FUNGSI KUADRAT : Hubungan Parabola dengan Sumbu Koordinat

Fungsi kuadrat, atau sering disebut parabola, adalah jenis fungsi matematika yang umumnya ditulis dalam bentuk $\boxed{f(x) = ax^2 + bx + c}$, di mana a, b, dan c adalah konstanta. Parabola ini memiliki bentuk berupa lengkungan yang bisa membuka ke atas (bila a>0) atau ke bawah (bila a<0) ketika digambarkan pada koordinat kartesian.

Fungsi kuadrat memiliki beberapa fungsi dan aplikasi penting dalam matematika dan ilmu pengetahuan lainnya, seperti fisika, ekonomi, dan teknik. Beberapa di antaranya adalah:

• Mencari titik ekstrem: Parabola memiliki titik ekstrem di puncak (bila a < 0) atau lembah (bila a > 0). Titik ini dapat digunakan untuk menemukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi kuadrat.
• Mencari akar-akar: Akar-akar fungsi kuadrat adalah nilai-nilai x yang membuat f(x) = 0. Mencari akar-akar ini penting dalam menyelesaikan berbagai masalah matematika dan praktis.
• Menyusun persamaan kuadrat: Fungsi kuadrat sering digunakan untuk menyusun persamaan yang mewakili berbagai situasi dalam kehidupan nyata, seperti pergerakan benda jatuh, pola pertumbuhan populasi, atau analisis biaya-keuntungan.
• Memprediksi perilaku: Fungsi kuadrat dapat digunakan untuk memprediksi perilaku sistem yang mengikuti pola parabolik, seperti gerak peluru atau perubahan nilai suatu variabel terhadap waktu.
• Analisis data: Dalam statistik, fungsi kuadrat dapat digunakan untuk melakukan regresi kuadrat, yang memungkinkan kita untuk memodelkan hubungan antara dua variabel.

Itulah beberapa fungsi penting dari fungsi kuadrat atau parabola dalam matematika dan berbagai bidang ilmu lainnya.

Hubungan Parabola dengan Sumbu-sumbu Koordinat

• Parabola memotong sumbu y ketika $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ dan memotong sumbu $\mathrm{x}$ ketika $\mathbf{y}=\mathbf{0}$
• D $>0 \rightarrow$ parabola memotong sumbu $x$ di 2 titik
• $\mathrm{D}=\mathbf{0} \rightarrow$ parabola memotong sumbu $x$ di 1 titik (menyinggung sumbu $x$ )
• $\mathrm{D}<0 \rightarrow$ parabola tidak memotong sumbu $\mathrm{x}$

Beberapa Sketsa Parabola $\boxed{y=f[x]=a x^2+b x+c}$

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN - 2

1. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat $y=3 x^2-x-2$ dengan sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah ....

A. $(-1,0),\left(\frac{2}{3}, 0\right)$, dan $(0,2)$
B. $\left(-\frac{2}{3}, 0\right),(1,0)$, dan $(0,-2)$
C. $\left(-\frac{3}{2}, 0\right),(1,0)$, dan $\left(0,-\frac{2}{3}\right)$
D. $\left(-\frac{3}{2}, 0\right),(-1,0)$, dan $(0,-1)$
E. $\left(\frac{3}{2}, 0\right),(1,0)$, dan $(0,3)$

Jawaban: B

$$
\Leftrightarrow y=3 x^2-x-2
$$
Syarat memotong sumbu $x \rightarrow y=0$
$0=3 x^2-x-2$
$0=(3 x+2)(x-1)$
- $(3 x+2)=0 \rightarrow x=-\frac{2}{3} \rightarrow\left(-\frac{2}{3}, 0\right)$
- $(x-1)=0 \rightarrow x=1 \rightarrow(1,0)$
Syarat memotong sumbu $y \rightarrow x=0$
$$
y=3(0)^2-(0)-2=-2 \rightarrow(0,-2)
$$

2. Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=a x^2+b c+c$ mempunyai titik puncak $(8,4)$ dan memotong sumbu- $X$ negatif, maka ....

A. $a>0, b>0$, dan $c>0$
B. $a<0, b<0$, dan $c>0$
C. $a<0, b>0$, dan $c<0$
D. $a>0, b>0$, dan $c<0$
E. $a<0, b>0$, dan $c>0$

Jawaban: E

$\Leftrightarrow$ Sketsa kurva yang memenuhi soal:

Dari sketsa kurva $f(x)=a x^2+b c+c$ di atas diperoleh:

- terbuka ke bawah $\rightarrow$ a $<0$
- memotong sumbu $Y$ positif $\rightarrow c>0$
- $\mathrm{x}_{\mathrm{e}}=8>0 \rightarrow-\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}>0 \rightarrow \mathrm{b}>0$
$\Leftrightarrow$ Pernyataan yang memenuhi adalah $\mathrm{E}$.

3. Gambar di bawah ini adalah grafik fungsi ....


A. $a b>0$ dan $a-b+c=0$

B. $a b<0$ dan $a-b+c>0$

C. $a b<0$ dan $a-b+c<0$
D. $a b>0$ dan $a-b+c<0$
E. $a b<0$ dan $a-b+c=0$

Jawaban: B

$\Leftrightarrow$ Kurva $y=a x^2+b x+c$
- terbuka ke atas $\rightarrow a>0$
- memotong sumbu $x$ positif $\rightarrow c>0$
- sumbu simetri $>0$

$$
x_e>0 \rightarrow-\frac{b}{2 a}>0 \rightarrow b>0
 $$
$\Leftrightarrow$ Jadi, pernyataan yang benar adalah
- $a b<0$ dan $\bullet a-b+c>0$

10. Jika parabola $y=a x^2-(a+3) x+a$ menyinggung sumbu $x$ dan terbuka ke bawah, maka $a=\ldots$.

A. -1 dan 3

B. 1 dan -3

C. -1
D. 3
E. -3

Jawaban: C

$\Leftrightarrow y=a x^2-(a+3) x+a$
$\Leftrightarrow$ Syarat menyinggung sumbu $x$ :
$$
\begin{aligned}
D=0 \rightarrow(a+3)^2-4 A \cdot A . & =0 \\
-3 a^2+6 a+9 & =0 \\
a^2-2 a-3 & =0 \\
(a-3)(a+1) & =0
\end{aligned}

$$
$\Leftrightarrow$ Nilai a yang memenuhi supaya terbuka ke bawah $(\mathrm{a}<0) \rightarrow \mathrm{a}=-1$

11. Nilai $\mathrm{p}$ agar kurva $\mathrm{y}=\mathrm{x}^2+(\mathrm{p}-3) \mathrm{x}+\mathrm{p}$ paling sedikit memotong sumbu $x$ di sebuah titik adalah ....

A. $p \leq 1$ atau $p \geq 9$

B. $p<1$ atau $p>9$

C. $1 \leq \mathrm{p} \leq 9$
D. $1<\mathrm{p}<9$
E. $p \leq-9$ atau $p \geq-1$

Jawaban: A

$$
\begin{array}{r}
\Leftrightarrow \quad y=x^2+(p-3) x+p \\
\Leftrightarrow \text { Syarat memotong sumbu } x: \\
\quad D \geq 0 \rightarrow(p-3) 2-4(1)(p) \geq 0 \\
p^2-10 p+9 \geq 0 \\
(p-1)(p-9) \geq 0 \\
p \leq 1 \text { atau } p \geq 9
\end{array}
$$

12. Nilai $m$ yang menyebabkan fungsi kuadrat $f(x)=(m+1) x^2-2 m x+$ $(m-3)$ definit negatif adalah ....

A. $\mathrm{m}<-\frac{3}{2}$
B. $m<-1$

C. $m>-\frac{3}{2}$

D. $m>1$
E. $1<\mathrm{m}<\frac{3}{2}$

Jawaban: A

$\Leftrightarrow f(x)=(m+1) x^2-2 m x+(m-3)$
$\Leftrightarrow$ Syarat definit negatif:
- $\mathbf{a}<0 \rightarrow(\mathrm{m}+1)<0$
$$
m<-1
$$
- $\mathrm{D}<0$
$$
\begin{aligned}
(-2 m)^2-4(m+1)(m-3) & <0 \\
4 m^2-4 m^2+8 m+12 & <0 \\
m & <-\frac{3}{2}
\end{aligned}

$$ $\Leftrightarrow$ Nilai $m$ yang memenuhi adalah irisan