PERSAMAAN LOGARITMA
1. Bentuk dasar:$\boxed{{ }^a \log f(x)={ }^a \log p \quad \rightarrow f(x)=p}$
$\boxed{{ }^a \log f(x)={ }^a \log g(x) \rightarrow f(x)=g(x)}$
$\boxed{{ }^a \log f(x)=c \quad \rightarrow f(x)=a^c}$
$\boxed{{ }^{g(x)} \log f(x)=c \quad \rightarrow f(x)=g(x)^c}$
$\boxed{{ }^{a} \log f(x)={ }^b \log f(x) \rightarrow f(x)=1}$
2. Bentuk: $a^{f(x)}=b^{g(x)}$
Untuk memudahkan penyelesaian bentuk ini operasikan logaritma dikedua ruasnya.
3. Persamaan bentuk lain, biasanya menggunakan permisalan sehingga memudahkan penyelesaian.
Catatan: Untuk penyelesaian akhir, perhatikan syarat logaritma.
$\boxed{\text{SOAL dan PEMBAHASAN}}$
10. Nilai x yang memenuhi persamaan ${ }^{\frac{1}{2}} \log \left(x^2-3\right)-{ }^{\frac{1}{2}} \log x=-1$ adalah ....
A. $x=-1$ atau $x=3$
B. $x=1$ atau $x=-3$
C. $x=1$ atau $x=3$
D. $x=1$ saja
E. $x=3$ saja
Jawaban: $E$
$$
\Leftrightarrow \quad \begin{aligned}
{ }^{\frac{1}{2}} \log \left(x^2-3\right)-{ }^{\frac{1}{2}} \log x & =-1 \\
{ }^{\frac{1}{2}} \log \left(\frac{x^2-3}{x}\right) & ={ }^{\frac{1}{2}} \log 2 \\
\left(\frac{x^2-3}{x}\right) & =2 \rightarrow \text { dikali silang } \\
x^2-3 & =2 x \\
x^2-2 x-3 & =0 \\
(x-3)(x+1) & =0
\end{aligned}
$$
$$\boxed{x=3} \rightarrow \text{memenuhi, dan }\\
\boxed{x=-1} \rightarrow \text{tidak memenuhi}$$
\boxed{x=-1} \rightarrow \text{tidak memenuhi}$$
11. Jika ${ }^2 \log 3=0,4$, maka $x=\ldots$.
A. $2 \sqrt{3}$
B. $4 \sqrt{3}$
C. $5 \sqrt{3}$
D. $6 \sqrt{3}$
E. $9 \sqrt{3}$
Jawaban: E
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad{ }^x \log 3=\frac{2}{5} \\
3=x^3 \\
x=3^{\frac{5}{2}}=3^2 \cdot 3^{\frac{1}{1}}=9 \sqrt{3}
\end{aligned}
$$
12. Nilai $x$ yang memenuhi $8^{x+1}=24^{x-1}$ adalah ....
A. $1+6^2 \log 3$
B. $1+4^2 \log 3$
C. $1+6{ }^3 \log 2$
D. $1-4^3 \log 2$
E. $1-6^3 \log 2$
Jawaban : C
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow 8^{x+1} & =24^{x-1} \\
\log 8^{x+1} & =\log 24^{x-1} \\
(x+1) \log 8 & =(x-1) \log 24 \\
x \log 8+\log 8 & =x \log 24-\log 24 \\
\log 8+\log 24 & =x(\log 24-\log 8) \\
\log 192 \quad & =x \log 3 \\
\Leftrightarrow x=\frac{\log 192}{\log 3} & ={ }^5 \log 192 \\
& ={ }^3 \log \left(3.2^6\right) \\
& =1+6^3 \log 2
\end{aligned}
$$
13. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${ }^2 \log { }^2 \log \left(2^{x+1}+3\right)=1+{ }^2 \log x$ adalah....
A. ${ }^2 \log 3$
B. ${ }^3 \log 2$
C. 8 atau $\frac{1}{2}$
D. -1 atau 3
E. $\log \frac{2}{3}$
Jawaban: A
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad{ }^2 \log { }^2 \log \left(2^{x+1}+3\right) & ={ }^2 \log 2+{ }^2 \log x \\
{ }^2 \log ^2 \log \left(2.2^x+3\right) & ={ }^2 \log 2 x \\
{ }^2 \log \left(2.2^x+3\right) & =2 x \\
\left(2.2^x+3\right) & =2^{2 x} \\
0 & =\left(2^x\right)^2-2\left(2^x\right)-3 \\
0 & =\left(2^x-3\right)\left(2^x+1\right)
\end{aligned}
$$
- $2^x=3 \rightarrow x={ }^2 \log 3$
- $2^{\mathrm{x}}=-1 \rightarrow \mathrm{x}=\{\phi\}$
14. Jika $x$ memenuhi persamaan $x^2 \log x=16$, maka ${ }^4 \log x^2=\ldots$
A. 2 atau -2
B. 4 atau $\frac{1}{4}$
C. 1 atau -1
D. 4 atau -4
E. 2 atau $\frac{1}{2}$
Jawaban: A
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad x^2 \log x & =16 \\
{ }^2 \log \left(x^2 \log x\right. & ={ }^2 \log 16=4 \\
\left({ }^2 \log x\right)^2 & =4 \\
{ }^2 \log x & = \pm 2 \\
\Leftrightarrow \quad{ }^4 \log x^2={ }^2 & \log x^2={ }^2 \log x= \pm 2
\end{aligned}
$$
15. Solusi persamaan ${ }^x \log (x+2)-3{ }^x \log 2+1=0$ adalah ....
A. 0
B. 1
A. $2 \sqrt{3}$
B. $4 \sqrt{3}$
C. $5 \sqrt{3}$
D. $6 \sqrt{3}$
E. $9 \sqrt{3}$
Jawaban: E
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad{ }^x \log 3=\frac{2}{5} \\
3=x^3 \\
x=3^{\frac{5}{2}}=3^2 \cdot 3^{\frac{1}{1}}=9 \sqrt{3}
\end{aligned}
$$
12. Nilai $x$ yang memenuhi $8^{x+1}=24^{x-1}$ adalah ....
A. $1+6^2 \log 3$
B. $1+4^2 \log 3$
C. $1+6{ }^3 \log 2$
D. $1-4^3 \log 2$
E. $1-6^3 \log 2$
Jawaban : C
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow 8^{x+1} & =24^{x-1} \\
\log 8^{x+1} & =\log 24^{x-1} \\
(x+1) \log 8 & =(x-1) \log 24 \\
x \log 8+\log 8 & =x \log 24-\log 24 \\
\log 8+\log 24 & =x(\log 24-\log 8) \\
\log 192 \quad & =x \log 3 \\
\Leftrightarrow x=\frac{\log 192}{\log 3} & ={ }^5 \log 192 \\
& ={ }^3 \log \left(3.2^6\right) \\
& =1+6^3 \log 2
\end{aligned}
$$
13. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${ }^2 \log { }^2 \log \left(2^{x+1}+3\right)=1+{ }^2 \log x$ adalah....
A. ${ }^2 \log 3$
B. ${ }^3 \log 2$
C. 8 atau $\frac{1}{2}$
D. -1 atau 3
E. $\log \frac{2}{3}$
Jawaban: A
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad{ }^2 \log { }^2 \log \left(2^{x+1}+3\right) & ={ }^2 \log 2+{ }^2 \log x \\
{ }^2 \log ^2 \log \left(2.2^x+3\right) & ={ }^2 \log 2 x \\
{ }^2 \log \left(2.2^x+3\right) & =2 x \\
\left(2.2^x+3\right) & =2^{2 x} \\
0 & =\left(2^x\right)^2-2\left(2^x\right)-3 \\
0 & =\left(2^x-3\right)\left(2^x+1\right)
\end{aligned}
$$
- $2^x=3 \rightarrow x={ }^2 \log 3$
- $2^{\mathrm{x}}=-1 \rightarrow \mathrm{x}=\{\phi\}$
14. Jika $x$ memenuhi persamaan $x^2 \log x=16$, maka ${ }^4 \log x^2=\ldots$
A. 2 atau -2
B. 4 atau $\frac{1}{4}$
C. 1 atau -1
D. 4 atau -4
E. 2 atau $\frac{1}{2}$
Jawaban: A
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad x^2 \log x & =16 \\
{ }^2 \log \left(x^2 \log x\right. & ={ }^2 \log 16=4 \\
\left({ }^2 \log x\right)^2 & =4 \\
{ }^2 \log x & = \pm 2 \\
\Leftrightarrow \quad{ }^4 \log x^2={ }^2 & \log x^2={ }^2 \log x= \pm 2
\end{aligned}
$$
15. Solusi persamaan ${ }^x \log (x+2)-3{ }^x \log 2+1=0$ adalah ....
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Jawaban: C
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow{ }^x \log (x+2)-3{ }^x \log 2+1 & =0 \\
{ }^x \log (x+2)-{ }^x \log 2^3 & =-1 \\
{ }^x \log \left(\frac{x+2}{8}\right) & ={ }^x \log \frac{1}{x} \\
\left(\frac{x+2}{8}\right) & =\frac{1}{x} \\
x^2+2 x & =8 \\
x^2+2 x-8 & =0 \\
(x+4)(x-2) & =0
\end{aligned}
$$
- $x=-4 \rightarrow$ tidak memenuhi
- $\mathrm{x}=2 \rightarrow$ memenuhi
16. Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $\left({ }^3 \log x\right)^2-3\left({ }^3 \log x\right)+2=0$, maka $x_1 \cdot x_2=\ldots$.
A. 2
B. 3
E. 4
Jawaban: C
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow{ }^x \log (x+2)-3{ }^x \log 2+1 & =0 \\
{ }^x \log (x+2)-{ }^x \log 2^3 & =-1 \\
{ }^x \log \left(\frac{x+2}{8}\right) & ={ }^x \log \frac{1}{x} \\
\left(\frac{x+2}{8}\right) & =\frac{1}{x} \\
x^2+2 x & =8 \\
x^2+2 x-8 & =0 \\
(x+4)(x-2) & =0
\end{aligned}
$$
- $x=-4 \rightarrow$ tidak memenuhi
- $\mathrm{x}=2 \rightarrow$ memenuhi
16. Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $\left({ }^3 \log x\right)^2-3\left({ }^3 \log x\right)+2=0$, maka $x_1 \cdot x_2=\ldots$.
A. 2
B. 3
C. 8
D. 24
E. 27
E. 27
Jawaban: E
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad & \left({ }^3 \log x\right)^2-3\left({ }^3 \log x\right)+2=0 \\
& \left({ }^3 \log x-2\right)\left({ }^3 \log x-1\right)=0 \\
& \quad{ }^3 \log x=2 \rightarrow x_1=3^2=9 \\
& \quad{ }^3 \log x=1 \rightarrow x_2=3^1=3 \\
\Leftrightarrow & x_1 \cdot x_2=(9) \cdot(3)=27
\end{aligned}
$$
SOLUSI SMART!
$$
\begin{aligned}
& a\left({ }^p \log x\right)^2+b\left({ }^p \log x\right)+c=0 \rightarrow x_1 \cdot x_2=p^{-3} \\
& \Leftrightarrow \quad\left({ }^3 \log x\right)^2-3\left({ }^3 \log x\right)+2=0 \\
& a=1, b=-3, c=2 \text { dan } p=3 \\
& \Leftrightarrow x_1 \cdot x_2=(3)^{\frac{-1,1)}{1}}=27
\end{aligned}
$$
17. Hasil kali akar-akar persamaan ${ }^3 \log x^{\left(2++^3 \log x\right)}=15$ adalah ....
A. $1 / 9$
B. $1 / 3$
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad & \left({ }^3 \log x\right)^2-3\left({ }^3 \log x\right)+2=0 \\
& \left({ }^3 \log x-2\right)\left({ }^3 \log x-1\right)=0 \\
& \quad{ }^3 \log x=2 \rightarrow x_1=3^2=9 \\
& \quad{ }^3 \log x=1 \rightarrow x_2=3^1=3 \\
\Leftrightarrow & x_1 \cdot x_2=(9) \cdot(3)=27
\end{aligned}
$$
SOLUSI SMART!
$$
\begin{aligned}
& a\left({ }^p \log x\right)^2+b\left({ }^p \log x\right)+c=0 \rightarrow x_1 \cdot x_2=p^{-3} \\
& \Leftrightarrow \quad\left({ }^3 \log x\right)^2-3\left({ }^3 \log x\right)+2=0 \\
& a=1, b=-3, c=2 \text { dan } p=3 \\
& \Leftrightarrow x_1 \cdot x_2=(3)^{\frac{-1,1)}{1}}=27
\end{aligned}
$$
17. Hasil kali akar-akar persamaan ${ }^3 \log x^{\left(2++^3 \log x\right)}=15$ adalah ....
A. $1 / 9$
B. $1 / 3$
C. 1
D. 3
E. 9
Jawaban: A
$$
\begin{gathered}
\Leftrightarrow \quad{ }^3 \log x^{\left(2+{ }^3 \log x\right)}=15 \\
\left(2+{ }^3 \log x\right) \cdot{ }^3 \log x=15 \\
\left({ }^3 \log x\right)^2+2\left({ }^3 \log x\right)-15=0 \\
\text { misal: } p={ }^3 \log x \\
p^2+2 p-15=0 \\
p_1+p_2=-\frac{b}{a} \\
{ }^3 \log x_1+{ }^3 \log x_2=-2 \\
{ }^3 \log x_1 \cdot x_2=-2 \\
x_1 \cdot x_2=3^{-2}=\frac{1}{9}
\end{gathered}
$$
E. 9
Jawaban: A
$$
\begin{gathered}
\Leftrightarrow \quad{ }^3 \log x^{\left(2+{ }^3 \log x\right)}=15 \\
\left(2+{ }^3 \log x\right) \cdot{ }^3 \log x=15 \\
\left({ }^3 \log x\right)^2+2\left({ }^3 \log x\right)-15=0 \\
\text { misal: } p={ }^3 \log x \\
p^2+2 p-15=0 \\
p_1+p_2=-\frac{b}{a} \\
{ }^3 \log x_1+{ }^3 \log x_2=-2 \\
{ }^3 \log x_1 \cdot x_2=-2 \\
x_1 \cdot x_2=3^{-2}=\frac{1}{9}
\end{gathered}
$$
0 Komentar