PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI LOGARITMA
Bentuk: ${ }^a \log f(x) \geq{ }^a \log g(x)$
- $a>1 \rightarrow f(x) \geq g(x)$
$0<\mathrm{a}<1 \rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq \mathrm{g}(\mathrm{x})$
syarat log: $f(x)>0$ dan $g(x)>0$ - $0<\mathrm{a}<1 \rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq \mathrm{g}(\mathrm{x})$
Bentuk: ${ }^a \log f(x){ }^{\prime \prime}{ }^a \log g(x)$
- $a>1 \rightarrow f(x) \leq g(x)$
- $0<\mathrm{a}<1 \rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x}) \geq \mathrm{g}(\mathrm{x})$
Catatan: Penyelesaian akhir diperoleh dari irisan penyelesaian soal dan syarat logaritma.
b. Fungsi Logaritma
Bentuk dasar fungsi logaritma adalah:
$\boxed{y=f(x)={}^{a}\log{x},\text {untuk }a>0, a\neq1, \text{dan } x>0}$
Sifat Fungsi Logaritma :
Sifat Fungsi Logaritma :
- Grafik fungsi selalu di sebelah kanan sumbu y
- Memotong sumbu $x$ di titik $(1,0)$
- Mempunyai asimtot tegak $x = 0$
- Monoton naik untuk $a>1$, dan monoton turun untuk $0<a<1$
- Mempuyai fungsi invers, yaitu eksponen : $\boxed{f(x)={}^{a}\log{x}\Rightarrow f^{-1}(x)=a^x}$
$\boxed{\text{ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN }}$
$\boxed{\text{CONTOH SOAL : 1}}$
Penyelesaian dari ${ }^2 \log (x-3)+{ }^2 \log (x+3) \geq 4$ adalah $\ldots$.
A. $x \geq 5$B. $x \geq 3$
C. $-3<x<3$
D. $-3<x \leq 5$
E. $3 \leq \mathrm{x}<5$
Jawaban: A
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad{ }^2 \log (x-3)+{ }^2 \log (x+3) & \geq 4 \\
{ }^2 \log (x-3)(x+3) & \geq 4 \\
\left(x^2-9\right) & \geq 2^4 \\
x^2-25 & \geq 0 \\
(x-5)(x+5) & \geq 0
\end{aligned}
$$
- Syarat log: $(x-3)>0 \rightarrow x>3$
$$
(x+5)>0 \rightarrow x<-3
$$
$\Leftrightarrow$ Irisan (1), (2) dan (3) adalah $x \geq 5$
E. $3 \leq \mathrm{x}<5$
Jawaban: A
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad{ }^2 \log (x-3)+{ }^2 \log (x+3) & \geq 4 \\
{ }^2 \log (x-3)(x+3) & \geq 4 \\
\left(x^2-9\right) & \geq 2^4 \\
x^2-25 & \geq 0 \\
(x-5)(x+5) & \geq 0
\end{aligned}
$$
- Syarat log: $(x-3)>0 \rightarrow x>3$
$$
(x+5)>0 \rightarrow x<-3
$$
$\Leftrightarrow$ Irisan (1), (2) dan (3) adalah $x \geq 5$
$\boxed{\text{CONTOH SOAL : 2 }}$
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi ${ }^{1 / 2} \log \left(x^2-3\right)>0$ adalah ....
A. $-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$
B. $-2<x<2$
C. $-2<x<-\sqrt{3}$ atau $\sqrt{3}<x<2$
D. $x \geq 2$ atau $x \leq-2$
E. $x>2$ atau $x<\sqrt{3}$
Jawaban: C
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad{ }^{1 / 2} \log \left(x^2-3\right) & >0 \\
\left(x^2-3\right) & <\left(\frac{1}{2}\right)^0=1 \\
\left(x^2-4\right) & <0 \\
(x-2)(x+2) & <0
\end{aligned}
$$
- $\quad$ Syarat log: $\left(x^2-3\right)>0$
$\Leftrightarrow$ Irisan (1) \& (2) adalah $-2<x<-\sqrt{3}$ atau $\sqrt{3}<x<2$
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi ${ }^{1 / 2} \log \left(x^2-3\right)>0$ adalah ....
A. $-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$
B. $-2<x<2$
C. $-2<x<-\sqrt{3}$ atau $\sqrt{3}<x<2$
D. $x \geq 2$ atau $x \leq-2$
E. $x>2$ atau $x<\sqrt{3}$
Jawaban: C
$$
\begin{aligned}
\Leftrightarrow \quad{ }^{1 / 2} \log \left(x^2-3\right) & >0 \\
\left(x^2-3\right) & <\left(\frac{1}{2}\right)^0=1 \\
\left(x^2-4\right) & <0 \\
(x-2)(x+2) & <0
\end{aligned}
$$
- $\quad$ Syarat log: $\left(x^2-3\right)>0$
$\boxed{\text{CONTOH SOAL : 3 }}$
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $2 \log x \leq \log (2 x+5)+2 \log 2$ adalah ....
A. $-\frac{5}{2}<x \leq 10$
B. $-2 \leq x \leq 10$
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $2 \log x \leq \log (2 x+5)+2 \log 2$ adalah ....
A. $-\frac{5}{2}<x \leq 10$
B. $-2 \leq x \leq 10$
C. $0<x \leq 10$
D. $-2<x<0$
E. $-\frac{5}{2} \leq x<0$
Jawaban C
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2 \cdot \log x \leq \log (2 x+5)+2 \log 2 \\
& \log x^2 \leq \log (2 x+5)+\log 2^2 \\
& \log x^2 \leq \log 4 .(2 x+5) \\
& x^2 \leq 8 x+20 \\
& \mathrm{x}^2-8 \mathrm{x}-20 \leq 0 \\
& (x-10)(x+2) \leq 0 \\
&
\end{aligned}
$$
- Syarat log: $x>0$
$$
(2 x+5)>0
$$
$$
x>-\frac{5}{2}
$$
$\Leftrightarrow$ Irisan (1), (2) dan (3) adalah $0<x \leq 10$
E. $-\frac{5}{2} \leq x<0$
Jawaban C
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2 \cdot \log x \leq \log (2 x+5)+2 \log 2 \\
& \log x^2 \leq \log (2 x+5)+\log 2^2 \\
& \log x^2 \leq \log 4 .(2 x+5) \\
& x^2 \leq 8 x+20 \\
& \mathrm{x}^2-8 \mathrm{x}-20 \leq 0 \\
& (x-10)(x+2) \leq 0 \\
&
\end{aligned}
$$
- Syarat log: $x>0$
$$
(2 x+5)>0
$$
$$
x>-\frac{5}{2}
$$
$\Leftrightarrow$ Irisan (1), (2) dan (3) adalah $0<x \leq 10$
SOLUSI SMART!
Dari syarat $\log$ diperoleh $\mathrm{x}>0$
Pertidaksamaan tersebut hanya dipenuhi oleh nilai jawaban $C$.
Pertidaksamaan tersebut hanya dipenuhi oleh nilai jawaban $C$.
$\boxed{\text{CONTOH SOAL : 4}}$
Himpunan penyelesaian pertaksamaan ${ }^2 \log ^2 x+2^2 \log 2 x>2$ adalah
A. $\{x \mid 1<x<4\}$
B. $\left\{x \mid \frac{1}{4}<x<1\right\}$
Himpunan penyelesaian pertaksamaan ${ }^2 \log ^2 x+2^2 \log 2 x>2$ adalah
A. $\{x \mid 1<x<4\}$
B. $\left\{x \mid \frac{1}{4}<x<1\right\}$
C. $\left\{x \mid x<\frac{1}{4}\right.$ atau $\left.x>1\right\}$
D. $\left\{x \mid 0<x<\frac{1}{4}\right.$ atau $\left.x>1\right\}$
E. $\{x \mid 0<x<1$ atau $x>4\}$
Jawaban: D
$$
\Leftrightarrow{ }^2 \log ^2 x+2\left({ }^2 \log 2+{ }^2 \log x\right)>2
$$
$\left.{ }^2 \log ^2 x+2+2 \log x\right)>2$
${ }^2 \log x\left({ }^2 \log x+2\right)>0$
${ }^2 \log x<-2$ atau ${ }^2 \log x>0$
$$
x<\frac{1}{4} \text { atau } x>1
$$
- Syarat $\log : x>0$
$\Leftrightarrow$ Irisan dari (1) dan (2) adalah $0<x<\frac{1}{4}$ atau $x>1$
D. $\left\{x \mid 0<x<\frac{1}{4}\right.$ atau $\left.x>1\right\}$
E. $\{x \mid 0<x<1$ atau $x>4\}$
Jawaban: D
$$
\Leftrightarrow{ }^2 \log ^2 x+2\left({ }^2 \log 2+{ }^2 \log x\right)>2
$$
$\left.{ }^2 \log ^2 x+2+2 \log x\right)>2$
${ }^2 \log x\left({ }^2 \log x+2\right)>0$
${ }^2 \log x<-2$ atau ${ }^2 \log x>0$
$$
x<\frac{1}{4} \text { atau } x>1
$$
- Syarat $\log : x>0$
$\Leftrightarrow$ Irisan dari (1) dan (2) adalah $0<x<\frac{1}{4}$ atau $x>1$
$\boxed{\text{CONTOH SOAL : 5 }}$
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi ${ }^2 \log x-{ }^{\frac{1}{x}} \log \frac{1}{2} \geq 0$ adalah ....
A. $\frac{1}{2} " \mathrm{x}^{\prime \prime} 1$
B. $1 \leq x \leq 2$
C. $1<\mathrm{x} \leq 2$
D. $\frac{1}{2} " x^{\prime \prime} 1$ atau $x>2$
E. $\quad \frac{1}{2} " x " 1$ atau $x \geq 2$
Jawaban: $E$
$$
\begin{array}{ll}
\Leftrightarrow \quad{ }^2 \log x-{ }^{\frac{1}{x}} \log \frac{1}{2} \geq 0 \\
{ }^2 \log x-{ }^x \log 2 \geq 0 \\
{ }^2 \log x-\frac{1}{{ }^2 \log x} \geq 0 \\
\\
\frac{\left({ }^2 \log x\right)^2-1}{{ }^2 \log x} \geq 0 \\
\frac{\left({ }^2 \log x-1\right)\left({ }^2 \log x+1\right)}{{ }^2 \log x} \geq 0 \\
-1 \leq{ }^2 \log x \leq 0 \text { atau }{ }^2 \log x \geq 1 \\
{ }^2 \log \frac{1}{2}{ }^{\prime \prime} \log x "{ }^2 \log 1 \text { atau }{ }^2 \log x \geq{ }^2 \log 2 \\
\frac{1}{2}{ }^{\prime \prime} x " 1 \text { atau } x \geq 2 \\
\qquad \quad \text { Syarat } \log : x \geq 0 \\
\Leftrightarrow \quad \text { Irisan (1) dan (2) adalah } \frac{1}{2}{ }^{\prime \prime} x^{\prime \prime} 1 \text { atau } x \geq 2
\end{array}
$$
- Syarat log: $x \geq 0$
$\Leftrightarrow \operatorname{Irisan}(1)$ dan (2) adalah $\frac{1}{2}{ }^{\prime \prime} x^{\prime \prime} 1$ atau $x \geq 2$
$\boxed{\text{CONTOH SOAL : 6 }}$
Nilai $x$ yang memenuhi $\frac{2 x^{\log 4 x}}{x^{\log 2 x}}<\frac{1}{2}$ adalah ....
A. $x<-100$
B. $x<-10$
\begin{array}{ll}
\Leftrightarrow \quad{ }^2 \log x-{ }^{\frac{1}{x}} \log \frac{1}{2} \geq 0 \\
{ }^2 \log x-{ }^x \log 2 \geq 0 \\
{ }^2 \log x-\frac{1}{{ }^2 \log x} \geq 0 \\
\\
\frac{\left({ }^2 \log x\right)^2-1}{{ }^2 \log x} \geq 0 \\
\frac{\left({ }^2 \log x-1\right)\left({ }^2 \log x+1\right)}{{ }^2 \log x} \geq 0 \\
-1 \leq{ }^2 \log x \leq 0 \text { atau }{ }^2 \log x \geq 1 \\
{ }^2 \log \frac{1}{2}{ }^{\prime \prime} \log x "{ }^2 \log 1 \text { atau }{ }^2 \log x \geq{ }^2 \log 2 \\
\frac{1}{2}{ }^{\prime \prime} x " 1 \text { atau } x \geq 2 \\
\qquad \quad \text { Syarat } \log : x \geq 0 \\
\Leftrightarrow \quad \text { Irisan (1) dan (2) adalah } \frac{1}{2}{ }^{\prime \prime} x^{\prime \prime} 1 \text { atau } x \geq 2
\end{array}
$$
- Syarat log: $x \geq 0$
$\Leftrightarrow \operatorname{Irisan}(1)$ dan (2) adalah $\frac{1}{2}{ }^{\prime \prime} x^{\prime \prime} 1$ atau $x \geq 2$
$\boxed{\text{CONTOH SOAL : 6 }}$
Nilai $x$ yang memenuhi $\frac{2 x^{\log 4 x}}{x^{\log 2 x}}<\frac{1}{2}$ adalah ....
A. $x<-100$
B. $x<-10$
C. $0<x<\frac{1}{100}$
D. $\frac{1}{100}<x<\frac{1}{10}$
E. $2<\mathrm{x}<10$
Jawaban: C
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \frac{2 x^{\log 4 x}}{x^{\log 2 x}}<\frac{1}{2} \\
& 2\left(x^{\log 4 x-\log 2 x}\right)<2^{-1} \\
& 2\left(x^{\log \frac{4 x}{2 x}}\right)<2^{-1} \\
& 2\left(x^{\log 2}\right)<2^{-1} \\
& 2\left(2^{\log x}\right)<2^{-1} \\
& 2^{1+\log x}<2^{-1} \quad \\
& 1+\log x \quad<-1 \\
& \log x \quad<-2 \\
& x \quad<\frac{1}{100}
\end{aligned}
$$
- Syarat log: $x>0$
$\Leftrightarrow$ Irisan (1) dan (2) adalah $0<x<\frac{1}{100}$
$\boxed{\text{CONTOH SOAL : 7 }}$
Jika $(2 x)^{1+{ }^2 \log 2 x}>64 x^3$, maka ....
A. $\frac{1}{4}<x<4$
B. $x<\frac{1}{4}$ atau $x>4$
E. $2<\mathrm{x}<10$
Jawaban: C
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \frac{2 x^{\log 4 x}}{x^{\log 2 x}}<\frac{1}{2} \\
& 2\left(x^{\log 4 x-\log 2 x}\right)<2^{-1} \\
& 2\left(x^{\log \frac{4 x}{2 x}}\right)<2^{-1} \\
& 2\left(x^{\log 2}\right)<2^{-1} \\
& 2\left(2^{\log x}\right)<2^{-1} \\
& 2^{1+\log x}<2^{-1} \quad \\
& 1+\log x \quad<-1 \\
& \log x \quad<-2 \\
& x \quad<\frac{1}{100}
\end{aligned}
$$
- Syarat log: $x>0$
$\Leftrightarrow$ Irisan (1) dan (2) adalah $0<x<\frac{1}{100}$
$\boxed{\text{CONTOH SOAL : 7 }}$
Jika $(2 x)^{1+{ }^2 \log 2 x}>64 x^3$, maka ....
A. $\frac{1}{4}<x<4$
B. $x<\frac{1}{4}$ atau $x>4$
C. $0<x<\frac{1}{4}$ atau $x>4$
D. $0<x<\frac{1}{4}$
E. $x>\frac{1}{4}$ atau $x>2$
Jawaban: $C$
$$
\Leftrightarrow \begin{array}{ll}
(2 x)^{1+{ }^2 \log 2 x} & >64 x^3 \\
(2 x)^{2 \log 2 x^2 \log 2 x} & >(4 x)^3 \\
(2 x)^{2 \log (4 x)} & >(4 x)^3 \\
(4 x)^{2 \log (2 x)} & >(4 x)^3
\end{array}
$$
- Untuk bilangan pokok a $>1$
$$
\begin{aligned}
& 4 x>1 \rightarrow{ }^2 \log (2 x)>3 \\
& (2 x)>8 \rightarrow x>4
\end{aligned}
$$
syarat log: $(2 x)>0$
Nilai $x$ yang memenuhi $x>4$
- Untuk bilangan pokok $0<a<1$
$$
\begin{aligned}
0<4 \mathrm{x}<1 \rightarrow & { }^2 \log (2 \mathrm{x})<3 \\
(2 \mathrm{x}) & <8 \rightarrow \mathrm{x}<4
\end{aligned}
$$
syarat log: $(2 x)>0$
Nilai $x$ yang memenuhi: $0<x<\frac{1}{4}$
$\Leftrightarrow$ Gabungan (1) dan (2) adalah:
$x>4$ atau $0<x<\frac{1}{4}$
E. $x>\frac{1}{4}$ atau $x>2$
Jawaban: $C$
$$
\Leftrightarrow \begin{array}{ll}
(2 x)^{1+{ }^2 \log 2 x} & >64 x^3 \\
(2 x)^{2 \log 2 x^2 \log 2 x} & >(4 x)^3 \\
(2 x)^{2 \log (4 x)} & >(4 x)^3 \\
(4 x)^{2 \log (2 x)} & >(4 x)^3
\end{array}
$$
- Untuk bilangan pokok a $>1$
$$
\begin{aligned}
& 4 x>1 \rightarrow{ }^2 \log (2 x)>3 \\
& (2 x)>8 \rightarrow x>4
\end{aligned}
$$
syarat log: $(2 x)>0$
Nilai $x$ yang memenuhi $x>4$
- Untuk bilangan pokok $0<a<1$
$$
\begin{aligned}
0<4 \mathrm{x}<1 \rightarrow & { }^2 \log (2 \mathrm{x})<3 \\
(2 \mathrm{x}) & <8 \rightarrow \mathrm{x}<4
\end{aligned}
$$
syarat log: $(2 x)>0$
Nilai $x$ yang memenuhi: $0<x<\frac{1}{4}$
$\Leftrightarrow$ Gabungan (1) dan (2) adalah:
$x>4$ atau $0<x<\frac{1}{4}$
0 Komentar