Eksponen bilangan bulat adalah notasi matematika yang digunakan untuk mewakili perkalian berulang dari suatu bilangan dasar. Ketika suatu bilangan \( x \) dipangkatkan dengan eksponen bilangan bulat \( n \), itu berarti mengalikan \( x \) dengan dirinya sendiri sebanyak \( n \) kali.
Secara umum ditulis sebagai: $\boxed{x^n}$
Eksponen bilangan bulat dapat berupa bilangan positif, bilangan negatif, atau bahkan nol.
Positif
Di sini, eksponen adalah bilangan bulat positif.
Secara matematis ditulis sebagai:
Eksponen Bilangan Bulat Positif
Berikut adalah beberapa contoh eksponen bilangan bulat positif:
- \( 6^4 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296 \)
- \( (-9)^4 = (-9) \times (-9) \times (-9) \times (-9) = 6561 \)
- \( 11^3 = 11 \times 11 \times 11 = 1331 \)
## **Negatif**
Di sini, eksponen adalah bilangan bulat negatif. Ini adalah kebalikan dari bilangan dasar yang dipangkatkan dengan eksponen positif.
Secara matematis ditulis sebagai:
**Eksponen Bilangan Bulat Negatif**
Berikut adalah beberapa contoh eksponen bilangan bulat negatif:
- \( 6^{-4} = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{1296} \)
- \( 7^{-3} = \dfrac{1}{7} \times \dfrac{1}{7} \times \dfrac{1}{7} = \dfrac{1}{343} \)
- \( (-4)^{-2} = \dfrac{1}{-4} \times \dfrac{1}{-4} = \dfrac{1}{16} \)
## **Nol**
Dalam kasus ini, eksponen adalah 0, dan bilangan dasar adalah bilangan bukan nol.
Secara matematis ditulis sebagai:
**Eksponen Bilangan Bulat Nol**
Berikut adalah beberapa contoh: \( 13^0 = 1 \), dan \( 8^0 = 1 \)
Berikut adalah ringkasan dari berbagai jenis eksponen bilangan bulat:
**Eksponen Bilangan Bulat**
## **Sifat-Sifat**
Berikut adalah daftar hukum yang diikuti saat menyelesaikan ekspresi yang melibatkan eksponen bilangan bulat:
| **Sifat Produk** | \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \) |
| **Sifat Pembagian** | \( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \) |
| **Sifat Pangkat dari Produk** | \( (xy)^m = x^m y^m \) |
| **Sifat Pangkat dari Pembagian** | \( \dfrac{x^m}{y^m} = \left( \dfrac{x}{y} \right)^m \) |
| **Sifat Pangkat dari Pangkat** | \( (x^m)^n = x^{mn} \) |
| **Sifat Pembagian Eksponen Negatif** | \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \dfrac{b}{a} \right)^n \) |
| **Sifat Eksponen Nol** | \( x^0 = 1 \) |
| **Sifat Eksponen Satu** | \( x^1 = x \) |
| **Sifat Turunan** | \( \dfrac{d}{dx} \left( x^n \right) = n \cdot x^{n-1} \) |
| **Sifat Integral** | \( \int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \) |
Contoh dan Pembahasan Soal
1. **Tentukan bilangan dasar dan eksponen dalam ekspresi berikut:**
a) \( 5^{-4} \)
b) \( -11^3 \)
c) \( (-3)^7 \)
**Penyelesaian:**
a) Diketahui, \( 5^{-4} \)
Di sini, bilangan dasar adalah 5, dan eksponen atau pangkat adalah -4.
b) Diketahui, \( -11^3 \)
Di sini, bilangan dasar adalah 11 (karena tidak ada tanda kurung yang menunjukkan bahwa tanda minus termasuk), dan eksponen adalah 3.
c) Diketahui, \( (-3)^7 \)
Di sini, bilangan dasar adalah -3 (karena ada tanda kurung yang menunjukkan bahwa 3 termasuk tanda minus), dan eksponen adalah 7.
2. **Evaluasi eksponen berikut:**
a) \( 4^4 \)
b) \( 7^{-3} \)
1. **Tentukan bilangan dasar dan eksponen dalam ekspresi berikut:**
a) \( 5^{-4} \)
b) \( -11^3 \)
c) \( (-3)^7 \)
**Penyelesaian:**
a) Diketahui, \( 5^{-4} \)
Di sini, bilangan dasar adalah 5, dan eksponen atau pangkat adalah -4.
b) Diketahui, \( -11^3 \)
Di sini, bilangan dasar adalah 11 (karena tidak ada tanda kurung yang menunjukkan bahwa tanda minus termasuk), dan eksponen adalah 3.
c) Diketahui, \( (-3)^7 \)
Di sini, bilangan dasar adalah -3 (karena ada tanda kurung yang menunjukkan bahwa 3 termasuk tanda minus), dan eksponen adalah 7.
2. **Evaluasi eksponen berikut:**
a) \( 4^4 \)
b) \( 7^{-3} \)
**Penyelesaian:**
a) Diketahui, \( 4^4 \)
= \( 4 \times 4 \times 4 \times 4 \)
= \( 256 \)
b) Diketahui, \( 7^{-3} \)
= \( \dfrac{1}{7} \times \dfrac{1}{7} \times \dfrac{1}{7} \)
= \( \dfrac{1}{343} \)
3. **Sederhanakan ekspresi berikut:**
a) \( (3^4)^2 \times (3^2) \)
b) \( 5^0 \)
c) \( \dfrac{1}{8^{-2}} \)
**Penyelesaian:**
a) Diketahui, \( (3^4)^2 \times (3^2) \)
= \( (3^8) \times (3^2) \) [Menggunakan sifat pangkat dari pangkat]
= \( 3^{8+2} \) [Menggunakan sifat produk]
= \( 3^{10} \)
b) Diketahui, \( 5^0 \)
= \( 1 \) [Menggunakan sifat eksponen nol]
c) Diketahui, \( \dfrac{1}{8^{-2}} \)
= \( \left( \dfrac{1}{8} \right)^{-2} \) [Menggunakan sifat pangkat dari pembagian]
= \( \left( \dfrac{8}{1} \right)^2 \) [Menggunakan sifat pembagian eksponen negatif]
= \( 64 \)
4. **Uraikan bilangan berikut dalam bentuk eksponen:**
a) \( 8967 \)
b) \( 633.89 \)
**Penyelesaian:**
a) Diketahui, \( 8967 \)
= \( 8 \times 1000 + 9 \times 100 + 6 \times 10 + 7 \times 1 \)
= \( 8 \times 10^3 + 9 \times 10^2 + 6 \times 10^1 + 7 \times 10^0 \)
b) Diketahui, \( 633.89 \)
= \( 6 \times 100 + 3 \times 10 + 3 \times 1 + 8 \times 0.1 + 9 \times 0.01 \)
= \( 6 \times 10^2 + 3 \times 10^1 + 3 \times 10^0 + 8 \times 10^{-1} + 9 \times 10^{-2} \)
5. **Sederhanakan ekspresi berikut:**
\( \dfrac{\left( 3^2 x^3 \right)^2 \cdot \left( \dfrac{y^{-1}}{9 x^{-2}} \right)^3}{\left( 3 x y^2 \right)^{-2}} \)
**Penyelesaian:**
Diketahui, \( \dfrac{\left( 3^2 x^3 \right)^2 \cdot \left( \dfrac{y^{-1}}{9 x^{-2}} \right)^3}{\left( 3 x y^2 \right)^{-2}} \)
= \( \dfrac{\left( 3^2 \right)^2 \cdot \left( x^3 \right)^2 \cdot \dfrac{\left( y^{-1} \right)^3}{\left( 9 x^{-2} \right)^3}}{\left( 3 \right)^{-2} \cdot \left( x \right)^{-2} \cdot \left( y^2 \right)^{-2}} \) [Menggunakan sifat pangkat dari pangkat]
= \( \dfrac{3^4 \cdot x^6 \cdot \dfrac{y^{-3}}{\left( 9 \right)^3 \cdot \left( x^{-2} \right)^3}}{3^{-2} \cdot x^{-2} \cdot y^{-4}} \)
= \( \dfrac{3^4 \cdot x^6 \cdot \dfrac{y^{-3}}{\left( 3^2 \right)^3 \cdot \left( x^{-2} \right)^3}}{3^{-2} \cdot x^{-2} \cdot y^{-4}} \) [Menggunakan sifat pangkat dari pangkat]
= \( \dfrac{3^4 \cdot x^6 \cdot \dfrac{y^{-3}}{3^6 \cdot x^{-6}}}{3^{-2} \cdot x^{-2} \cdot y^{-4}} \)
= \( \dfrac{3^{4-6} \cdot x^{6-(-6)} \cdot y^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-2} \cdot y^{-4}} \) [Menggunakan sifat pembagian]
= \( \dfrac{3^{-2} \cdot x^{12} \cdot y^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-2} \cdot y^{-4}} \)
= \( 3^{-2 - (-2)} \cdot x^{12 - (-2)} \cdot y^{-3 - (-4)} \) [Menggunakan sifat pembagian]
= \( 3^0 \cdot x^{14} \cdot y^1 \)
= \( x^{14} y \) [Menggunakan sifat eksponen nol dan eksponen satu]
Jadi, \( \dfrac{\left( 3^2 x^3 \right)^2 \cdot \left( \dfrac{y^{-1}}{9 x^{-2}} \right)^3}{\left( 3 x y^2 \right)^{-2}} = x^{14} y \)
\( \dfrac{\left( 3^2 x^3 \right)^2 \cdot \left( \dfrac{y^{-1}}{9 x^{-2}} \right)^3}{\left( 3 x y^2 \right)^{-2}} \)
**Penyelesaian:**
Diketahui, \( \dfrac{\left( 3^2 x^3 \right)^2 \cdot \left( \dfrac{y^{-1}}{9 x^{-2}} \right)^3}{\left( 3 x y^2 \right)^{-2}} \)
= \( \dfrac{\left( 3^2 \right)^2 \cdot \left( x^3 \right)^2 \cdot \dfrac{\left( y^{-1} \right)^3}{\left( 9 x^{-2} \right)^3}}{\left( 3 \right)^{-2} \cdot \left( x \right)^{-2} \cdot \left( y^2 \right)^{-2}} \) [Menggunakan sifat pangkat dari pangkat]
= \( \dfrac{3^4 \cdot x^6 \cdot \dfrac{y^{-3}}{\left( 9 \right)^3 \cdot \left( x^{-2} \right)^3}}{3^{-2} \cdot x^{-2} \cdot y^{-4}} \)
= \( \dfrac{3^4 \cdot x^6 \cdot \dfrac{y^{-3}}{\left( 3^2 \right)^3 \cdot \left( x^{-2} \right)^3}}{3^{-2} \cdot x^{-2} \cdot y^{-4}} \) [Menggunakan sifat pangkat dari pangkat]
= \( \dfrac{3^4 \cdot x^6 \cdot \dfrac{y^{-3}}{3^6 \cdot x^{-6}}}{3^{-2} \cdot x^{-2} \cdot y^{-4}} \)
= \( \dfrac{3^{4-6} \cdot x^{6-(-6)} \cdot y^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-2} \cdot y^{-4}} \) [Menggunakan sifat pembagian]
= \( \dfrac{3^{-2} \cdot x^{12} \cdot y^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-2} \cdot y^{-4}} \)
= \( 3^{-2 - (-2)} \cdot x^{12 - (-2)} \cdot y^{-3 - (-4)} \) [Menggunakan sifat pembagian]
= \( 3^0 \cdot x^{14} \cdot y^1 \)
= \( x^{14} y \) [Menggunakan sifat eksponen nol dan eksponen satu]
Jadi, \( \dfrac{\left( 3^2 x^3 \right)^2 \cdot \left( \dfrac{y^{-1}}{9 x^{-2}} \right)^3}{\left( 3 x y^2 \right)^{-2}} = x^{14} y \)
0 Komentar