Menentukan Fungsi Kuadrat untuk SMP

Untuk dapat dengan mudah mengikuti diskusi Menentukan Fungsi Kuadrat berikut ini, ada baiknya kita sudah mengetahui beberapa informasi pada fungsi kuadrat, antara lain:

• Titik potong dengan sumbu $y$ saat $x=0$
• Titik potong dengan sumbu $x$ saat $y=0$
• Titik puncak (titik balik) $\left ( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right )$
• Nilai optimum $y_{p}= -\dfrac{D}{4a}=-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}$
• Sumbu Simetri $x_{p}=-\dfrac{b}{2a}$

---

MENENTUKAN FUNGSI KUADRAT

---

Bagaimana aturan yang kita pakai dalam menentukan fungsi kuadrat, tergantung dari unsur-unsur pada fungsi kuadrat yang diketahui, secara umum dapat dikelompokkan pada tiga kemungkinan yaitu:

1. Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat dapat ditentukan menggunakan persamaan $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
2. Jika diketahui Titik Potong dengan sumbu $x$ yaitu $(x_{1},0)$ dan $(x_{2},0)$ serta sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat dapat ditentukan menggunakan persamaan $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$
3. Jika diketahui tiga titik yang dilalui oleh grafik Fungsi Kuadrat maka Fungsi Kuadrat dapat ditentukan menggunakan persamaan $y=ax^{2}+bx+c$. Nilai $a,\ b,\ c$ Fungsi Kuadrat diperoleh dengan proses substitusi atau eliminasi sistem persamaan tiga variabel.

Bagaimana menggunakan persamaan di atas dalam menentukan fungsi kuadrat jika diketahui grafiknya atau diketahui titik puncak, titik potong dan sumbu simetri. Kita coba pahami menggunakan aturan di atas dari beberapa contoh berikut ini:

Menentukan Fungsi Kuadrat jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka fungsi kuadrat dapat ditentukan menggunakan persamaan $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$

$\boxed{\text{SOAL DAN PEMBAHASAN}}$

Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut ini,

Persamaan grafik fungsi kuadrat di atas adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=-2x^{2}+4x+1 \\ (B)\ & y=2x^{2}-4x+5 \\ (C)\ & y=-2x^{2}-4x+1 \\ (D)\ & y=-2x^{2}+4x-5 \\ (E)\ & y=-2x^{2}-4x+5 \end{align}$

Dari gambar grafik kita peroleh bahwa titik puncak adalah $(1,3)$ sehingga $x_{p}=1$ dan $y_{p}=3$, sedangkan titik sembarang yang dilalui grafik adalah $(0,1)$ sehingga saat $x=0 \rightarrow y=1 $.

Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$

Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik puncak $(1,3)$:
$y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
$y=a\left (x -1\right)^{2}+3$

Langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(0,1)$:
$\begin{align} y &= a\left (x -1\right)^{2}+3 \\ 1 &= a\left (0 -1\right)^{2}+3 \\ 1 &= a\left (-1\right)^{2}+3 \\ 1 &= a(1)+3 \\ 1 &= a+3 \\ 1-3 &= a \\ -2 &= a \end{align}$

Setelah kita peroleh nilai $a=-2$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align} y &= a\left (x -1\right)^{2}+3 \\ y &= -2 \left (x -1\right)^{2}+3 \\ y &= -2 \left (x^{2}-2x+1 \right) +3 \\ y &= -2x^{2}+4x-2+3 \\ y &= -2x^{2}+4x+1 \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=-2x^{2}+4x+1$

Soal :

Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik $(1,-4)$ dan melalui titik $(2,-3)$ persamaannya adalah...
$\begin{align} (A)\ & y=2x^{2}-2x-7 \\ (B)\ & y= x^{2}- x-5 \\ (C)\ & y= x^{2}-2x-4 \\ (D)\ & y= x^{2}-2x-3 \\ (E)\ & y= x^{2}+2x-7 \end{align}$

Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa titik balik (titik puncak) adalah $(1,-4)$ sehingga $x_{p}=1$ dan $y_{p}=-4$, sedangkan titik sembarang yang dilalui grafik adalah $(2,-3)$ sehingga saat $x=2 \rightarrow y=-3 $.

Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$

Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik puncak $(1,-4)$:
$y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
$y=a\left (x -1\right)^{2}-4$

Langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(2,-3)$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -1\right)^{2}-4 \\ -3 &= a\left (2 -1 \right)^{2}-4 \\ -3 &= a\left (1 \right)^{2} -4 \\ -3 &= a\left (1 \right) -4 \\ -3 &= a-4 \\ -3+4 &= a \\ 1 &= a \end{align}$

Setelah kita peroleh nilai $a=1$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align} y &= a\left (x -1\right)^{2}-4 \\ y &= 1 \left (x -1\right)^{2}-4 \\ y &= x^{2}-2x+1 -4 \\ y &= x^{2}-2x-3 \end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y= x^{2}-2x-3$

Menentukan Fungsi Kuadrat Jika diketahui Titik Potong dengan sumbu $x$ yaitu $(x_{1},0)$ dan $(x_{2},0)$ serta sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka fungsi kuadrat dapat ditentukan menggunakan persamaan $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$

Soal :

Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut ini,

Persamaan grafik fungsi kuadrat dari grafik di atas adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=-x^{2}-5x-4 \\ (B)\ & y=-x^{2}-5x+2 \\ (C)\ & y=-x^{2}+5x-2 \\ (D)\ & y=-x^{2}+5x+4 \\ (E)\ & y=-x^{2}+5x-4
\end{align}$

Dari gambar grafik kita peroleh bahwa titik potong terhadap sumbu-$x$ pada $(1,0)$ dan $(4,0)$ sehingga $x_{1}=1$ dan $x_{2}=4$, sedangkan titik sembarang yang dilalui grafik adalah $(0,-4)$ sehingga saat $x=0 \rightarrow y=-4 $.

Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$

Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik potong terhadap sumbu-$x$ yaitu $x_{1}=1$ dan $x_{2}=4$:
$y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$
$y=a\left (x -1 \right)\left (x -4 \right)$

Langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(0,-4)$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -1 \right)\left (x -4 \right) \\ -4 &= a\left (0 -1 \right)\left (0 -4 \right) \\ -4 &= a\left ( -1 \right)\left ( -4 \right) \\ -4 &= 4a \\ \dfrac{-4}{4} &= a \\
-1 &= a
\end{align}$

Setelah kita peroleh nilai $a=-1$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x -1 \right)\left (x -4 \right) \\ y &= -1\left (x -1 \right)\left (x -4 \right) \\ y &= -1 \left (x^{2}-5x+4 \right) \\ y &=-x^{2}+5x-4
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ y=-x^{2}+5x-4$

Soal :

Grafik suatu fungsi kuadrat yang memotong sumbu-$x$ di titik $(–4, 0)$ dan $(3, 0)$ serta memotong di titik $(0, –12)$, mempunyai persamaan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y= x^{2}-x-12 \\ (B)\ & y= x^{2}+x-12 \\ (C)\ & y= x^{2}+7x-12 \\ (D)\ & y=x^{2}-x-12 \\ (E)\ & y= x^{2}+7x-12
\end{align}$

Dari informasi pada soal disampaikan bahwa grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-$x$ pada $(-4,0)$ dan $(3,0)$ sehingga $x_{1}=-4$ dan $x_{2}=3$, sedangkan titik sembarang yang dilalui grafik adalah $(0,-12)$ sehingga saat $x=0 \rightarrow y=-12 $.

Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$

Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik potong terhadap sumbu-$x$ yaitu $x_{1}=-4$ dan $x_{2}=3$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right) \\ y &= a\left (x -(-4) \right)\left (x -3 \right) \\ y &= a\left (x +4 \right)\left (x -3 \right) \\ \end{align}$

Langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(0,-12)$:
$\begin{align}
y &= a\left (x +4 \right)\left (x -3 \right) \\ -12 &= a\left (0 +4 \right)\left (0 -3 \right) \\ -12 &= -12a \\ \dfrac{-12}{-12} &= a \\ 1 &= a
\end{align}$

Setelah kita peroleh nilai $a=1$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x +4 \right)\left (x -3 \right) \\ y &= 1\left (x +4 \right)\left (x -3 \right) \\ y &= x^{2}+x-12
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ y= x^{2}+x-12$

Menentukan Fungsi Kuadrat Jika diketahui tiga titik yang dilalui oleh grafik Fungsi Kuadrat maka Fungsi Kuadrat dapat ditentukan menggunakan persamaan $y=ax^{2}+bx+c$. Nilai $a,\ b,\ c$ Fungsi Kuadrat diperoleh dengan proses substitusi atau eliminasi sistem persamaan tiga variabel.

Soal :

Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar di bawah ini adalah...

$\begin{align}
(A)\ & y=2x^{2}- x-6 \\ (B)\ & y=2x^{2}+x-2 \\ (C)\ & y= x^{2}-2x-6 \\ (D)\ & y= x^{2}+2x-6 \\ (E)\ & y= x^{2}-4x-6
\end{align}$

Dari gambar grafik kita peroleh tiga titik yang dilalui oleh grafik yaitu $(0,-6)$, $(2,-6)$ dan $(3,-3)$ sehingga saat $x=0 \rightarrow y=-6 $, $x=2 \rightarrow y=-6 $ dan $x=3 \rightarrow y=-3 $.

Persamaan yang kita pakai adalah: $y=ax^{2}+bx+c$

Pertama kita substitusi nilai $(0,-6)$, $(2,-6)$ dan $(3,-3)$ pada persamaan $y=ax^{2}+bx+c$, kita peroleh:
$\begin{align}
(0,-6) \rightarrow -6 &= a(0)^{2}+b(0)+c \\ -6 &= c \\ \hline
(2,-6) \rightarrow -6 &= a(2)^{2}+b(2)+(-6) \\ -6 &= 4a +2b -6 \\ -6+6 &= 4a +2b \\ 0 &= 4a +2b \\ 0 &= 2a + b \ \ \text{pers.(1)}\\ \hline
(3,-3) \rightarrow -3 &= a(3)^{2}+b(3)+(-6) \\ -3 &= 9a + 3b -6 \\ -3+6 &= 9a+3b \\ 3 &= 9a + 3b \\ 1 &= 3a + b \ \ \text{pers.(2)}\\ \end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b=0 & \\ 3a+b =1 & (-) \\ \hline
a = 1 & 2a+b=0 \\ & b=-2
\end{array} $

Untuk $a=1,\ b=-2,\ c=-6$, maka $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $y= x^{2}-2x-6$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y= x^{2}-2x-6$

Soal :

Grafik fungsi kuadrat melalui titik $(0,3)$, $(1,0)$ dan $(2,-1)$, persamaan grafik fungsi tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y= x^{2}-2x+3 \\ (B)\ & y= x^{2}+4x+3 \\ (C)\ & y= x^{2}-4x+3 \\ (D)\ & y= -x^{2}-2x+3 \\ (E)\ & y=-x^{2}+2x+3
\end{align}$

Dari apa yang disampaikan pada soal grafik melalui titik $(0,3)$, $(1,0)$ dan $(2,-1)$ sehingga saat $x=3 \rightarrow y=0 $, $x=0 \rightarrow y=1 $ dan $x=2 \rightarrow y=-1 $.

Persamaan yang kita pakai adalah: $y=ax^{2}+bx+c$

Pertama kita substitusi nilai $(0,3)$, $(1,0)$ dan $(2,-1)$ pada persamaan $y=ax^{2}+bx+c$, kita peroleh:
$\begin{align}
(0,3) \rightarrow 3 &= a(0)^{2}+b(0)+c \\ 3 &= c \\ \hline
(1,0) \rightarrow 0 &= a(1)^{2}+b(1)+(3) \\ 0 &= a + b+3 \\ -3 &= a + b \ \ \text{pers.(1)}\\ \hline
(2,-1) \rightarrow -1 &= a(2)^{2}+b(2)+(3) \\ -1 &= 4a + 2b +3 \\ -1-3 &= 4a+2b \\ -4 &= 4a+2b \\ -2 &= 2a + b\ \ \text{pers.(2)}\\ \end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
a+ b=-3 & \\ 2a+b =-2 & (-) \\ \hline
-a = -1 & \\ a = 1 & 2a+b=-2 \\ & b=-4
\end{array} $

Untuk $a=1,\ b=-4,\ c=3$, maka $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $y= x^{2}-4x+3$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y= x^{2}-4x+3$

Beberapa contoh di atas mudah-mudahan membantu pemahaman kita dalam membentuk fungsi kuadrat. Sebagai tambahan soal latihan, soal berikut kita pilih dari buku siswa matematika SMP kelas IX (sembilan) kurikulum 2013 dan sebelum melihat alternatif pembahasan, ada baiknya dicoba terlebih dahulu.

1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat $(-1,1)$, $(0,-4)$, dan $(1,-5)$.

Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang disampaikan pada soal grafik melalui titik $(-1,1)$, $(0,-4)$, dan $(1,-5)$ sehingga saat $x=-1 \rightarrow y=1 $, $x=0 \rightarrow y=-4 $ dan $x=1 \rightarrow y=-5$.

Persamaan yang kita pakai adalah: $y=ax^{2}+bx+c$

Pertama kita substitusi nilai $(-1,1)$, $(0,-4)$, dan $(1,-5)$ pada persamaan $y=ax^{2}+bx+c$, kita peroleh:
$\begin{align}
(0,-4) \rightarrow -4 &= a(0)^{2}+b(0)+c \\ -4 &= c \\ \hline
(-1,1) \rightarrow 1 &= a(-1)^{2}+b(-1)+(-4) \\ 1 &= a - b-4 \\ 1+4 &= a - b \\ 5 &= a - b \ \ \text{pers.(1)}\\ \hline
(1,-5) \rightarrow -5 &= a(1)^{2}+b(1)+(-4) \\ -5 &= a + b -4 \\ -5+4 &= a+b \\ -1 &= a+b\ \ \ \text{pers.(2)}\\ \end{align}$
Dari kedua persamaan di atas kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
a-b=5 & \\ a+b =-1 & (+) \\ \hline
2a = 4 & \\ a = 2 & a+b=-1 \\ & b=-3
\end{array} $

Untuk $a=2,\ b=-3,\ c=-4$, maka fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $y= 2x^{2}-3x-4$

2. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-$x$ pada titik koordinat $(4,0)$ dan $(-3,0)$ serta melalui titik koordinat $(2,-10)$

Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang disampaikan pada soal grafik melalui titik $(4,0)$, $(-3,0)$ dan $(2,-10)$ sehingga saat $x=4 \rightarrow y=0 $, $x=-3 \rightarrow y=0 $ dan $x=2 \rightarrow y=-10$.

Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$

Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik potong terhadap sumbu-$x$ yaitu $x_{1}=4$ dan $x_{2}=-3$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right) \\ y &= a\left (x -4 \right)\left (x -(-3) \right) \\ y &= a\left (x -4 \right)\left (x +3 \right) \\ \end{align}$

langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(2,-10)$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -4 \right)\left (x +3 \right) \\ -10 &= a\left (2 -4 \right)\left (2 +3 \right) \\ -10 &= -10a \\ \dfrac{-10}{-10} &= a \\ 1 &= a
\end{align}$

Setelah kita peroleh nilai $a=1$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x -4 \right)\left (x +3 \right) \\ y &= 1\left (x -4 \right)\left (x +3 \right) \\ y &= x^{2}-x-12
\end{align}$

Fungsi kuadrat adalah $y = x^{2}-x-12$

3. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-$x$ pada titik koordinat $(-2,0)$ dan memiliki titik puncak pada koordinat $(-1,-1)$

Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang disampaikan pada soal grafik melalui titik $(-2,0)$ dan titik puncak $(2,-16)$ sehingga saat $x=-2 \rightarrow y=0 $ dan $x_{p}=2 \rightarrow y_{p}=-16 $.

Persamaan yang kita pakai adalah: $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$

Untuk menentukan sebuah fungsi kuadrat pertama kita cari terlebih dahulu nilai $a$.
Untuk mendapatkan nilai $a$, langkah pertama kita substitusi titik puncak $(2,-16)$:
$y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
$y=a\left (x -2\right)^{2}-16$

Langkah kedua kita substitusi titik sembarang $(-2,0)$:
$\begin{align}
y &= a\left (x -2\right)^{2}-16 \\ 0 &= a\left (-2 -2\right)^{2}-16 \\ 0 &= 16a -16 \\ 16 &= 16a \\ 1 &= a
\end{align}$

Setelah kita peroleh nilai $a=1$, lalu fungsi kita kembalikan pada langkah pertama;
$\begin{align}
y &= a\left (x -2\right)^{2}-16 \\ y &= 1\left (x -2\right)^{2}-16 \\ y &= x^{2}-4x+4 -16 \\ y &= x^{2}-4x-12
\end{align}$

Fungsi kuadrat adalah $y = x^{2}-4x-12$

4. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-$y$ pada koordinat $(0,4)$, melalui titik koordinat $(-1,-1)$ dan memiliki sumbu simetri $x=2$

Alternatif Pembahasan:

Dari apa yang disampaikan pada soal grafik melalui titik $(0,4)$, $(-1,-1)$ dan sumbu simetri $x=2$ sehingga saat $x=0 \rightarrow y=4 $, $x=-1 \rightarrow y=-1 $.

Sumbu simetri fungsi kuadrat adalah $x=2$

• Jika kita analisis dengan bantuan titik $(0,4)$ sehingga kurva juga melalui titik $\left( 0+2(2),4 \right)$ atau $(4,4)$.
• Jika kita analisis dengan bantuan titik $(-1,-1)$ sehingga kurva juga melalui titik $\left( -1+2(3),-1 \right)$ atau $(5,-1)$.

Jika kita gambarkan ilustrasinya seperti berikut ini: