnya.

   • Bilangan pelengkap: $\left( \frac{b}{2} \right)^2$

4. Lengkapi Kuadrat:

   • Tambahkan bilangan pelengkap ke kedua ruas persamaan.

   • Ruas kiri sekarang menjadi: $x^2 + bx + \left( \frac{b}{2} \right)^2$

   • Persamaan: $x^2 + bx + \left( \frac{b}{2} \right)^2 = -c + \left( \frac{b}{2} \right)^2$

5. Faktorkan Ruas Kiri:

   • Ubah ruas kiri yang telah berbentuk kuadrat sempurna menjadi binomial kuadrat.

   • $\left( x + \frac{b}{2} \right)^2 = -c + \left( \frac{b}{2} \right)^2$

6. Ambil Akar Kuadrat:

   • Akarkan kedua ruas untuk menghilangkan kuadrat di ruas kiri. Jangan lupa beri tanda $\pm$ pada ruas kanan.

   • $x + \frac{b}{2} = \pm \sqrt{ -c + \left( \frac{b}{2} \right)^2 }$

7. Selesaikan untuk $x$:

   • Pindahkan konstanta di ruas kiri ke ruas kanan untuk menemukan nilai $x$.

   • $x = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{ -c + \left( \frac{b}{2} \right)^2 }$

   • Sederhanakan persamaan di ruas kanan.

4. Contoh Penerapan Langkah Demi Langkah

Mari kita selesaikan persamaan: $x^2 - 6x + 5 = 0$

Langkah 1: Pastikan Koefisien $x^2 = 1$

Pada persamaan ini, $a = 1$, sehingga kita dapat melanjutkan.

Langkah 2: Pisahkan Konstanta

Pindahkan konstanta ($c$) ke ruas kanan:
$x^2-6x=-5$

Langkah 3: Cari Bilangan Pelengkap

• Ambil koefisien $x$, yaitu $-6$.

• Bagi dua: $\frac{-6}{2} = -3$

• Kuadratkan: $(-3)^2 = 9$

Langkah 4: Tambahkan ke Kedua Ruas

Tambahkan bilangan pelengkap ($9$) ke kedua ruas:
$x^2-6x+9=-5+9$
$x^2-6x+9=4$

Langkah 5: Ubah ke Bentuk Kuadrat Sempurna

Ruas kiri sekarang adalah kuadrat sempurna:
$(x-3{)}^2=4$
*($-3$ diperoleh dari $\frac{-6}{2}$)*

Langkah 6: Ambil Akar Kuadrat

Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:
$\sqrt{(x-3{)}^2}=\sqrt{4}$
$x-3=\pm 2$

Langkah 7: Selesaikan untuk $x$

Pisahkan menjadi dua persamaan:

1. $x - 3 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 5$

2. $x - 3 = -2 \quad \Rightarrow \quad x = 1$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah ${1, 5}$.

---

5. Kasus Khusus: Ketika $a \neq 1$

Selesaikan: $2x^2 + 12x - 14 = 0$

Langkah 1: Bagi semua suku dengan $a=2$:
$\frac{2x^2}{2}+\frac{12x}{2}-\frac{14}{2}=\frac{0}{2}$
$x^2+6x-7=0$

Langkah 2: Pindahkan konstanta:
$x^2+6x=7$

Langkah 3: Cari bilangan pelengkap:

• $\frac{6}{2} = 3$

• $(3)^2 = 9$

Langkah 4: Tambahkan ke kedua ruas:
$x^2+6x+9=7+9$
$x^2+6x+9=16$

Langkah 5: Ubah menjadi kuadrat sempurna:
$(x+3{)}^2=16$

Langkah 6 & 7: Ambil akar dan selesaikan:
$x+3=\pm 4$
$x=-3+4=1\text{dan}x=-3-4=-7$

Himpunan penyelesaian: ${-7, 1}$.

---

6. Rumus Umum (Alternatif)

Proses melengkapkan kuadrat sempurna juga dapat digunakan untuk menurunkan rumus kuadrat (abc):
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Dengan menguasai metode ini, Anda tidak hanya bisa menyelesaikan persamaan tetapi juga memahami asal-usul dari rumus kuadrat yang umum digunakan.