Teorema Pythagoras

A. Teorema Pythagoras

Teorema ini ditemukan oleh seorang matematikawan Yunani bernama Pythagoras.
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa:
Jumlah luas persegi pada kedua sisi kaki segitiga siku-siku sama dengan luas persegi pada sisi miring (hipotenusa).

Rumus Pythagoras:

$$A^2+B^2=C^2$$$$C=\sqrt{A^2+B^2}$$

Keterangan:

• $C$ = sisi miring (hipotenusa)

• $A$ dan $B$ = sisi-sisi penyiku

Contoh Perhitungan 1:
Diketahui: $A=6\text{ cm},B=8\text{ cm}$

$$\begin{gathered} C^2=6^2+8^2=36+64=100 \\ C=\sqrt{100}=10\text{ cm} \end{gathered}$$

Contoh Perhitungan 2:
Diketahui: $A=6\text{ cm},C=10\text{ cm}$

$$\begin{gathered} B^2=C^2-A^2=100-36=64 \\ B=\sqrt{64}=8\text{ cm} \end{gathered}$$

Contoh Perhitungan 3:
Diketahui: $B=8\text{ cm},C=10\text{ cm}$

$$\begin{gathered} A^2=C^2-B^2=100-64=36 \\ A=\sqrt{36}=6\text{ cm} \end{gathered}$$

---

Jenis-Jenis Segitiga Berdasarkan Sisi dan Sudut

• Berdasarkan sisi: segitiga sembarang, sama sisi, sama kaki

• Berdasarkan sudut:

  • Segitiga lancip ($0^{\circ }<x<{90}^{\circ }$)

  • Segitiga siku-siku ($x={90}^{\circ }$)

  • Segitiga tumpul (${90}^{\circ }<x<{180}^{\circ }$)

Kesimpulan:
Pada suatu segitiga dengan sisi $a$ (terpanjang) dan sisi $b$, $c$:

Jika 

• $b^2+c^2$ → segitiga siku-siku

• Jika $a^2<b^2+c^2$ → segitiga lancip

• Jika $a^2>b^2+c^2$ → segitiga tumpul

Contoh Soal:
Tentukan jenis segitiga dengan panjang sisi:
a) 12 cm, 16 cm, 19 cm
b) 12 cm, 16 cm, 20 cm
c) 12 cm, 16 cm, 21 cm

Penyelesaian:
a) ${19}^2=361$, ${12}^2+{16}^2=400$ → $361<400$ → lancip
b) ${20}^2=400$, ${12}^2+{16}^2=400$ → siku-siku
c) ${21}^2=441$, ${12}^2+{16}^2=400$ → $441>400$ → tumpul

---

B. Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan bulat positif yang memenuhi:

$$a^2+b^2=c^2$$

Contoh:

• 3, 4, 5

• 6, 8, 10

• 5, 12, 13

Rumus Mencari Tripel Pythagoras:

$$(a^2-b^2),2ab,(a^2+b^2)$$

dengan $a>b$ dan $a,b$ bilangan bulat positif.

Contoh Soal:
Pada segitiga ABC dengan AB = 10 cm, BC = 24 cm, AC = 26 cm.

$$A{C}^2=676,A{B}^2+B{C}^2=100+576=676$$

Karena sama, segitiga siku-siku di B.

---

Perbandingan Sisi pada Segitiga Khusus

1. Segitiga 30°–60°–90°
   Perbandingan sisi: $1:\sqrt{3}:2$

2. Segitiga 45°–45°–90°
   Perbandingan sisi: $1:1:\sqrt{2}$

Contoh Soal 1:
Diketahui segitiga siku-siku dengan sudut 30°, 60°, 90° dan sisi BC = 10 cm.

$$\begin{gathered} AB:BC=\sqrt{3}:2 \\ AB=\frac{10\times \sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\text{ cm} \end{gathered}$$

Contoh Soal 2:
Diketahui segitiga siku-siku dengan sudut 45°, 45°, 90° dan sisi BC = 10 cm.

$$\begin{gathered} AB:BC=1:\sqrt{2} \\ AB=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\text{ cm} \end{gathered}$$

---

C. Penerapan Teorema Pythagoras dalam Kehidupan Sehari-Hari

Contoh Soal 1:
Seorang anak menerbangkan layang-layang dengan benang 250 m. Jarak horizontal 70 m.

$$\text{Tinggi}=\sqrt{{250}^2-{70}^2}=\sqrt{62500-4900}=\sqrt{57600}=240\text{ m}$$

Contoh Soal 2:
Tangga disandarkan pada tembok setinggi 12 m dengan jarak kaki tangga 5 m.

$$\text{Panjang tangga}=\sqrt{5^2+{12}^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ m}$$

Contoh Soal 3:
Dua tiang setinggi 22 m dan 12 m berjarak 24 m.

$$\begin{gathered} DE=22-12=10\text{ m} \\ AE=\sqrt{{24}^2+{10}^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26\text{ m} \end{gathered}$$

Contoh Soal 4:
Kawat penyangga tiang bendera:

• Kawat pertama: $\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ m}$

• Kawat kedua: $\sqrt{{15}^2+8^2}=17\text{ m}$

• Total kawat: $10+17=27\text{ m}$

• Biaya: $27\times 25.000=\text{Rp }675.000$

---

Contoh Tambahan:

1. Layang-layang:

   $$\text{Tinggi}=\sqrt{{100}^2-{60}^2}=\sqrt{6400}=80\text{ m}$$

2. Kapal berlayar:

   $$\text{Jarak}=\sqrt{{150}^2+{200}^2}=\sqrt{62500}=250\text{ km}$$
3.