PENGERTIAN DAN SIFAT LOGARITMA

Logaritma adalah operasi matematika yang mengukur eksponen yang diperlukan untuk menghasilkan suatu bilangan tertentu dengan dasar tertentu. Dalam kata lain, logaritma adalah cara untuk menemukan eksponen yang memungkinkan kita membangkitkan suatu bilangan dengan menggunakan pangkat tertentu dari suatu angka dasar.

 

Logaritma dengan basis tertentu biasanya ditulis dalam bentuk berikut:

log_b(x)

Di sini, "log_b" merupakan logaritma dengan dasar "b," dan "x" adalah bilangan yang ingin kita hitung logaritmanya.

Contoh sederhana adalah logaritma alami (logaritma dengan dasar e ≈ 2.71828), yang sering ditulis sebagai "ln(x)" atau "log_e(x)." Logaritma ini memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang matematika dan ilmu pengetahuan, seperti dalam pemodelan pertumbuhan eksponensial, penyelesaian persamaan diferensial, dan analisis kompleksitas algoritma, untuk beberapa contoh.
Bentuk $\log b$ adalah logaritma $b$ dengan bilangan pokok $a$,
- a disebut bilangan pokok dengan $\mathbf{a}>\mathbf{0}$ dan $\mathbf{a} \neq \mathbf{1}$.
- $\quad b$ disebut bilangan yang dilogaritmakan dengan $b>0$.

Sifat umum logaritma:

$\Rightarrow{ }^{\mathrm{a}} \log x+{ }^{\mathrm{a}} \log y={ }^{\mathrm{a}} \log x . y$
$\Rightarrow{ }^a \log x-{ }^a \log y={ }^a \log \frac{x}{y}$
$\Rightarrow\quad{ }^a \log a=1$
$\Rightarrow\quad{ }^a \log x^n={ }^a \log x$
$\Rightarrow\quad a^{{ }^{\log y}}=y$
$\Rightarrow\quad c^{{ }^2 \log b}=b^{{ }^2 \log c}$
$\Rightarrow{ }^a \log b={ }^{a^n} \log b^n$
$\Rightarrow{ }^{\mathrm{a}} \log \mathrm{b}=\frac{{ }^{\mathrm{c}} \log \mathrm{b}}{{ }^{\mathrm{c}} \log \mathrm{a}}=\frac{1}{{ }^{\mathrm{b}} \log \mathrm{a}}$
$\Rightarrow\quad{ }^a \log b^m=\frac{m}{n}{ }^a \log b$
$\Rightarrow\quad{ }^{\mathrm{a}} \log b .{ }^{\mathrm{b}} \log \mathrm{c} .{ }^{\mathrm{c}} \log \mathrm{d}={ }^{\mathrm{a}} \log \mathrm{d}$

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

$\boxed{\text{SOAL  1}}$
Hasil dari ${ }^{\frac{1}{5}} \log 625+{ }^{64} \log \frac{1}{16}+4^{3 .{ }^{25} \log 5}=\ldots$
A. $-4^{\frac{19}{24}}$
B. $3 \frac{1}{3}$

C. $4 \frac{2}{3}$

D. $5 \frac{1}{3}$
E. $59 \frac{1}{3}$
Jawaban: B
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad{ }^{\frac{1}{5}} \log 625+{ }^{64} \log \frac{1}{16}+4^{3 .{ }^{25} \log 5} \\
={ }^{5^{-1}} \log 5^4+{ }^{4^3} \log 4^{-2}+4^{5^2} \log 5^3 \\
=\frac{4}{-1}+\left(\frac{-2}{3}\right)+\left(2^2\right)^{\frac{3}{2}} \\
=-4-\frac{2}{3}+8=3 \frac{1}{3}
\end{aligned}
$$

$\boxed{SOAL:  2}$
Bentuk sederhana dari $\frac{\log ^2 a-\log ^2 b}{\log a+\log b}$ adalah ....
A. -1
B. 1

C. $\log \frac{a}{b}$

D. $\log a-b$
E. $\log (a-b)$
Jawaban: C
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow & \frac{\log ^2 a-\log ^2 b}{\log a+\log b} \\
& =\frac{(\log a+\log b)(\log a-\log b)}{(\log a+\log b)} \\
& =\log a-\log b=\log \frac{a}{b}
\end{aligned}
$$

$\boxed{SOAL:  3}$
Jika ${}^a \log b+{}^b \log a=3$, maka nilai $\left({ }^a \log b\right)^2+\left({ }^b \log a\right)^2$ adalah ....
A. 2
B. 5

C. 7

D. 9
E. 11
Jawaban: C
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \quad{ }^{\mathrm{a}} \log \mathrm{b}+{ }^{\mathrm{b}} \log \mathrm{a}=3 \rightarrow \text { dikuadratkan } \\
& \left({ }^{\mathrm{a}} \log \mathrm{b}\right)^2+2 \cdot \underbrace{\left({ }^{\mathrm{a}} \log \mathrm{b} \cdot{ }^{\mathrm{b}} \log \mathrm{a}\right)}_{{ }^{\mathrm{a}} \log \mathrm{a}}+\left({ }^{\mathrm{b}} \log \mathrm{a}\right)^2=9 \\
& \left({ }^a \log b\right)^2+\left({ }^b \log a\right)^2=9-2=7 \\
&
\end{aligned}
$$

$\boxed{SOAL:  4}$
Jika ${ }^2 \log \sqrt{3}=a$, maka nilai ${ }^4 \log 27$ adalah ....
A. $3 a$
B. $\frac{3}{2} \mathrm{a}$

C. $\frac{2}{3} \mathrm{a}$

D. $\frac{3}{4} a$
E. $\frac{1}{2} \mathrm{a}$
Jawaban: A
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad{ }^2 \log \sqrt{3} & =a \rightarrow{ }^{(2)^2} \log (\sqrt{3})^2=a \\
{ }^4 \log 3=a & { }^4 \log 27={ }^4 \log (3)^3=3 \cdot{ }^4 \log 3=3 a
\end{aligned}
$$

$\boxed{SOAL: 5}$
Jika ${ }^7 \log 2=$ a dan ${ }^2 \log 3=b$, maka ${ }^6 \log 98=\ldots$.
A. $\frac{a}{a+b}$
B. $\frac{a+2}{b+1}$

C. $\frac{a+2}{a(b+1)}$

D. $\frac{a+1}{b+2}$
E. $\frac{a+2}{b(a+1)}$
Jawaban: C
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow{ }^6 \log 98 & =\frac{{ }^2 \log 98}{{ }^2 \log 6} \\
& =\frac{{ }^2 \log \left(2.7^2\right)}{{ }^2 \log (2.3)} \\
& =\frac{{ }^2 \log 2+2 .{ }^2 \log 7}{{ }^2 \log 2+{ }^2 \log 3} \\
& =\frac{1+2\left(\frac{1}{a}\right)}{1+b} \rightarrow \text { dikali }\left(\frac{a}{a}\right) \\
& =\frac{a+2}{a(b+1)}
\end{aligned}
$$

$\boxed{SOAL:  6}$
Jika diketahui ${ }^a \log b=m$ dan ${ }^b \log c=n$, maka ${ }^{ab} \log b c=\ldots$.
A. $m+n$
B. $m \cdot n$

C. $\frac{m(1+n)}{1+m}$

D. $\frac{n(1+m)}{1+n}$
E. $\frac{1+m n}{1+m}$
Jawaban: C

$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad{ }^{a b} \log b c & =\frac{{ }^a \log b c}{{ }^a \log a b} \\
& =\frac{{ }^a \log b+{ }^a \log c}{{ }^a \log a+{ }^a \log b} \\
& =\frac{m+m n}{1+m}=\frac{m(1+n)}{1+m}
\end{aligned}
$$

$\boxed{SOAL : 7}$
Jika ${ }^b \log a+{ }^b \log a^2=4$, maka nilai ${ }^2 \log b$ adalah ....
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{4}{3}$

D. 2
E. $\frac{3}{2}$

Jawaban: A
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad & { }^{\mathrm{b}} \log a+{ }^{\mathrm{b}} \log \mathrm{a}^2=4 \\
& { }^{\mathrm{b}} \log \mathrm{a}+2\left({ }^{\mathrm{b}} \log \mathrm{a}\right)=4 \\
& 3\left({ }^{\mathrm{b}} \log \mathrm{a}\right)=4 \rightarrow{ }^{\mathrm{b}} \log \mathrm{a}=\frac{4}{3} \\
\Leftrightarrow & { }^{\mathrm{a}} \log \mathrm{b}=\frac{3}{4}
\end{aligned}
$$

$\boxed{SOAL : 8}$
Jika ${ }^{x+y} \log 2=a$ dan ${ }^{x-y} \log 8=b$, dengan $0<y<x$, maka ${ }^4 \log \left(x^2-y^2\right)$ $=\ldots$.
A. $\frac{a+3 b}{a b}$
B. $\frac{a+b}{2 a b}$

C. $\quad \frac{a+b}{4 a b}$

D. $\frac{3 a+b}{2 a b}$
E. $\frac{3 a+b}{4 a b}$
Jawaban: D

$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \quad{ }^{x+y} \log 2=a \\
&{ }^{x-y} \log (2)^3=b \rightarrow{ }^{x-y} \log 2=\frac{b}{3} \\
& \Leftrightarrow \quad{ }^4 \log \left(x^2-y^2\right) \\
&={ }^{2^2} \log (x+y)(x-y) \\
&= \frac{1}{2}\left\{{ }^2 \log (x+y)+{ }^2 \log (x-y)\right\} \\
&= \frac{1}{2}\left\{\frac{1}{a}+\frac{3}{b}\right\} \\
&= \frac{3 a+b}{2 a b}
\end{aligned}
$$

$\boxed{SOAL : 9}$
Jika ${ }^a \log 81^b={ }^b \log 27^{\prime}$ dengan $a, b>0$, maka nilai dari $\left((a)^{\frac{1}{14}} \cdot \log (b)^{\frac{1}{b}}\right)^{\frac{1}{3}}$ adalah.....
A. $\frac{2 a}{3 b}$
B. $\frac{3 a}{4 b}$

C. $\frac{a}{b}$

D. $\frac{3 a}{2 b}$
E. $\frac{4 a}{3 b}$

$ \text { Jawaban: D }$
$$
\begin{aligned}
 \Leftrightarrow{ }^{\mathrm{a}} \log 81^{\mathrm{b}}&={ }^{\mathrm{b}} \log 27^{\mathrm{a}} \\
{ }^{\mathrm{a}} \log (3)^{4 \mathrm{~b}}&={ }^{\mathrm{b}} \log (3) \\
\text { (4b). }{ }^a \log 3&=(3 a) \cdot{ }^b \log 3 \\
{ }^a \log b&=\frac{3 a}{4 b} \\
\Leftrightarrow \sqrt{a^{\frac{1}{3 a}} \log (b)^{\frac{1}{b}}}& =\sqrt{\frac{3 a}{b} \cdot\left({ }^a \log b\right)} \\
& =\sqrt{\frac{3 a}{b}\left(\frac{3 a}{4 b}\right)} \\
& =\sqrt{\left(\frac{3 a}{2 b}\right)^2}=\frac{3 a}{2 b}
\end{aligned}
$$

B. PERSAMAAN LOGARITMA

1. Bentuk dasar:
- ${ }^a \log f(x)={ }^a \log p \quad \rightarrow f(x)=p$
- ${ }^a \log f(x)={ }^a \log g(x) \rightarrow f(x)=g(x)$
- ${ }^a \log f(x)=c \quad \rightarrow f(x)=a^c$
- ${ }^{g(x)} \log f(x)=c \quad \rightarrow f(x)=g(x)^c$
- ${ }^{\circ} \log f(x)={ }^b \log f(x) \rightarrow f(x)=1$
2. Bentuk: $a^{f(x)}=b^{g(x)}$
Untuk memudahkan penyelesaian bentuk ini oprasikan logaritma dikedua ruasnya.
3. Persamaan bentuklain, biasanya menggunakan permisalansehingga memudahkan penyelesaian.
Catatan: Untuk penyelesaian akhir, perhatikan syarat logaritma.