menyelesaikan persamaan kuadrat dengan 3 metode (contoh soal)

Diketahui persamaan kuadrat $−3x^{2}−5x+2=0$.

Selesaikan dengan cara :

1. memfaktorkan
2. melengkapkan kuadrat sempurna
3. menggunakan rumus ABC

1. Penyelesaian dengan Memfaktorkan

Langkah 1: Kalikan persamaan dengan -1 untuk mempermudah:
$-3x^2-5x+2=0(\times -1)$
$3x^2+5x-2=0$

Langkah 2: Faktorkan bentuk $3x^2+5x-2$:
Cari dua bilangan yang:

• Hasil kali: $3\times (-2)=-6$

• Hasil jumlah: $+5$

Bilangan yang memenuhi: $+6$ dan $-1$

Langkah 3: Tulis ulang suku tengah:
$3x^2+6x-x-2=0$
$(3x^2+6x)+(-x-2)=0$
$3x(x+2)-1(x+2)=0$
$(3x-1)(x+2)=0$

Langkah 4: Cari akar-akarnya:
$3x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}$
$x+2=0\Rightarrow x=-2$

✅ Jadi, akar-akarnya adalah:
$\boxed{{\displaystyle x=\frac{1}{3}\text{atau}x=-2}}$

---

2. Penyelesaian dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Langkah 1: Bagi persamaan dengan koefisien $x^2$ (yaitu -3):
$-3x^2-5x+2=0$
$x^2+\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}=0(÷-3)$

Langkah 2: Pisahkan konstanta:
$x^2+\frac{5}{3}x=\frac{2}{3}$

Langkah 3: Cari bilangan pelengkap:
${(\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{3})}^2={\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{25}{36}$

Langkah 4: Tambahkan ke kedua ruas:
$x^2+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$
$x^2+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{24}{36}+\frac{25}{36}=\frac{49}{36}$

Langkah 5: Ubah ke bentuk kuadrat sempurna:
${(x+\frac{5}{6})}^2=\frac{49}{36}$

Langkah 6: Ambil akar kuadrat:
$x+\frac{5}{6}=\pm \frac{7}{6}$

Langkah 7: Selesaikan untuk $x$:
$x=-\frac{5}{6}+\frac{7}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$x=-\frac{5}{6}-\frac{7}{6}=-\frac{12}{6}=-2$

✅ Jadi, akar-akarnya adalah:
$\boxed{{\displaystyle x=\frac{1}{3}\text{atau}x=-2}}$

---

3. Penyelesaian dengan Rumus ABC

Rumus kuadratik:
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Dari persamaan: $-3x^2-5x+2=0$
Identifikasi koefisien:

• $a=-3$

• $b=-5$

• $c=2$

Hitung diskriminan:
$D=b^2-4ac=(-5{)}^2-4(-3)(2)=25+24=49$

Substitusi ke rumus:
$x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{49}}{2(-3)}=\frac{5\pm 7}{-6}$

Hitung kedua nilai:
$x_1=\frac{5+7}{-6}=\frac{12}{-6}=-2$
$x_2=\frac{5-7}{-6}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$

✅ Jadi, akar-akarnya adalah:
$\boxed{{\displaystyle x=-2\text{atau}x=\frac{1}{3}}}$

---

📊 Visualisasi Ketiga Metode

Kesimpulan

Ketiga metode menghasilkan akar-akar yang sama:
$\boxed{{\displaystyle x=\frac{1}{3}\text{dan}x=-2}}$