FUNGSI KUADRAT : Bentuk Umum dan Sifat Parabola

Fungsi kuadrat adalah jenis fungsi matematika yang dinyatakan dalam bentuk umum:

$\boxed{f(x) = ax^2 + bx + c}$

di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta, dan $x$ adalah variabel. Fungsi kuadrat ini menghasilkan grafik berbentuk parabola yang bisa berupa parabola terbuka ke atas atau terbuka ke bawah, tergantung pada nilai koefisien a. Fungsi kuadrat ini sering digunakan untuk menganalisis berbagai situasi dalam matematika, ilmu fisika, ekonomi, dan lainnya. Salah satu aplikasi yang umum dari fungsi kuadrat adalah untuk menghitung titik balik (vertex) dari parabola dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

BENTUK UMUM DAN SIFAT PARABOLA

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah $y=f(x)=a x^2+b x+c$ dengan $a, b, c \in R$ dan $a \neq 0$.
Bentuk kurva fungsi kuadrat $y=f(x)=a x^2+b x+c$ adalah parabola.
Sifat umum parabola:

Koordinat titik puncak/titik ekstrem/titik stasioner/titik balik parabola adalah :
$\left(x_e, y_e\right)$ dengan $\rightarrow \boxed{x_e=-\frac{b}{2 a}}$ absis titik puncak $=$ sumbu simetri parabola.
$$
\rightarrow \boxed{y_e=-\frac{D}{4 a}}\text { nilai ekstrem/nilai stasioner/ }
$$
nilai balik/nilai puncak, dengan $D($ diskriminan $)=\left(b^2-4 a c\right)$.


CONTOH SOAL & PEMBAHASAN - 1

1. Koordinat titik balik grafik fungsi dengan rumus $f(x)=3-2 x-x^2$ adalah....

A. $(-2,3)$

B. $(-1,4)$

C. $(-1,6)$
D. $(1,-4)$
E. $(1,4)$

Jawaban: B

$\Leftrightarrow f(x)=3-2 x-x^2 \rightarrow a=-1, b=-2, c=3$
$\Leftrightarrow$ Titik balik kurvanya $=\left(x_*, y_e\right)$
- $\mathrm{x}_{\mathrm{e}}=\frac{-\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}=\frac{-(-2)}{2(-1)}=-1$
- $y_e=-\frac{D}{4 a}=f\left(x_e\right)$
$=\mathrm{f}(-1)$
$=3-2(-1)-(-1)^2=4$
$\Leftrightarrow$ Jadi, titik baliknya $=(-1,4)$

2. Jika grafik fungsi $y=x^2+a x+b$ mempunyai titik puncak $(1,2)$, maka nilai a dan $b$ adalah....

A. $a=1, b=3$
B. $a=-1, b=-3$

C. $a=-2, b=3$

D. $a=0,5, b=1,5$
E. $a=0,5, b=-1,5$

Jawaban: C

$\Leftrightarrow y=x^2+a x+b$
- $x_e=-\frac{b}{2 a} \rightarrow 1=-\frac{a}{2} \rightarrow a=-2$
- $y_e=f(1) \rightarrow 2=(1) 2-2(1)+b$
$b=3$

3. Laba $x$ potong roti dinyatakan oleh fungsi $L(x)=120 x-12 x^2$ (dalam ratusan rupiah). Laba maksimum yang diperoleh adalah ....

A. Rp $5.000,00$
B. $\operatorname{Rp} 30.000,00$

C. $\operatorname{Rp} 50.000,00$

D. Rp $60.000,00$
E. $\operatorname{Rp} 300.000,00$

Jawaban: B

$\Leftrightarrow L(x)=120 x-12 x^2$
$\Leftrightarrow$ Laba maksimum adalah
$$
\begin{aligned}
& =-\frac{D}{4 a} \\
& =-\left(\frac{120^2-4(-12)(0)}{4(-12)}\right)=30.000
\end{aligned}
$$

$\Leftrightarrow$ Laba maksimum yang diperoleh adalah $\mathrm{Rp} 30.000,00$

4. Luas maksimum dari bangun di bawah ini adalah ....

         

A. 12 satuan
B. 15 satuan
C. 18 satuan
D. 23 satuan
E. 25 satuan

Jawaban: E
$$
\Leftrightarrow \quad \begin{aligned}
\text { Luas } &= p . l \\
& L(x)=(6-x)(x+4) \\
& L(x)=-x^2+2 x+24
\end{aligned}
$$
$\Leftrightarrow$ Luas maksimum adalah :
$$
=-\frac{D}{4 a}=-\left(\frac{2^2-4(-1)(24)}{4(-1)}\right)=25 \text { satuan luas }
$$

5. Sebuah roket ditembakkan vertikal ke atas, mencapai tinggi $h$ meter setelah $t$ detik, dirumuskan dengan $h(t)=400 t-5 t^2$. Tinggi maksimum roket itu ....

A. 8000 meter
B. 1200 meter

C. 1800 meter

D. 24000 meter
E. 36000 meter

Jawaban: A

$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow h(t)=400 t-5 t 2 \\
& \Leftrightarrow a=-5, b=400 \text { dan } c=0 \\
& \Leftrightarrow \text { Tinggi maksimum roket adalah : }
\end{aligned}
$$
$\Leftrightarrow$ Tinggi maksimum roket adalah :
$$
\begin{aligned}
h_e & =-\frac{D}{4 a} \\
& =-\left(\frac{(400)^2-4(-5)(0)}{4(-5)}\right) \\
& =8000 \text { meter }
\end{aligned}
$$

6. Jika $x_1$ dan $x_2$ akar-akar persamaan $2 x^2-(2 k-1) x+\left(2 k^2-4\right)=0$, maka nilai terbesar $x_1^2+x_2^2$ adalah ....

A. $\frac{3}{2}$
B. 2

C. $\frac{9}{2}$

D. 5
E. 6

Jawaban: C

$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow f(k) & =x_1^2+x_2^2 \\
& =\left(x_1+x_2\right)^2-2\left(x_1, x_2\right) \\
& =\left(\frac{2 k-1}{2}\right)^2-2\left(\frac{2 k^2-4}{2}\right) \\
& =\frac{4 k^2-4 k+1}{4}-2 k^2+4 \\
& =-k^2-k+\frac{17}{4}
\end{aligned}
$$
$\Leftrightarrow$ Nilai terbesarnya adalah
$$
y_e=-\frac{D}{4 a}=\frac{(-1)^2-4(-1) \cdot\left(\frac{17}{4}\right)}{-4}=\frac{9}{2}
$$