Perbedaan Tak Terdefinisi (Indeterminate Form):
Perbedaan Tak Hingga (Infinite Form):
Perbedaan tak hingga terjadi ketika kita mencoba untuk menghitung batas suatu fungsi dan menemukan bahwa hasilnya cenderung ke tak hingga positif (∞) atau tak hingga negatif (-∞) saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Contohnya adalah saat kita menghitung batas 1/x saat x mendekati nol, dan hasilnya adalah ∞ (tak hingga).
- a. $\frac{0}{0}$ (nol dalam pembilang dan penyebut).
- b. $\frac{∞}{∞}$ (tak hingga dalam pembilang dan penyebut).
- c. $0\times ∞$ (perkalian antara nol dan tak hingga).
- d. $∞ - ∞$ (pengurangan antara dua tak hingga).
- e. 1$^∞$ (pangkat tak hingga).
- f. $0^0 $(nol dipangkatkan nol).
- g. $\frac{∞}{0} $(tak hingga dalam pembilang dan nol dalam penyebut).
Tak Terdefinisi
Tak terdefinisi adalah istilah untuk menyatakan sebuah bilangan yang dibagikan dengan nol. Misalnya $\dfrac{3}{0}$, $\dfrac{12}{0}$, atau $\dfrac{k}{0}$ dimana $k$ adalah sebuah bilangan hasilnya tak terdefinisi.
Pada catatan bilangan rasional, dikatakan bahwa Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat diubah kebentuk $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.
Syarat $b \neq 0$ diberikan pada definisi bilangan rasional di atas agar bilangan mempunyai nilai, karena jika $b = 0$ maka hasil dari $\dfrac{a}{b}$ dimana $a,b$ bilangan bulat adalah tidak terdefinisi.
Misalnya, kita akan menghitung diketahui $\dfrac{6}{2}= \cdots$, dari sini kita dapat tentukan sebuah bilangan yang mengakibatkan $2 \times \cdots =6$ yaitu $3$.
Jika operasi yang sama kita terapkan dengan penyebut $0$, maka akan kita
peroleh bentuk seperti berikut:
$\begin{align}
\dfrac{6}{0} &= \cdots \end{align}$
Dari bentuk di atas, kita tidak akan menemukan bilangan yang mengakibatkan:
$\begin{align}
0 \times \cdots &= 6 \end{align}$
Sebuah bilangan dikalikan dengan $0$ dan hasilnya $6$ adalah sebuah hasil yang
tidak mungkin.
Ini salah satu alasan sederhana sehingga bentuk $\dfrac{6}{0}$ disepakati disebut dengan istilah tak terdefinisi, dalam bahasa inggris dikenal dengan sebutan undefine atau meaningless.
Tak Hingga
Istilah tak hingga dapat juga disebutkan dengan tak berhingga atau tidak berhingga, dan dalam bahasa Inggris di sebut dengan sebutan infinity yang disimbolkan dengan $\infty$.
Tak hingga adalah istilah untuk menyatakan suatu nilai yang sangat besar atau suatu jumlah yang sangat banyak, yang disimbolkan dengan $\infty$.
$\infty$ adalah simbol dari sebuah nilai yang sangat besar dan $\infty$ juga dipakai untuk istilah sebuah nilai yang sangat kecil disimbolkan dengan $- \infty$.
Istilah Tak hingga $\left( \infty \right)$ hanyalah sebuah simbol dari sebuah nilai yang sangat besar $\left( \infty \right)$ atau sangat kecil $\left( -\infty \right)$ dan nilainya tidak pasti, karena ketidakpastian nilainya sehingga dikatakan $\infty$ bukanlah sebuah bilangan.
Dari ketidakpastian nilai $\infty$, sehingga saat $\infty$ muncul dalam operasi aljabar, ada beberapa hal yang perlu kita ketahui antara lain:
-
$k + \infty=\infty$ dimana $k$ adalah sebuah bilangan.
- $3 + \infty=\infty$
- $5^{17} + \infty=\infty$
-
$\infty-k = \infty$ dimana $k$ adalah sebuah bilangan.
- $\infty-7=\infty$
- $\infty-2^{15}=\infty$
-
$k \times \infty=\infty$ dimana $k$ adalah sebuah bilangan.
- $5 \times \infty=\infty$
- $3^{10} \times \infty=\infty$
-
$\infty^{k}=\infty$ dimana $k$ adalah sebuah bilangan.
- $\infty^{5}=\infty$
- $\infty^{17}=\infty$
-
$\dfrac{\infty}{k}=\infty$ dimana $k$ adalah sebuah bilangan.
- $\dfrac{\infty}{2}=\infty$
- $\dfrac{\infty}{4^{17}}=\infty$
- $\infty + \infty=\infty$
- $\infty - \infty=\text{tak tentu}$
- $\infty \times \infty=\infty$
- $0 \times \infty =\text{tak tentu}$
- $\dfrac{\infty}{0}=\text{tak tentu}$
- $1^{\infty} =\text{tak tentu}$
- $\infty^{0}=\text{tak tentu}$
Tak Tentu
Istilah tak tentu ini muncul karena hasil dari operasi aljabar yang hasilnya tidak menentu. Beberapa hasil operasi aljabar yang hasilnya tak tentu sudah kita lihat dari operasi aljabar pada bentuk tak hingga di atas.
Pada operasi aljabar, ada tujuh bentuk tak tentu yang sudah disepakati yaitu $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $0^{0}$, $\infty^{0}$ dan $1^{\infty}$. Bentuk-bentuk ini akan lebih sering kita temui sewaktu belajar kalkulus pada materi belajar limit fungsi.
1. Bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$ (nol dibagi nol)
Alternatif Pembuktian:
Bentuk $\dfrac{0}{0}$ dikatakan tak tentu, karena hasilnya bisa berapa saja atau tidak menentu.
Dari operasi pembagian $\dfrac{6}{2}=3$, kita peroleh $3 \times 2=6$.
- $\dfrac{0}{0}=6$ Benar, karena $6 \times 0=0$
- $\dfrac{0}{0}=15$ Benar, karena $15 \times 0=0$
- $\dfrac{0}{0}=7$ Benar, karena $7 \times 0=0$
Berdasarkan bentuk di atas, nilai $\dfrac{0}{0}$ bisa berapa saja atau tidak menentu, sehingga disepakati bentuk $\dfrac{0}{0}$ adalah $\text{tak tentu}$.
2. Bentuk tak tentu $\dfrac{\infty}{\infty}$ (tak hingga dibagi tak hingga)
Alternatif Pembuktian:
Bentuk $\dfrac{\infty}{\infty}$ dikatakan tak tentu, karena hasilnya bisa berapa saja atau tidak menentu.
Dari operasi pembagian $\dfrac{6}{2}=3$, kita peroleh $3 \times 2=6$.
- $\dfrac{\infty}{\infty}=6$ Benar, karena $6 \times \infty=\infty$
- $\dfrac{\infty}{\infty}=15$ Benar, karena $15 \times \infty=\infty$
- $\dfrac{\infty}{\infty}=7$ Benar, karena $7 \times \infty=\infty$
Berdasarkan bentuk di atas, nilai $\dfrac{\infty}{\infty}$ bisa berapa saja atau tidak menentu, sehingga disepakati bentuk $\dfrac{\infty}{\infty}$ adalah $\text{tak tentu}$.
3. Bentuk tak tentu $0 \times \infty$ (nol dikali tak hingga)
Alternatif Pembuktian:
Bentuk $0 \times \infty$ dikatakan tak tentu, karena hasilnya bisa berapa saja atau tidak menentu.
Dari operasi perkalian $3 \times 2=6$, kita peroleh $\dfrac{6}{2}=3$.
-
$0 \times \infty=6$ Benar, karena $\dfrac{6}{\infty}=0$
(Sebuah nilai dibagikan dengan sebuah nilai yang sangat besar maka hasilnya akan mendekati nol) - $0 \times \infty=15$ Benar, karena $\dfrac{15}{\infty}=0$
- $0 \times \infty=7$ Benar, karena $\dfrac{7}{\infty}=0$
Berdasarkan bentuk di atas, nilai $0 \times \infty$ bisa berapa saja atau tidak menentu, sehingga disepakati bentuk $0 \times \infty$ adalah $\text{tak tentu}$.
4. Bentuk tak tentu $\infty - \infty$ (tak hingga dikurang tak hingga)
Alternatif Pembuktian:
Bentuk $\infty - \infty$ dikatakan tak tentu, karena hasilnya bisa berapa saja atau tidak menentu.
Dari operasi pengurangan $5-2=3$, kita peroleh $3 + 2=5$.
- $\infty - \infty=6$ Benar, karena $6 + \infty=\infty$
- $\infty - \infty=15$ Benar, karena $15 + \infty=\infty$
- $\infty - \infty=7$ Benar, karena $7 + \infty=\infty$
Berdasarkan bentuk di atas, nilai $\infty - \infty$ bisa berapa saja atau tidak menentu, sehingga disepakati bentuk $\infty - \infty$ adalah $\text{tak tentu}$.
5. Bentuk tak tentu $0^{0}$ (nol pangkat nol)
Alternatif Pembuktian:
Bentuk $0^{0}$ dikatakan tak tentu, karena hasilnya bisa berapa saja atau tidak menentu.
Dari
sifat bilangan berpangkat
$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$, untuk $a=0$, $m=0$, dan $n \neq 0$ kita
peroleh:
\begin{align}
a^{m} \times a^{n} &= a^{m+n} \\
\color{red}{0^{0}} \times 0^{n} &= 0^{n+0} \\
\color{red}{0^{0}} \times 0^{n} &= 0^{n} \\
\color{red}{0^{0}} \times 0 &= 0 \end{align}
Dari hasil operasi di atas, agar $\color{red}{0^{0}} \times 0 = 0$ bernilai benar ada banyak kemungkinan nilai $\color{red}{0^{0}}$. Nilai $\color{red}{0^{0}}$ bisa berapa saja atau tidak menentu, sehingga disepakati bentuk $\color{red}{0^{0}}$ adalah $\text{tak tentu}$.
6. Bentuk tak tentu $1^{\infty}$ (satu pangkat tak hingga)
Alternatif Pembuktian:
Bentuk $1^{\infty}$ dikatakan tak tentu karena hasilnya ada beberapa kemungkinan.
Untuk membuktikan dengan sederhana kita pakai sedikit konsep limit fungsi yaitu $\lim\limits_{x \to 1} x^{\infty}$.
Dalam limit fungsi nilai dari $0,999 \cdots 9$ atau $1,000 \cdots 1$ nilainya sudah dapat dikatakan dengan $1$, karena nilai $0,999 \cdots 9$ atau $1,000 \cdots 1$ mendekati $1$.
- Untuk nilai $0,999 \cdots 9$ kita gunakan ke bentuk $1^{\infty}$ maka kita peroleh $\left(0,999 \cdots 9\right)^{\infty}$ nilainya adalah mendekati $0$ atau dapat dikatakan hasilnya adalah $0$.
- Untuk nilai $1,000 \cdots 1$ kita gunakan ke bentuk $1^{\infty}$ maka kita peroleh $\left(1,000 \cdots 1 \right)^{\infty}$ nilainya adalah mendekati $1$ atau dapat dikatakan hasilnya adalah $1$.
Dari hasil operasi di atas, nilai $1^{\infty}$ ada beberapa kemungkinan, sehingga disepakati bentuk $1^{\infty}$ adalah $\text{tak tentu}$.
Untuk matematika tahap lanjut ada ekspresi matematika yang menyatakan nilai $1^{\infty}$ dengan nilai yang berbeda yaitu bilangan $e$. Bilangan Euler $(e)$ adalah bilangan irasional yang bernilai $2,718281828\cdots$. Euler mendefinisikan $e$ dalam bentuk $e = \lim\limits_{x \to \infty} \left( 1+\dfrac{1}{x} \right)^{x}$.
7. Bentuk tak tentu $\infty^{0}$ (tak hingga pangkat nol)
Alternatif Pembuktian:
Bentuk $\infty^{0}$ dikatakan tak tentu, karena hasilnya bisa berapa saja atau tidak menentu.
Dari
sifat bilangan berpangkat
$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$, dan bentuk $\dfrac{\infty}{\infty}$ adalah
tak tentu kita peroleh:
\begin{align}
\infty^{0} &= \infty^{1-1} \\
&= \infty^{1} \times \infty^{-1} \\
&= \infty^{1} \times \dfrac{1}{\infty^{1}} \\
&= \dfrac{\infty}{\infty} \\
&= \text{tak tentu} \end{align}
Dari hasil operasi di atas, nilai $\infty^{0}$ bisa berapa saja atau tidak menentu, sehingga disepakati bentuk $\infty^{0}$ adalah $\text{tak tentu}$.
0 Komentar